El radio de Bohr ( a 0 ) es una constante física , igual a la distancia más probable entre el núcleo y el electrón en un átomo de hidrógeno en su estado fundamental (no relativista y con un protón infinitamente pesado). Lleva el nombre de Niels Bohr , debido a su papel en el modelo de Bohr de un átomo. Su valor es5.291 772 109 03 (80) × 10 −11 m . [1] [nota 1]
Símbolo | a 0 o r Bohr |
---|---|
Lleva el nombre de | Niels Bohr |
Valores aproximados (a tres dígitos significativos) | |
Unidades SI | 5,29 × 10 −11 m |
Unidades imperiales / estadounidenses | 2,08 × 10 -9 en |
unidades naturales | 3,27 × 10 24 ℓ P |
Definición y valor
El radio de Bohr es: [2]
dónde:
- es el radio de Bohr,
- es la permitividad del espacio libre ,
- es la constante de Planck reducida ,
- es la masa en reposo del electrón ,
- es la carga elemental ,
- es la velocidad de la luz en el vacío, y
- es la constante de estructura fina .
El valor CODATA del radio de Bohr (en unidades SI ) es5.291 772 109 03 (80) × 10 −11 m . [1]
El modelo de Bohr deriva de un radio para el n º estado excitado de un hidrógeno-como átomo . El radio de Bohr corresponde an = 1 .
Usar
En el modelo de Bohr para la estructura atómica , presentado por Niels Bohr en 1913, los electrones orbitan un núcleo central bajo atracción electrostática. La derivación original postuló que los electrones tienen un momento angular orbital en múltiplos enteros de la constante de Planck reducida, que coincidió con éxito con la observación de niveles de energía discretos en los espectros de emisión, junto con la predicción de un radio fijo para cada uno de estos niveles. En el átomo más simple, el hidrógeno , un solo electrón orbita el núcleo, y su órbita más pequeña posible, con la energía más baja, tiene un radio orbital casi igual al radio de Bohr. (No es exactamente el radio de Bohr debido al efecto de masa reducido . Se diferencian en aproximadamente un 0,05%).
El modelo de Bohr del átomo fue reemplazado por una nube de probabilidad de electrones que obedecía a la ecuación de Schrodinger , que se complica aún más por los efectos de vacío cuántico y de espín para producir una estructura fina y una estructura hiperfina . Sin embargo, la fórmula del radio de Bohr sigue siendo fundamental en los cálculos de la física atómica , debido en parte a su simple relación con otras constantes fundamentales. (Esta es la razón por la que se define utilizando la masa verdadera del electrón en lugar de la masa reducida, como se mencionó anteriormente). Por ejemplo, es la unidad de longitud en unidades atómicas .
Una distinción importante es que el radio de Bohr da el radio con la máxima densidad de probabilidad radial, [3] no su distancia radial esperada . La distancia radial esperada es 1,5 veces el radio de Bohr, como resultado de la cola larga de la función de onda radial. Otra distinción importante es que en el espacio tridimensional, la densidad de probabilidad máxima ocurre en la ubicación del núcleo y no en el radio de Bohr, mientras que la densidad de probabilidad radial alcanza su punto máximo en el radio de Bohr, es decir, al trazar la distribución de probabilidad en su dependencia radial. .
Unidades relacionadas
El radio de Bohr del electrón es uno de un trío de unidades de longitud relacionadas, las otras dos son la longitud de onda de Compton del electrón.y el radio clásico del electrón . El radio de Bohr se construye a partir de la masa del electrón. , La constante de Planck y la carga de electrones . La longitud de onda de Compton se construye a partir de, y la velocidad de la luz . El radio clásico del electrón se construye a partir de, y . Cualquiera de estas tres longitudes se puede escribir en términos de cualquier otra usando la constante de estructura fina:
El radio de Bohr es aproximadamente 19.000 veces mayor que el radio clásico de los electrones (es decir, la escala común de átomos es angstrom , mientras que la escala de partículas es femtómetro ). La longitud de onda de Compton del electrón es aproximadamente 20 veces más pequeña que el radio de Bohr, y el radio clásico del electrón es aproximadamente 1000 veces más pequeño que la longitud de onda de Compton del electrón.
Radio de Bohr "reducido"
El radio de Bohr, incluido el efecto de la masa reducida en el átomo de hidrógeno, puede estar dado por las siguientes ecuaciones:
dónde:
- es la longitud de onda de Compton del protón,
- es la longitud de onda de Compton del electrón,
- es la constante de Planck reducida ,
- es la constante de estructura fina ,
- es la velocidad de la luz ,
- es la masa reducida del sistema electrón / protón,
- es la permitividad del espacio libre ,
- es la magnitud de la carga del electrón,
- es la magnitud de la carga del protón.
En la primera ecuación, el efecto de la masa reducida se logra utilizando la longitud de onda Compton aumentada, que es solo la suma de las longitudes de onda Compton de electrones y protones. El uso de masa reducida es inherentemente una generalización clásica del problema de los dos cuerpos cuando estamos fuera de la aproximación de que la masa del cuerpo en órbita es mucho menor que la masa del cuerpo en órbita.
En particular, la masa reducida del sistema electrón / protón será (muy ligeramente) más pequeña que la masa del electrón, por lo que el "radio de Bohr reducido" es en realidad mayor que el valor típico ( o metros).
Radios en sistemas similares
Este resultado se puede generalizar a otros sistemas, como el positronio (un electrón que orbita un positrón ) y el muonio (un electrón que orbita un anti-muón ) utilizando la masa reducida (o, equivalentemente, la suma de longitudes de onda de Compton) del sistema y considerando el posible cambio en cargo. Por lo general, las relaciones del modelo de Bohr (radio, energía, etc.) se pueden modificar fácilmente para estos sistemas exóticos (hasta el orden más bajo) simplemente reemplazando la masa del electrón con la masa reducida para el sistema (así como ajustando la carga cuando sea apropiado) . Por ejemplo, el radio de positronio es aproximadamente, dado que la masa reducida del sistema de positronio es la mitad de la masa del electrón (), mientras que la masa reducida para el sistema electrón / protón es aproximadamente la masa del electrón (), como se discutió anteriormente.
Otra observación importante es que cualquier átomo similar al hidrógeno tendrá un radio de Bohr que cambia principalmente a medida que, con el número de protones en el núcleo. Esto se puede ver en la última ecuación como resultado de. Mientras tanto, la masa reducida () solo se aproxima mejor por en el límite del aumento de la masa nuclear. Estos resultados se resumen en la ecuación
A continuación se proporciona una tabla de relaciones aproximadas:
Radio de Bohr | |
---|---|
Radio de Bohr "reducido" | |
Radio de positronio | |
Radio de muonio | |
Él + radio | |
Radio Li 2+ |
Ver también
- Angstrom
- Bohr Magneton
- Energía Rydberg
Notas
- ^ El número entre paréntesis denota la incertidumbre de los últimos dígitos.
Citas
- ^ a b "Valor CODATA 2018: radio de Bohr" . La referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . 20 de mayo de 2019 . Consultado el 20 de mayo de 2019 .
- ^ David J. Griffiths , Introducción a la mecánica cuántica , Prentice-Hall, 1995, p. 137. ISBN 0-13-124405-1
- ^ Zettili, Nouredine (2009). Mecánica cuántica: conceptos y aplicaciones (2ª ed.). Chichester: Wiley. pag. 376 . ISBN 978-0-470-02678-6.
enlaces externos
- Escalas de longitud en física: el radio de Bohr