En la topología y las matemáticas en general, el límite de un subconjunto S de un espacio topológico X es el conjunto de puntos que pueden ser abordados tanto desde S y desde el exterior de S . Más precisamente, es el conjunto de puntos en el cierre de S que no pertenece al interior de S . Un elemento de la frontera de S se llama un punto límite de S . El término operación de fronterase refiere a encontrar o tomar el límite de un conjunto. Las notaciones utilizadas para el límite de un conjunto S incluyen bd ( S ), fr ( S ) y. Algunos autores (por ejemplo, Willard, en Topología general ) utilizan el término frontera en lugar de límite en un intento de evitar la confusión con una definición diferente utilizada en la topología algebraica y la teoría de variedades . A pesar de la amplia aceptación del significado de los términos límite y frontera, a veces se han utilizado para referirse a otros conjuntos. Por ejemplo, los espacios métricos por ET Copson utiliza el límite término para referirse a Hausdorff 's frontera , que se define como la intersección de un conjunto con su límite. [1] Hausdorff también introdujo el término residuo , que se define como la intersección de un conjunto con el cierre del borde de su complemento. [2]
Un componente conectado de la frontera de S se llama un componente límite de S .
Definiciones comunes
Hay varias definiciones equivalentes para el límite de un subconjunto S de un espacio topológico X :
- el cierre demenos el interior de:
- la intersección del cierre de con el cierre de su complemento :
- el conjunto de puntos tal que cada barrio de contiene al menos un punto de y al menos un punto no de :
Ejemplos de
Considere la línea real con la topología habitual (es decir, la topología cuyos conjuntos de bases son intervalos abiertos ) y, el subconjunto de racionales (con interior vacío ). Uno tiene
Estos dos últimos ejemplos ilustran el hecho de que el límite de un conjunto denso con interior vacío es su cierre.
En el espacio de los números racionales con la topología habitual (la topología subespacial de), el límite de , donde a es irracional, está vacío.
El límite de un conjunto es una noción topológica y puede cambiar si se cambia la topología. Por ejemplo, dada la topología habitual en, el límite de un disco cerrado es el círculo circundante del disco: . Si el disco se ve como un conjunto en con su propia topología habitual, es decir , entonces el límite del disco es el propio disco: . Si el disco se ve como su propio espacio topológico (con la topología subespacial de), entonces el límite del disco está vacío.
Propiedades
- El límite de un conjunto está cerrado . [3]
- Tanto el límite del interior de un conjunto como el límite del cierre de un conjunto están contenidos en el límite del conjunto.
- Un conjunto es el límite de algún conjunto abierto si y solo si está cerrado y no es denso en ninguna parte .
- El límite de un conjunto es el límite del complemento del conjunto: .
- El interior del límite de un conjunto cerrado es el conjunto vacío.
- Si es un subconjunto abierto denso de luego
Por eso:
- ("Tricotomía") Dado un conjunto , un punto se encuentra exactamente en uno de los conjuntos , , y .
- p es un punto límite de un conjunto si y solo si cada vecindad de p contiene al menos un punto en el conjunto y al menos un punto que no está en el conjunto.
- Un conjunto se cierra si y solo si contiene su límite, y se abre si y solo si está disjunto de su límite.
- El cierre de un conjunto es igual a la unión del conjunto con su límite: .
- El límite de un conjunto está vacío si y solo si el conjunto está cerrado y abierto (es decir, un conjunto cerrado ).
- El interior del límite del cierre de un conjunto es el conjunto vacío.
- Diagrama de Venn conceptual que muestra las relaciones entre diferentes puntos de un subconjuntode R n . A = conjunto de puntos límite deB = conjunto de puntos limítrofes deárea sombreada en verde = conjunto de puntos interiores deárea sombreada en amarillo = conjunto de puntos aislados deáreas sombreadas en negro = conjuntos vacíos. Cada punto dees un punto interior o un punto límite. Además, cada punto dees un punto de acumulación o un punto aislado. Asimismo, cada punto límite de S es un punto de acumulación o un punto aislado. Los puntos aislados son siempre puntos límite.
Límite de un límite
Para cualquier conjunto S , ∂ S ⊇ ∂∂ S , con igualdad si y solo si el límite de S no tiene puntos interiores, que será el caso, por ejemplo, si S es cerrado o abierto. Dado que el límite de un conjunto es cerrado,para cualquier conjunto S . El operador de límites satisface así una especie de idempotencia debilitada .
Al discutir los límites de las variedades o símplex y sus complejos simpliciales , uno a menudo se encuentra con la afirmación de que el límite de la frontera siempre está vacío. De hecho, la construcción de la homología singular se basa críticamente en este hecho. La explicación de la aparente incongruencia es que el límite topológico (el tema de este artículo) es un concepto ligeramente diferente del límite de una variedad o de un complejo simplicial. Por ejemplo, el límite de un disco abierto visto como una variedad está vacío, al igual que su límite topológico visto como un subconjunto de sí mismo, mientras que su límite topológico visto como un subconjunto del plano real es el círculo que rodea al disco. Por el contrario, el límite de un disco cerrado visto como una variedad es el círculo delimitador, al igual que su límite topológico visto como un subconjunto del plano real, mientras que su límite topológico visto como un subconjunto de sí mismo está vacío. (En particular, el límite topológico depende del espacio ambiental, mientras que el límite de una variedad es invariante).
Ver también
- Consulte la discusión sobre el límite en la variedad topológica para obtener más detalles.
- Límite de una variedad
- Punto límite : concepto matemático relacionado con subconjuntos de espacios vectoriales
- Cierre (topología)
- Exterior (topología) : el subconjunto abierto más grande que está "fuera de" un subconjunto determinado.
- Interior (topología)
- Conjunto denso en ninguna parte
- Teorema de la densidad de Lebesgue , para la caracterización de la teoría de medidas y las propiedades de la frontera
- Superficie (topología) : colector bidimensional
Referencias
- ^ Hausdorff, Felix (1914). Grundzüge der Mengenlehre . Leipzig: Veit. pag. 214 . ISBN 978-0-8284-0061-9. Reimpreso por Chelsea en 1949.
- ^ Hausdorff, Felix (1914). Grundzüge der Mengenlehre . Leipzig: Veit. pag. 281 . ISBN 978-0-8284-0061-9. Reimpreso por Chelsea en 1949.
- ^ Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introducción a la topología (Tercera ed.). Dover. pag. 86. ISBN 0-486-66352-3.
Corolario 4.15 Para cada subconjunto A , Brdy ( A ) está cerrado.
Otras lecturas
- Munkres, JR (2000). Topología . Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
- Willard, S. (1970). Topología general . Addison-Wesley. ISBN 0-201-08707-3.
- van den Dries, L. (1998). Topología domesticada . ISBN 978-0521598385.