En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un conjunto en un espacio vectorial topológico se llama acotado o acotado de von Neumann , si cada vecindad del vector cero se puede inflar para incluir el conjunto. Un conjunto que no está acotado se llama ilimitado .
Los conjuntos delimitados son una forma natural de definir topologías polares localmente convexas en los espacios vectoriales en un par dual , ya que el polar de un conjunto delimitado es un conjunto absolutamente convexo y absorbente . El concepto fue introducido por primera vez por John von Neumann y Andrey Kolmogorov en 1935.
Definición
- Notación : para cualquier conjunto y escalar dejar
Definición : dado un espacio vectorial topológico (TVS)sobre un campo un subconjunto de se llama von Neumann acotado o simplemente acotado en si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- para cada barrio del origen existe un real tal que para todos los escalares satisfactorio ; [1]
- Esta fue la definición introducida por John von Neumann en 1935. [1]
- es absorbido por todos los barrios del origen; [2]
- para cada barrio del origen existe un escalar tal que ;
- para cada barrio del origen existe un real tal que para todos los escalares satisfactorio ; [1]
- Cualquiera de las 4 condiciones anteriores pero con la palabra "vecindario" reemplazada por cualquiera de las siguientes: " vecindario equilibrado ", "vecindario equilibrado abierto", "vecindario equilibrado cerrado", "vecindario abierto", "vecindario cerrado";
- por ejemplo, la condición 2 puede convertirse en: está acotado si y solo si es absorbido por cada barrio equilibrado del origen. [1]
- para cada secuencia de escalares que converge a 0 y cada secuencia en la secuencia converge a 0 en ; [1]
- Esta fue la definición de "acotado" que utilizó Andrey Kolmogorov en 1934, que es la misma que la definición introducida por Stanisław Mazur y Władysław Orlicz en 1933 para televisores metrizables. Kolmogorov usó esta definición para probar que un TVS es seminormable si y solo si tiene una vecindad convexa acotada de 0. [1]
- para cada secuencia en la secuencia en ; [3]
- cada subconjunto contable deestá acotado (de acuerdo con cualquier condición definitoria que no sea esta). [1]
mientras que si es un espacio localmente convexo cuya topología está definida por una familiade seminormas continuos , entonces podemos agregar a esta lista:
- está acotado para todos [1]
- existe una secuencia de escalares distintos de cero tal que para cada secuencia en la secuencia está delimitado en (de acuerdo con cualquier condición definitoria que no sea esta). [1]
- para todos está delimitado (de acuerdo con cualquier condición definitoria que no sea esta) en el espacio semi-normalizado
mientras que si es un espacio seminormed con seminorm (tenga en cuenta que cada espacio normado es un espacio seminorizado y cada norma es una seminorma), entonces podemos agregar a esta lista:
- Existe un real que para todos [1]
mientras que si es un subespacio vectorial de TVS entonces podemos agregar a esta lista:
- está contenido en el cierre de [1]
Un subconjunto que no está acotado se llama ilimitado .
Bornología y sistemas fundamentales de conjuntos acotados
La colección de todos los conjuntos delimitados en un espacio vectorial topológico. se llama la bornology von Neumann o la ( canónico ) bornology de.
Una base o sistema fundamental de conjuntos acotados de es un conjunto de subconjuntos acotados de tal que cada subconjunto acotado de es un subconjunto de algunos [1] El conjunto de todos los subconjuntos acotados de trivialmente forma un sistema fundamental de conjuntos acotados de
Ejemplos de
En cualquier TVS localmente convexo , el conjunto de discos cerrados y acotados es la base del conjunto acotado. [1]
Propiedades de estabilidad
Dejar ser cualquier espacio vectorial topológico (TVS) (no necesariamente Hausdorff o localmente convexo).
- En cualquier TVS, las uniones finitas, las sumas finitas, los múltiplos escalares, los subconjuntos, los cierres, los interiores y los cascos equilibrados de los conjuntos acotados están nuevamente acotados. [1]
- En cualquier TVS localmente convexo , el casco convexo de un conjunto acotado está nuevamente acotado. Esto puede no ser cierto si el espacio no es convexo localmente. [1]
- La imagen de un conjunto acotado bajo un mapa lineal continuo es un subconjunto acotado del codominio. [1]
- Un subconjunto de un producto arbitrario de TVS está acotado si y solo si todas sus proyecciones están acotadas.
- Si es un subespacio vectorial de un TVS y si luego está delimitado en si y solo si está acotado en [1]
Ejemplos y condiciones suficientes
- En cualquier espacio vectorial topológico (TVS), los conjuntos finitos están limitados. [1]
- Cada subconjunto totalmente acotado de un TVS está acotado. [1]
- Todo conjunto relativamente compacto en un espacio vectorial topológico está acotado. Si el espacio está equipado con la topología débil, lo contrario también es cierto.
- El conjunto de puntos de una secuencia de Cauchy está acotado, no es necesario que el conjunto de puntos de una red de Cauchy esté acotado.
- En cualquier TVS, cada subconjunto del cierre de está ligado.
No ejemplos
- En cualquier TVS, cualquier subespacio vectorial que no esté contenido en el cierre de es ilimitado (es decir, no limitado).
- Existe un espacio Fréchet tener un subconjunto acotado y también un subespacio vectorial denso tal que no está contenido en el cierre (en) de cualquier subconjunto acotado de [4]
Propiedades
- Las uniones finitas, sumas finitas, cierres , interiores y cascos equilibrados de conjuntos delimitados están delimitados.
- La imagen de un conjunto acotado bajo un mapa lineal continuo está acotada.
- En un espacio localmente convexo, la envolvente convexa de un conjunto acotado está acotada.
- Sin convexidad local esto es falso, ya que los espacios L p para no tienen subconjuntos convexos abiertos no triviales.
- Un espacio vectorial topológico localmente convexo tiene una vecindad acotada de cero si y solo si su topología puede ser definida por una sola seminorma .
- El polar de un conjunto acotado es un conjunto absolutamente convexo y absorbente.
Condición de contabilidad de Mackey ( [1] ) : suponga quees un TVS localmente convexo metrizable y que es una secuencia contable de subconjuntos acotados de Entonces existe un subconjunto acotado de y una secuencia de números reales positivos tales que para todos
Generalización
La definición de conjuntos acotados se puede generalizar a módulos topológicos . Un subconjunto de un módulo topológico sobre un anillo topológico está acotado si para cualquier vecindario de existe un barrio de tal que
Ver también
- Conjunto bornívoro : un conjunto que puede absorber cualquier subconjunto acotado
- Función acotada - Función matemática
- Operador acotado : un operador lineal que envía subconjuntos acotados a subconjuntos acotados
- Punto límite : concepto matemático relacionado con subconjuntos de espacios vectoriales
- Espacio compacto : nociones topológicas de que todos los puntos están "cercanos"
- Delimitación local
- Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
- Espacio totalmente acotado
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
Referencias
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t Narici y Beckenstein 2011 , págs. 156-175.
- ^ Schaefer 1970 , p. 25.
- ↑ Wilansky , 2013 , p. 47.
- ↑ Wilansky , 2013 , p. 57.
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