En matemáticas , los anillos borromeos son tres curvas cerradas simples en un espacio tridimensional que están topológicamente vinculadas y no pueden separarse entre sí, pero que se rompen en dos bucles no anudados y desvinculados cuando se corta o elimina cualquiera de los tres. Por lo general, estos anillos se dibujan como tres círculos en el plano, en el patrón de un diagrama de Venn , que se cruzan alternativamente entre sí en los puntos donde se cruzan. Se dice que otros triples de curvas forman los anillos de Borromeo siempre que sean topológicamente equivalentes a las curvas representadas en este dibujo.
Anillos borromeos | |
---|---|
Cruce no. | 6 |
Volumen hiperbólico | 7.327724753 |
Stick no. | 9 |
Notación de Conway | .1 |
Notación A – B | 63 2 |
Thistlethwaite | L6a4 |
Otro | |
alterno , hiperbólico |
Los anillos de Borromeo llevan el nombre de la Casa italiana de Borromeo , que utilizó la forma circular de estos anillos como escudo de armas , pero los diseños basados en los anillos de Borromeo se han utilizado en muchas culturas, incluso por los escandinavos y en Japón. Se han utilizado en el simbolismo cristiano como un signo de la Trinidad y en el comercio moderno como el logotipo de la cerveza Ballantine , dándoles el nombre alternativo de anillos Ballantine . Las instancias físicas de los anillos de Borromeo se han hecho a partir de ADN u otras moléculas enlazadas , y tienen análogos en el estado de Efimov y núcleos de Borromeo , los cuales tienen tres componentes unidos entre sí, aunque no dos de ellos están unidos.
Geométricamente, los anillos borromeos se pueden realizar mediante elipses enlazadas o (utilizando los vértices de un icosaedro regular ) mediante rectángulos áureos enlazados . Es imposible realizarlos usando círculos en un espacio tridimensional, pero se ha conjeturado que pueden realizarse mediante copias de cualquier curva cerrada simple no circular en el espacio. En la teoría de los nudos , se puede demostrar que los anillos de Borromeo están vinculados contando sus colores n de Fox . Como enlaces, son brunianos , alternos , algebraicos e hiperbólicos . En topología aritmética , ciertos triples de números primos tienen propiedades de enlace análogas a los anillos de Borromeo.
Definición y notación
Es común en las publicaciones de matemáticas que definen los anillos de Borromeo hacerlo como un diagrama de enlace , un dibujo de curvas en el plano con cruces marcados para indicar qué curva o parte de una curva pasa por encima o por debajo en cada cruce. Dicho dibujo se puede transformar en un sistema de curvas en un espacio tridimensional incrustando el plano en el espacio y deformando las curvas dibujadas sobre él por encima o por debajo del plano incrustado en cada cruce, como se indica en el diagrama. El diagrama de uso común para los anillos de Borromeo consta de tres círculos iguales centrados en los puntos de un triángulo equilátero , lo suficientemente cerca como para que sus interiores tengan una intersección común (como en un diagrama de Venn o los tres círculos utilizados para definir el triángulo de Reuleaux ). Sus cruces alternan entre arriba y abajo cuando se consideran en orden consecutivo alrededor de cada círculo; [1] [2] [3] otra forma equivalente de describir la relación de arriba a abajo entre los tres círculos es que cada círculo pasa sobre un segundo círculo en ambos cruces y por debajo del tercer círculo en ambos cruces. [4] Se dice que dos enlaces son equivalentes si hay una deformación continua del espacio (una isotopía ambiental ) que lleva uno a otro, y los anillos de Borromeo pueden referirse a cualquier enlace que sea equivalente en este sentido al diagrama estándar de este enlace. . [3]
En The Knot Atlas , los anillos borromeos se indican con el código "L6a4"; la notación significa que se trata de un enlace con seis cruces y un diagrama alterno, el cuarto de cinco enlaces alternos de 6 cruces identificados por Morwen Thistlethwaite en una lista de todos los enlaces principales con hasta 13 cruces. [5] En las tablas de nudos y eslabones del libro Knots and Links de Dale Rolfsen de 1976 , que amplía listados anteriores en la década de 1920 por Alexander y Briggs, los anillos borromeos recibieron la notación Alexander-Briggs "63
2", lo que significa que este es el segundo de los tres enlaces de 3 componentes de 6 cruces que se enumeran. [5] [6] La notación de Conway para los anillos de Borromeo," .1 ", es una descripción abreviada del diagrama de enlace estándar para este enlace. [7]
Historia y simbolismo
El nombre "anillos de Borromeo" proviene del uso de estos anillos, en forma de tres círculos enlazados, en el escudo de armas de la aristocrática familia Borromeo en el norte de Italia . [8] [9] El vínculo en sí es mucho más antiguo y ha aparecido en forma de valknut , tres triángulos equiláteros unidos con lados paralelos, en piedras de imágenes nórdicas que datan del siglo VII. [10] El Santuario Ōmiwa en Japón también está decorado con un motivo de los anillos borromeos, en su forma circular convencional. [1] Un pilar de piedra en el templo de Marundeeswarar del siglo VI en la India muestra tres triángulos equiláteros rotados entre sí para formar un eneagrama regular ; al igual que los anillos de Borromeo, estos tres triángulos están vinculados y no por pares, [11] pero este patrón de cruce describe un vínculo diferente al de los anillos de Borromeo. [12]
Los anillos de Borromeo se han utilizado en diferentes contextos para indicar la fuerza en la unidad. [13] En particular, algunos han utilizado el diseño para simbolizar la Trinidad . [2] Un manuscrito francés del siglo XIII que representa los anillos borromeos etiquetados como unidad en la trinidad se perdió en un incendio en la década de 1940, pero fue reproducido en un libro de 1843 de Adolphe Napoléon Didron . Didron y otros han especulado que la descripción de la Trinidad como tres círculos iguales en el canto 33 de Dante 's Paradiso se inspiró en las imágenes similares, aunque no hace Dante detalle la disposición geométrica de estos círculos. [14] [15] El psicoanalista Jacques Lacan encontró inspiración en los anillos borromeos como modelo para su topología de la subjetividad humana, con cada anillo representando un componente lacaniano fundamental de la realidad (lo "real", lo "imaginario" y lo " simbólico"). [dieciséis]
Los anillos se utilizaron como el logotipo de la cerveza Ballantine y todavía los utiliza la cerveza de la marca Ballantine, ahora distribuida por el propietario actual de la marca, Pabst Brewing Company . [17] [18] Por esta razón, a veces se les ha llamado los "anillos Ballantine". [2] [17]
El primer trabajo de teoría de nudos que incluyó los anillos borromeos fue un catálogo de nudos y eslabones compilado en 1876 por Peter Tait . [2] En matemáticas recreativas , los anillos de Borromeo fueron popularizados por Martin Gardner , quien presentó superficies de Seifert para los anillos de Borromeo en su columna " Juegos Matemáticos " de septiembre de 1961 en Scientific American . [18] En 2006, la Unión Matemática Internacional decidió en el 25º Congreso Internacional de Matemáticos en Madrid, España, utilizar un nuevo logo basado en los anillos de Borromeo. [1]
Anillos parciales y múltiples
En la Europa medieval y renacentista, una serie de signos visuales constan de tres elementos entrelazados de la misma manera que los anillos borromeos se muestran entrelazados (en su representación bidimensional convencional), pero con elementos individuales que no son bucles cerrados. Ejemplos de tales símbolos son los cuernos de piedra de Snoldelev [19] y las medias lunas de Diana de Poitiers . [2]
Algunos enlaces teóricos de nudos contienen múltiples configuraciones de anillos borromeos; un enlace de cinco bucles de este tipo se usa como símbolo en Discordianism , basado en una descripción en los Principia Discordia . [20]
Propiedades matematicas
Vinculación
En la teoría de los nudos , los anillos de Borromeo son un ejemplo simple de un enlace de Brunnian , un enlace que no se puede separar pero que se deshace en bucles separados sin nudos tan pronto como se elimina cualquiera de sus componentes. Hay infinitos enlaces Brunnianos e infinitos enlaces Brunnianos de tres curvas, de los cuales los anillos Borromeos son los más simples. [12] [21]
Hay varias formas de ver que los anillos de Borromeo están vinculados. Uno es utilizar Fox n -colorings , colorantes de los arcos de un diagrama de enlace con los números enteros modulo n de modo que en cada cruce, los dos colores en el undercrossing tienen el mismo promedio (módulo n ) como el color del arco overcrossing, y para que se utilicen al menos dos colores. El número de colorantes que cumplen estas condiciones es un nudo invariante , independiente del diagrama elegido para el enlace. Un vínculo trivial con tres componentes ha colorantes, obtenidos de su diagrama estándar eligiendo un color de forma independiente para cada componente y descartando el colorantes que solo usan un color. Para el diagrama estándar de los anillos borromeos, por otro lado, los mismos pares de arcos se encuentran en dos cruces inferiores, lo que obliga a los arcos que los cruzan a tener el mismo color entre sí, de lo cual se deduce que los únicos colorantes que cumplen con el las condiciones de cruce violan la condición de usar más de un color. Debido a que el vínculo trivial tiene muchos colores válidos y los anillos borromeos no tienen ninguno, no pueden ser equivalentes. [3] [22]
Los anillos de Borromeo son un enlace alterno , ya que su diagrama de enlace convencional tiene cruces que alternan entre pasar por encima y por debajo de cada curva, en orden a lo largo de la curva. También son un enlace algebraico , un enlace que las esferas de Conway pueden descomponer en 2 enredos . Son el enlace algebraico alterno más simple que no tiene un diagrama que sea simultáneamente alterno y algebraico. [23] Se deduce de las conjeturas de Tait que el número de cruces de los anillos de Borromeo (el menor número de cruces en cualquiera de sus diagramas de enlace) es 6, el número de cruces en su diagrama alterno. [3]
Forma de anillo
Los anillos borromeos se dibujan típicamente con sus anillos proyectados en círculos en el plano del dibujo, pero los anillos borromeos circulares tridimensionales son un objeto imposible : no es posible formar los anillos borromeos a partir de círculos en el espacio tridimensional. [3] De manera más general, Michael H. Freedman y Richard Skora ( 1987 ) demostraron utilizando geometría hiperbólica de cuatro dimensiones que ningún vínculo de Brunnian puede ser exactamente circular. [24] Para tres anillos en su disposición borromea convencional, esto se puede ver considerando el diagrama de enlaces . Si se supone que dos de los círculos se tocan en sus dos puntos de cruce, entonces se encuentran en un plano o en una esfera. En cualquier caso, el tercer círculo debe atravesar este plano o esfera cuatro veces, sin estar en él, lo cual es imposible. [25] Otro argumento a favor de la imposibilidad de las realizaciones circulares, de Helge Tverberg , utiliza la geometría inversa para transformar tres círculos cualesquiera de modo que uno de ellos se convierta en una línea, lo que facilita argumentar que los otros dos círculos no se enlazan con él para formar los anillos de Borromeo. [26]
Sin embargo, los anillos de Borromeo se pueden realizar usando elipses. [1] Estos pueden tomarse como de excentricidad arbitrariamente pequeña : no importa cuán cerca de ser circular pueda ser su forma, siempre que no sean perfectamente circulares, pueden formar enlaces borromeos si se colocan adecuadamente. Una realización de los anillos borromeos por tres rectángulos áureos mutuamente perpendiculares se puede encontrar dentro de un icosaedro regular conectando tres pares opuestos de sus bordes. [1] Cada tres polígonos sin nudos en el espacio euclidiano pueden combinarse, después de una transformación de escala adecuada, para formar los anillos borromeos. Si los tres polígonos son planos, no es necesario escalar. [27] En particular, debido a que los anillos de Borromeo se pueden realizar mediante tres triángulos, el número mínimo de lados posible para cada uno de sus bucles, el número de palitos de los anillos de Borromeo es nueve. [28]
¿Hay tres curvas sin nudos, no todos círculos, que no pueden formar los anillos borromeos?
De manera más general, Matthew Cook ha conjeturado que tres curvas cerradas simples sin nudos en el espacio, no todos los círculos, pueden combinarse sin escalar para formar los anillos borromeos. Después de que Jason Cantarella sugirió un posible contraejemplo, Hugh Nelson Howards debilitó la conjetura para aplicarla a tres curvas planas que no son todas círculos. Por otro lado, aunque hay infinitos enlaces de Brunnian con tres enlaces, los anillos de Borromeo son los únicos que pueden formarse a partir de tres curvas convexas. [27]
Longitud de la cuerda
En la teoría del nudo, la longitud de cuerda de un nudo o eslabón es la longitud más corta de cuerda flexible (de radio uno) que puede realizarla. Matemáticamente, tal realización se puede describir mediante una curva suave cuya vecindad tubular de radio uno evita las auto-intersecciones. No se ha probado la longitud mínima de cuerda de los anillos de Borromeo, pero el valor más pequeño que se ha obtenido se obtiene mediante tres copias de una curva plana de dos lóbulos. [1] [29] Aunque se asemeja a un candidato anterior para longitud mínima de cuerda, construido a partir de cuatro arcos circulares de radio dos, [30] está ligeramente modificado de esa forma, y está compuesto por 42 piezas lisas definidas por integrales elípticas , lo que lo convierte en más corto en una fracción de un porcentaje que la realización circular por partes. Es esta realización, conjeturada para minimizar la longitud de la cuerda, la que se utilizó para el logotipo de la Unión Matemática Internacional . Su longitud es, mientras que el límite inferior mejor probado en la longitud es . [1] [29]
Para un análogo discreto de longitud de cuerda, la representación más corta usando solo bordes de la celosía entera , la longitud mínima para los anillos borromeos es exactamente. Esta es la longitud de una representación usando tresrectángulos enteros, inscritos en el icosaedro de Jessen de la misma manera que la representación de los rectángulos áureos está inscrita en el icosaedro regular. [31]
Geometría hiperbólica
Los anillos de Borromeo son un enlace hiperbólico : el espacio que rodea a los anillos de Borromeo (su complemento de enlace ) admite una métrica hiperbólica completa de volumen finito. Aunque los enlaces hiperbólicos ahora se consideran abundantes, los anillos de Borromeo fueron uno de los primeros ejemplos en probarse hiperbólicos, en la década de 1970, [32] [33] y este complemento de enlace fue un ejemplo central en el video Not Knot , producido en 1991 por el Centro de Geometría . [34]
Las variedades hiperbólicas se pueden descomponer de forma canónica en pegados de poliedros hiperbólicos (la descomposición de Epstein-Penner) y para el complemento borromeo esta descomposición consta de dos octaedros regulares ideales . [33] [35] El espacio es un espacio cociente de un panal uniforme de octaedros ideales, el panal octaédrico de orden 4 , lo que hace que los anillos borromeos sean uno de los 21 enlaces como máximo que corresponden a panales uniformes de esta manera. [36] El volumen del complemento borromeo es dónde es la función de Lobachevsky yes la constante del catalán . [35] El complemento de los anillos de Borromeo es universal, en el sentido de que cada 3 múltiple cerrado es una cubierta ramificada sobre este espacio. [37]
Teoría de los números
En topología aritmética , existe una analogía entre nodos y números primos en la que se consideran los vínculos entre primos. El triple de números primos (13, 61, 937) están enlazados en módulo 2 (el símbolo de Rédei es −1) pero están en pares de módulos no enlazados 2 (los símbolos de Legendre son todos 1). Por lo tanto, estos números primos se han denominado "números primos borromeos triples propios de módulo 2" [38] o "números primos borromeos mod 2". [39]
Realizaciones físicas
El nudo del puño de un mono es esencialmente una representación tridimensional de los anillos borromeos, aunque con tres capas, en la mayoría de los casos. [41] El escultor John Robinson ha realizado obras de arte con tres triángulos equiláteros hechos de láminas de metal , unidos para formar anillos borromeos y que se asemejan a una versión tridimensional del valknut. [12] [28] Un diseño común para un trípode de madera plegable consiste en tres piezas talladas en una sola pieza de madera, y cada pieza consta de dos trozos de madera, las patas y los lados superiores del trípode, conectados por dos segmentos de madera que rodean un agujero central alargado en la pieza. Otra de las tres piezas pasa a través de cada uno de estos agujeros, uniendo las tres piezas en el patrón de anillos borromeos. Se ha descrito que los trípodes de esta forma provienen de artesanías indias o africanas. [42] [43]
En química, los anillos de Borromeo moleculares son las contrapartes moleculares de los anillos de Borromeo, que son arquitecturas moleculares entrelazadas mecánicamente . En 1997, el biólogo Chengde Mao y sus compañeros de trabajo de la Universidad de Nueva York lograron construir un conjunto de anillos a partir de ADN . [44] En 2003, el químico Fraser Stoddart y sus compañeros de trabajo en UCLA utilizaron la química de coordinación para construir un conjunto de anillos en un solo paso a partir de 18 componentes. [40] Las estructuras de anillo borromeo se han utilizado para describir grupos de metales nobles protegidos por una capa superficial de ligandos tiolatos. [45] Una biblioteca de redes borromeas ha sido sintetizada por diseño de Giuseppe Resnati y sus compañeros de trabajo mediante el autoensamblaje impulsado por enlaces halógenos . [46] Con el fin de acceder al anillo de Borromeo molecular que consta de tres ciclos desiguales, Jay S. Siegel y colaboradores propusieron una síntesis paso a paso. [47]
En física, un análogo de la mecánica cuántica de los anillos de Borromeo se llama estado de halo o estado de Efimov , y consta de tres partículas unidas que no están unidas por pares. La existencia de tales estados fue predicha por el físico Vitaly Efimov , en 1970, y confirmado por múltiples experimentos que comenzaron en 2006. [48] [49] Este fenómeno está estrechamente relacionado con un núcleo borromeo , un núcleo atómico estable que consta de tres grupos de partículas que serían inestables en pares. [50] Otro análogo de los anillos borromeos en la teoría de la información cuántica implica el entrelazamiento de tres qubits en el estado Greenberger-Horne-Zeilinger . [13]
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enlaces externos
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- Anillos olímpicos borromeos ( Brady Haran , 2012), cintas borromeas ( Tadashi Tokieda , 2016), nudos de neón y anillos de cerveza borromea ( Clifford Stoll , 2018), Numberphile