Problema de valor límite

Muestra una región donde una ecuación diferencial es válida y los valores de límite asociados

En matemáticas , en el campo de las ecuaciones diferenciales , un problema de valor de frontera es una ecuación diferencial junto con un conjunto de restricciones adicionales, llamadas condiciones de frontera . ^[1] Una solución a un problema de valor en la frontera es una solución a la ecuación diferencial que también satisface las condiciones de la frontera.

Los problemas de valores de frontera surgen en varias ramas de la física, ya que cualquier ecuación diferencial física los tendrá. Los problemas que involucran la ecuación de onda , como la determinación de los modos normales , a menudo se plantean como problemas de valor límite. Una gran clase de problemas importantes de valores en la frontera son los problemas de Sturm-Liouville . El análisis de estos problemas involucra las funciones propias de un operador diferencial .

Para que sea útil en las aplicaciones, un problema de valor límite debe estar bien planteado . Esto significa que, dada la entrada al problema, existe una solución única, que depende continuamente de la entrada. Gran parte del trabajo teórico en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales se dedica a demostrar que los problemas de valores de frontera que surgen de aplicaciones científicas y de ingeniería están de hecho bien planteados.

Entre los primeros problemas de valores en la frontera que se estudiarán está el problema de Dirichlet , de encontrar las funciones armónicas (soluciones a la ecuación de Laplace ); la solución la dio el principio de Dirichlet .

Explicación

Los problemas de valor límite son similares a los problemas de valor inicial . Un problema de valor límite tiene condiciones especificadas en los extremos ("límites") de la variable independiente en la ecuación, mientras que un problema de valor inicial tiene todas las condiciones especificadas en el mismo valor de la variable independiente (y ese valor está en el límite inferior del dominio, de ahí el término valor "inicial"). Un valor límite es un valor de datos que corresponde a un valor de entrada, interno o de salida mínimo o máximo especificado para un sistema o componente. ^[2]

Por ejemplo, si la variable independiente es el tiempo sobre el dominio [0,1], un problema de valor límite especificaría valores para ambos y , mientras que un problema de valor inicial especificaría un valor de y para el tiempo .${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle t=1}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle y'(t)}$${\displaystyle t=0}$

Encontrar la temperatura en todos los puntos de una barra de hierro con un extremo mantenido en cero absoluto y el otro extremo en el punto de congelación del agua sería un problema de valor límite.

Si el problema depende tanto del espacio como del tiempo, se podría especificar el valor del problema en un punto dado para todo el tiempo o en un momento dado para todo el espacio.

Concretamente, un ejemplo de un valor de frontera (en una dimensión espacial) es el problema

${\displaystyle y''(x)+y(x)=0}$

a resolver para la función desconocida con las condiciones de contorno${\displaystyle y(x)}$

${\displaystyle y(0)=0,\ y(\pi /2)=2.}$

Sin las condiciones de contorno, la solución general a esta ecuación es

${\displaystyle y(x)=A\sin(x)+B\cos(x).}$

De la condición de frontera se obtiene${\displaystyle y(0)=0}$

${\displaystyle 0=A\cdot 0+B\cdot 1}$

lo que implica que desde la condición de frontera uno encuentra${\displaystyle B=0.}$${\displaystyle y(\pi /2)=2}$

${\displaystyle 2=A\cdot 1}$

y entonces Uno ve que la imposición de condiciones de frontera le permitió a uno determinar una solución única, que en este caso es ${\displaystyle A=2.}$

${\displaystyle y(x)=2\sin(x).}$

Tipos de problemas de valor límite

Condiciones de valor límite

Encontrar una función para describir la temperatura de esta barra 2D idealizada es un problema de valor límite con las condiciones límite de Dirichlet . Cualquier función de solución resolverá la ecuación de calor y cumplirá las condiciones de contorno de una temperatura de 0 K en el límite izquierdo y una temperatura de 273,15 K en el límite derecho.

Una condición de límite que especifica el valor de la función en sí es una condición de límite de Dirichlet , o condición de límite de primer tipo. Por ejemplo, si un extremo de una barra de hierro se mantiene en cero absoluto, entonces el valor del problema se conocería en ese punto del espacio.

Una condición de límite que especifica el valor de la derivada normal de la función es una condición de límite de Neumann o condición de límite de segundo tipo. Por ejemplo, si hay un calentador en un extremo de una barra de hierro, entonces se agregaría energía a una tasa constante, pero no se conocería la temperatura real.

Si el límite tiene la forma de una curva o superficie que le da un valor a la derivada normal y la propia variable, entonces es una condición de límite de Cauchy .

Ejemplos

Resumen de las condiciones de contorno para la función desconocida , constantes y especificadas por las condiciones de contorno, y funciones escalares conocidas y especificadas por las condiciones de contorno.${\displaystyle y}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

Nombre	Forma en la 1ra parte del límite	Forma en la segunda parte del límite
Dirichlet	${\displaystyle y=f}$
Neumann	${\displaystyle {\partial y \over \partial n}=f}$
Robin	${\displaystyle c_{0}y+c_{1}{\partial y \over \partial n}=f}$
Mezclado	${\displaystyle y=f}$	${\displaystyle c_{0}y+c_{1}{\partial y \over \partial n}=f}$
Cauchy	ambos y${\displaystyle y=f}$${\displaystyle c_{0}{\partial y \over \partial n}=g}$

Operadores diferenciales

Aparte de la condición de frontera, los problemas de valor de frontera también se clasifican según el tipo de operador diferencial involucrado. Para un operador elíptico , se discuten problemas de valores de contorno elípticos . Para un operador hiperbólico , se discuten problemas de valores de frontera hiperbólicos . Estas categorías se subdividen en varios tipos lineales y no lineales.

Aplicaciones

Potencial electromagnético

Ver también: Ecuación de Laplace § Condiciones de contorno

En electrostática , un problema común es encontrar una función que describa el potencial eléctrico de una región determinada. Si la región no contiene carga, el potencial debe ser una solución a la ecuación de Laplace (una llamada función armónica ). Las condiciones de contorno en este caso son las condiciones de interfaz para campos electromagnéticos . Si no hay densidad de corriente en la región, también es posible definir un potencial escalar magnético utilizando un procedimiento similar.

Ver también

Matemáticas relacionadas: Problema de valor inicial Función de Green Procesos estocásticos y problemas de valores de frontera Teoría de Sturm-Liouville Condición de radiación de Sommerfeld Perfecta condición de contacto térmico

Aplicaciones físicas: Ondas Modo normal Electrostática Teoría potencial Cálculo de la atenuación de ondas de radio en la atmósfera. Calabozo

Algoritmos numéricos: Método de disparo Método de disparo múltiple directo Método de caminar sobre esferas Método de diferencias finitas

Notas

1. Daniel Zwillinger (12 de mayo de 2014). Manual de ecuaciones diferenciales . Ciencia de Elsevier. págs. 536–. ISBN 978-1-4832-2096-3.
2. Norma internacional ISO / IEC / IEEE - Ingeniería de software y sistemas . ISO / IEC / IEEE 24765: 2010 (E). págs. vol., no., págs. 1-418.

Referencias

• AD Polyanin y VF Zaitsev, Manual de soluciones exactas para ecuaciones diferenciales ordinarias (2ª edición) , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2 . 
• AD Polyanin, Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9 . 

Enlaces externos

• "Problemas de valor límite en la teoría del potencial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Problema de valor límite, métodos de variables complejas" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Ecuaciones diferenciales parciales lineales: soluciones exactas y problemas de valor en la frontera en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• "Problema del valor límite" . Scholarpedia .