En estadística cuántica , las estadísticas de Bose-Einstein (B-E) describen una de dos formas posibles en las que una colección de partículas indistinguibles que no interactúan puede ocupar un conjunto de estados de energía discretos disponibles en equilibrio termodinámico . La agregación de partículas en el mismo estado, que es una característica de las partículas que obedecen a las estadísticas de Bose-Einstein, explica el flujo cohesivo de luz láser y el deslizamiento sin fricción del helio superfluido . La teoría de este comportamiento fue desarrollada (1924–25) por Satyendra Nath Bose, quien reconoció que una colección de partículas idénticas e indistinguibles se puede distribuir de esta manera. La idea fue posteriormente adoptada y ampliada por Albert Einstein en colaboración con Bose.
Las estadísticas de Bose-Einstein se aplican solo a aquellas partículas que no se limitan a la ocupación única del mismo estado, es decir, partículas que no obedecen las restricciones del principio de exclusión de Pauli . Estas partículas tienen valores enteros de espín y se denominan bosones , por las estadísticas que describen correctamente su comportamiento. Tampoco debe haber una interacción significativa entre las partículas.
Distribución de Bose-Einstein
A bajas temperaturas, los bosones se comportan de manera diferente a los fermiones (que obedecen a las estadísticas de Fermi-Dirac ) de manera que un número ilimitado de ellos puede "condensarse" en el mismo estado energético. Esta propiedad aparentemente inusual también da lugar al estado especial de la materia: el condensado de Bose-Einstein . Las estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein se aplican cuando los efectos cuánticos son importantes y las partículas son " indistinguibles ". Los efectos cuánticos aparecen si la concentración de partículas satisface
donde N es el número de partículas, V es el volumen, y n q es la concentración cuántica , por el que la distancia entre partículas es igual a la térmica de longitud de onda de De Broglie , de modo que las funciones de onda de las partículas son apenas superponen.
Las estadísticas de Fermi-Dirac se aplican a los fermiones (partículas que obedecen al principio de exclusión de Pauli ) y las estadísticas de Bose-Einstein se aplican a los bosones . Como la concentración cuántica depende de la temperatura, la mayoría de los sistemas a altas temperaturas obedecen al límite clásico (Maxwell-Boltzmann), a menos que también tengan una densidad muy alta, como en el caso de una enana blanca . Tanto Fermi-Dirac como Bose-Einstein se convierten en estadísticas de Maxwell-Boltzmann a alta temperatura o baja concentración.
La estadística B – E fue introducida para los fotones en 1924 por Bose y generalizada a los átomos por Einstein en 1924–25.
El número esperado de partículas en un estado de energía i para las estadísticas B – E es:
con ε i > μ y donde n i es el número de partículas en el estado i sobre el número total de partículas de todos los estados de energía.es la degeneración del nivel de energía i , ε i es la energía del i -ésimo estado, μ es el potencial químico , k B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura absoluta .
La varianza de esta distribución se calcula directamente a partir de la expresión anterior para el número promedio. [1]
A modo de comparación, el número medio de fermiones con energía dada por Fermi – Dirac, la distribución de energía de partículas tiene una forma similar:
Como se mencionó anteriormente, tanto la distribución de Bose-Einstein como la distribución de Fermi-Dirac se acercan a la distribución de Maxwell-Boltzmann en el límite de alta temperatura y baja densidad de partículas, sin la necesidad de suposiciones ad hoc:
- En el límite de baja densidad de partículas, , por lo tanto o equivalente . En ese caso,, que es el resultado de las estadísticas de Maxwell-Boltzmann.
- En el límite de alta temperatura, las partículas se distribuyen en un amplio rango de valores de energía, por lo tanto, la ocupación en cada estado (especialmente los de alta energía con ) es de nuevo muy pequeño, . Esto nuevamente se reduce a las estadísticas de Maxwell-Boltzmann.
Además de reducir a la distribución de Maxwell-Boltzmann en el límite de altay baja densidad, las estadísticas B-E también se reducen a la distribución de la ley de Rayleigh-Jeans para estados de baja energía con
, a saber
Historia
Mientras presentaba una conferencia en la Universidad de Dhaka (en lo que entonces era la India británica y ahora es Bangladesh ) sobre la teoría de la radiación y la catástrofe ultravioleta , Satyendra Nath Bose tenía la intención de mostrar a sus estudiantes que la teoría contemporánea era inadecuada, porque predecía resultados. no de acuerdo con los resultados experimentales. Durante esta conferencia, Bose cometió un error al aplicar la teoría, lo que inesperadamente dio una predicción que coincidía con el experimento. El error fue un simple error, similar a argumentar que lanzar dos monedas justas producirá dos caras un tercio de las veces, que parecería obviamente incorrecto para cualquiera con un conocimiento básico de estadística (sorprendentemente, este error se parecía al famoso error de d 'Alembert conocido por su artículo Croix ou Pile [2] [3] ). Sin embargo, los resultados que predijo coincidían con el experimento y Bose se dio cuenta de que, después de todo, podría no ser un error. Por primera vez, adoptó la posición de que la distribución de Maxwell-Boltzmann no sería cierta para todas las partículas microscópicas en todas las escalas. Por lo tanto, estudió la probabilidad de encontrar partículas en varios estados en el espacio de fase, donde cada estado es un pequeño parche que tiene un volumen de fase de h 3 , y la posición y el momento de las partículas no se mantienen particularmente separados, sino que se consideran como una variable.
Bose adaptó esta conferencia en un breve artículo llamado Ley de Planck y la hipótesis de los cuantos de luz [4] [5] y lo envió a la Revista Filosófica . Sin embargo, el informe del árbitro fue negativo y el artículo fue rechazado. Sin desanimarse, envió el manuscrito a Albert Einstein solicitando su publicación en el Zeitschrift für Physik . Einstein aceptó de inmediato, tradujo personalmente el artículo del inglés al alemán (Bose había traducido anteriormente el artículo de Einstein sobre la teoría de la relatividad general del alemán al inglés) y se encargó de que se publicara. La teoría de Bose logró respeto cuando Einstein envió su propio artículo en apoyo del de Bose a Zeitschrift für Physik , pidiendo que se publicaran juntos. El periódico salió en 1924. [6]
La razón por la que Bose produjo resultados precisos fue que, dado que los fotones no se pueden distinguir entre sí, no se pueden tratar dos fotones que tengan números cuánticos iguales (por ejemplo, polarización y vector de momento) como si fueran dos fotones identificables distintos. Por analogía, si en un universo alternativo las monedas se comportaran como fotones y otros bosones, la probabilidad de producir dos caras sería de hecho un tercio, y también lo es la probabilidad de obtener una cara y una cola que equivale a la mitad de la monedas convencionales (clásicas, distinguibles). El "error" de Bose conduce a lo que ahora se llama estadísticas de Bose-Einstein.
Bose y Einstein extendieron la idea a los átomos y esto llevó a la predicción de la existencia de fenómenos que se conocieron como condensado de Bose-Einstein , una densa colección de bosones (que son partículas con espín entero, nombradas en honor a Bose), que se demostró que existen por experimento en 1995.
Derivación
Derivación del conjunto microcanónico
En el conjunto microcanónico , se considera un sistema con energía, volumen y número de partículas fijos. Tomamos un sistema compuesto por bosones idénticos, de los cuales tienen energía y se distribuyen sobre niveles o estados con la misma energía , es decir es la degeneración asociada con la energía de energía total . Cálculo del número de arreglos de partículas distribuidas entre estados es un problema de combinatoria . Dado que las partículas son indistinguibles en el contexto de la mecánica cuántica aquí, el número de formas de organizar partículas en cajas (para el th nivel de energía) sería (ver imagen a la derecha)
dónde es la combinación k de un conjunto con m elementos. El número total de arreglos en un conjunto de bosones es simplemente el producto de los coeficientes binomiales por encima de todos los niveles de energía, es decir
El número máximo de arreglos que determinan el número de ocupación correspondiente. se obtiene maximizando la entropía , o equivalentemente, estableciendo y tomando las condiciones subsidiarias en cuenta (como multiplicadores de Lagrange ). [7] El resultado de, , es la distribución de Bose-Einstein.
Derivación del gran conjunto canónico
La distribución de Bose-Einstein, que se aplica sólo a un sistema cuántico de bosones que no interactúan, se deriva naturalmente del gran conjunto canónico sin aproximaciones. [8] En este conjunto, el sistema es capaz de intercambiar energía e intercambiar partículas con un reservorio (temperatura T y potencial químico µ fijado por el reservorio).
Debido a la calidad de no interactuar, cada nivel de partícula individual disponible (con nivel de energía ϵ ) forma un sistema termodinámico separado en contacto con el depósito. Es decir, el número de partículas dentro del sistema general que ocupan un estado de partícula único dado forman un subconjunto que también es un gran conjunto canónico; por tanto, puede analizarse mediante la construcción de una función de gran partición .
Cada estado de una sola partícula es de una energía fija, . Como el subconjunto asociado con un estado de una sola partícula varía solo por el número de partículas, está claro que la energía total del subconjunto también es directamente proporcional al número de partículas en el estado de una sola partícula; dónde es el número de partículas, la energía total del subconjunto será entonces . Comenzando con la expresión estándar para una función de gran partición y reemplazando con , la función de gran partición toma la forma
Esta fórmula se aplica tanto a los sistemas fermiónicos como a los bosónicos. Las estadísticas de Fermi-Dirac surgen al considerar el efecto del principio de exclusión de Pauli : mientras que el número de fermiones que ocupan el mismo estado de una sola partícula solo puede ser 1 o 0, el número de bosones que ocupan un estado de una sola partícula puede ser cualquier número entero. Por lo tanto, la función de gran partición para bosones se puede considerar una serie geométrica y se puede evaluar como tal:
Tenga en cuenta que la serie geométrica es convergente solo si , incluido el caso en el que . Esto implica que el potencial químico del gas Bose debe ser negativo, es decir,, mientras que el gas de Fermi puede tomar valores tanto positivos como negativos para el potencial químico. [9]
El número medio de partículas para ese subestado de una sola partícula viene dado por
Este resultado se aplica a cada nivel de una sola partícula y, por lo tanto, forma la distribución de Bose-Einstein para todo el estado del sistema. [10] [11]
La variación en el número de partículas (debido a fluctuaciones térmicas ) también se puede derivar, el resultado se puede expresar en términos de valor recién derivado:
Como resultado, para estados muy ocupados, la desviación estándar del número de partículas de un nivel de energía es muy grande, ligeramente mayor que el número de partículas en sí:. Esta gran incertidumbre se debe al hecho de que la distribución de probabilidad para el número de bosones en un nivel de energía dado es una distribución geométrica ; algo contrario a la intuición, el valor más probable para N es siempre 0. (Por el contrario, las partículas clásicas tienen en cambio una distribución de Poisson en el número de partículas para un estado dado, con una incertidumbre mucho menor de, y con el valor de N más probable cerca.)
Derivación en el enfoque canónico
También es posible derivar estadísticas de Bose-Einstein aproximadas en el conjunto canónico . Estas derivaciones son largas y solo producen los resultados anteriores en el límite asintótico de un gran número de partículas. La razón es que el número total de bosones se fija en el conjunto canónico. La distribución de Bose-Einstein en este caso se puede derivar, como en la mayoría de los textos, por maximización, pero la mejor derivación matemática es mediante el método de Darwin-Fowler de valores medios, como lo enfatiza Dingle. [12] Véase también Müller-Kirsten. [7] Sin embargo, las fluctuaciones del estado fundamental en la región condensada son marcadamente diferentes en los conjuntos canónico y gran canónico. [13]
Supongamos que tenemos varios niveles de energía, etiquetados por índice , cada nivel tiene energía y que contiene un total de partículas. Suponga que cada nivel contienesubniveles distintos, todos los cuales tienen la misma energía y que son distinguibles. Por ejemplo, dos partículas pueden tener momentos diferentes, en cuyo caso se pueden distinguir entre sí, pero aún pueden tener la misma energía. El valor de asociado con el nivel se llama la "degeneración" de ese nivel de energía. Cualquier número de bosones puede ocupar el mismo subnivel.
Dejar ser el número de formas de distribuir partículas entre las subniveles de un nivel de energía. Solo hay una forma de distribuir partículas con un subnivel, por lo tanto . Es fácil ver que hay formas de distribuir partículas en dos subniveles que escribiremos como:
Con un poco de pensamiento (ver Notas a continuación), se puede ver que la cantidad de formas de distribuir partículas en tres subniveles es
así que eso
donde hemos utilizado el siguiente teorema que involucra coeficientes binomiales :
Continuando con este proceso, podemos ver que es solo un coeficiente binomial (vea las notas a continuación)
Por ejemplo, los números de población de dos partículas en tres subniveles son 200, 110, 101, 020, 011 o 002 para un total de seis, lo que equivale a 4! / (2! 2!). El número de formas en que un conjunto de ocupaciones numera puede realizarse es el producto de las formas en que se puede poblar cada nivel de energía individual:
donde la aproximación asume que .
Siguiendo el mismo procedimiento utilizado para derivar las estadísticas de Maxwell-Boltzmann , deseamos encontrar el conjunto depara lo cual W se maximiza, sujeto a la restricción de que haya un número total fijo de partículas y una energía total fija. Los máximos de y ocurren en el mismo valor de y, dado que es más fácil de lograr matemáticamente, maximizaremos la última función en su lugar. Restringimos nuestra solución usando multiplicadores de Lagrange que forman la función:
Utilizando la aproximación y usando la aproximación de Stirling para los factoriales da
Donde K es la suma de varios términos que no son funciones del. Tomando la derivada con respecto a, y estableciendo el resultado en cero y resolviendo para , produce los números de población de Bose-Einstein:
Mediante un proceso similar al descrito en el artículo de estadísticas de Maxwell-Boltzmann , se puede ver que:
que, utilizando la famosa relación de Boltzmann se convierte en un enunciado de la segunda ley de la termodinámica a volumen constante, y se sigue que y donde S es la entropía ,es el potencial químico , k B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura , de modo que finalmente:
Tenga en cuenta que la fórmula anterior a veces se escribe:
dónde es la actividad absoluta , como señaló McQuarrie. [14]
También tenga en cuenta que cuando los números de partículas no se conservan, eliminar la restricción de conservación de números de partículas es equivalente a establecer y por lo tanto el potencial químico a cero. Este será el caso de fotones y partículas masivas en equilibrio mutuo y la distribución resultante será la distribución de Planck .
Una forma mucho más sencilla de pensar en la función de distribución de Bose-Einstein es considerar que n partículas se indican con bolas idénticas y g conchas están marcadas con particiones lineales g-1. Está claro que las permutaciones de estas n bolas y particiones g - 1 darán diferentes formas de organizar los bosones en diferentes niveles de energía. Digamos, para 3 (= n ) partículas y 3 (= g ) conchas, por lo tanto ( g - 1) = 2, la disposición podría ser | ●● | ● , o || ●●● , o | ● | ●● , etc. Por lo tanto, el número de permutaciones distintas de n + (g-1) objetos que tienen n elementos idénticos y ( g - 1) elementos idénticos será:
O
El propósito de estas notas es aclarar algunos aspectos de la derivación de la distribución de Bose-Einstein (B-E) para principiantes. La enumeración de casos (o formas) en la distribución B – E puede reformularse de la siguiente manera. Considere un juego de lanzamiento de dados en el que hay dados, con cada dado tomando valores en el conjunto , por . Las limitaciones del juego son que el valor de un dado, denotado por , tiene que ser mayor o igual que el valor de die, denotado por , en el tiro anterior, es decir, . Por lo tanto, una secuencia válida de lanzamientos de dados puede describirse mediante una n- tupla, tal que . Dejardenotar el conjunto de estas n- tuplas válidas :
(1)
Entonces la cantidad ( definido anteriormente como el número de formas de distribuir partículas entre las subniveles de un nivel de energía) es la cardinalidad de , es decir, el número de elementos (o n- tuplas válidas ) en. Así, el problema de encontrar una expresión para se convierte en el problema de contar los elementos en .
Ejemplo n = 4, g = 3:
- (existen elementos en )
Subconjunto se obtiene fijando todos los índices a , a excepción del último índice, , que se incrementa de a . Subconjunto se obtiene fijando y aumentando de a . Debido a la restricción en los índices en , El índice debe tomar automáticamente valores en . La construcción de subconjuntos y sigue de la misma manera.
Cada elemento de se puede pensar como un conjunto múltiple de cardinalidad; los elementos de tal multiconjunto se toman del conjunto de cardinalidad , y el número de tales conjuntos múltiples es el coeficiente de conjuntos múltiples
De manera más general, cada elemento de es un conjunto múltiple de cardinalidad (número de dados) con elementos tomados del conjunto de cardinalidad (número de valores posibles de cada dado), y el número de tales conjuntos múltiples, es decir, es el coeficiente multiset
(2)
que es exactamente la misma que la fórmula para, como se derivó anteriormente con la ayuda de un teorema que involucra coeficientes binomiales, a saber
(3)
Para entender la descomposición
(4)
o por ejemplo, y
reorganicemos los elementos de como sigue
Claramente, el subconjunto de es el mismo que el conjunto
- .
Borrando el índice (mostrado en rojo con doble subrayado ) en el subconjunto de , se obtiene el conjunto
- .
En otras palabras, existe una correspondencia biunívoca entre el subconjunto de y el set . Nosotros escribimos
- .
Del mismo modo, es fácil ver que
- (conjunto vacio).
Así podemos escribir
o más en general,
;
(5)
y ya que los sets
no se cruzan, por lo tanto, tenemos
,
(6)
con la convención de que
(7)
Continuando con el proceso, llegamos a la siguiente fórmula
Usando la convención (7) 2 anterior, obtenemos la fórmula
(8)
teniendo en cuenta que para y siendo constantes, tenemos
.
(9)
Entonces se puede verificar que (8) y (2) dan el mismo resultado para , , etc.
Aplicaciones interdisciplinarias
Considerada como una distribución de probabilidad pura, la distribución de Bose-Einstein ha encontrado aplicación en otros campos:
- En los últimos años, las estadísticas de Bose-Einstein también se han utilizado como método para ponderar los términos en la recuperación de información . El método forma parte de una colección de modelos DFR ("Divergence From Randomness"), [15] la noción básica es que las estadísticas de Bose-Einstein pueden ser un indicador útil en los casos en que un término en particular y un documento en particular tienen una relación significativa que no habría ocurrido por pura casualidad. El código fuente para implementar este modelo está disponible en el proyecto Terrier de la Universidad de Glasgow.
- La evolución de muchos sistemas complejos, incluida la World Wide Web , las redes comerciales y de citas, está codificada en la web dinámica que describe las interacciones entre los componentes del sistema. A pesar de su naturaleza irreversible y de desequilibrio, estas redes siguen las estadísticas de Bose y pueden sufrir la condensación de Bose-Einstein. Abordar las propiedades dinámicas de estos sistemas de no equilibrio dentro del marco de los gases cuánticos de equilibrio predice que los fenómenos de " ventaja del primer movimiento", "encajar-hacerse rico ( FGR )" y "el ganador se lo lleva todo" observados en sistemas competitivos son fases termodinámicamente distintas de las redes subyacentes en evolución. [dieciséis]
Ver también
- Correlaciones de Bose-Einstein
- Condensado de Bose-Einstein
- Bose gas
- Sólido de Einstein
- bosón de Higgs
- Paraestadísticas
- Ley de Planck de la radiación del cuerpo negro
- Superconductividad
- Estadísticas de Fermi – Dirac
- Estadísticas de Maxwell – Boltzmann
Notas
- ^ Pearsall, Thomas (2020). Fotónica cuántica, 2ª edición . Textos de Posgrado en Física. Saltador. doi : 10.1007 / 978-3-030-47325-9 . ISBN 978-3-030-47324-2.
- ^ d'Alembert, Jean (1754). "Croix ou pile". L'Encyclopédie (en francés). 4 .
- ^ d'Alembert, Jean (1754). "CROIX OU PILE" [Traducción de Richard J. Pulskamp] (PDF) . Universidad Xavier . Consultado el 14 de enero de 2019 .
- ^ Ver p. 14, nota 3, de la tesis: Michelangeli, Alessandro (octubre de 2007). Condensación de Bose-Einstein: Análisis de problemas y resultados rigurosos (PDF) (Ph.D.). Escuela Internacional de Estudios Avanzados . Archivado (PDF) desde el original el 3 de noviembre de 2018 . Consultado el 14 de febrero de 2019 . Resumen de laicos .
- ^ Bose (2 de julio de 1924). "Ley de Planck y la hipótesis de los cuantos de luz" (PostScript) . Universidad de Oldenburg . Consultado el 30 de noviembre de 2016 .
- ^ Bose (1924), "Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese", Zeitschrift für Physik (en alemán), 26 (1): 178–181, Bibcode : 1924ZPhy ... 26..178B , doi : 10.1007 / BF01327326 , S2CID 186235974
- ^ a b H.JW Müller-Kirsten, Fundamentos de la física estadística, 2a ed., World Scientific (2013), ISBN 978-981-4449-53-3 .
- ^ Srivastava, RK; Ashok, J. (2005). "Capítulo 7". Mecánica estadística . Nueva Delhi : PHI Learning Pvt. Ltd. ISBN 9788120327825.
- ^ Landau, LD, Lifšic, EM, Lifshitz, EM y Pitaevskii, LP (1980). Física estadística (Vol. 5). Pergamon Press.
- ^ "Capítulo 6". Mecánica estadística . Enero de 2005. ISBN 9788120327825.
- ^ La distribución BE se puede derivar también de la teoría del campo térmico.
- ^ RB Dingle, Expansiones asintóticas: su derivación e interpretación, Academic Press (1973), págs. 267-271.
- ^ Ziff R. M; Kac, M .; Uhlenbeck, GE (1977). " El gas ideal de Bose-Einstein, revisado " . Phys. Reports 32 : 169-248.
- ^ Ver McQuarrie en citas
- ↑ Amati, G .; CJ Van Rijsbergen (2002). " Modelos probabilísticos de recuperación de información basados en la medición de la divergencia de la aleatoriedad " ACM TOIS 20 (4): 357–389.
- ^ Bianconi, G .; Barabási, A.-L. (2001). " Condensación de Bose-Einstein en redes complejas " . Phys. Rev. Lett. 86 : 5632–35.
Referencias
- Annett, James F. (2004). Superconductividad, Superfluidos y Condensados . Nueva York: Oxford University Press. ISBN 0-19-850755-0.
- Carter, Ashley H. (2001). Termodinámica clásica y estadística . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-779208-5.
- Griffiths, David J. (2005). Introducción a la Mecánica Cuántica (2ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Pearson, Prentice Hall. ISBN 0-13-191175-9.
- McQuarrie, Donald A. (2000). Mecánica estadística (1ª ed.). Sausalito, California 94965: Libros de ciencia universitarios. pag. 55 . ISBN 1-891389-15-7.Mantenimiento de CS1: ubicación ( enlace )