Función de golpe

Una función suave y con soporte compacto

La gráfica de la función de relieve donde y${\displaystyle (x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\mapsto \Psi (r),}$${\displaystyle r=(x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \Psi (r)=e^{-{\frac {1}{1-r^{2}}}}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.}$

En matemáticas , una función de relieve (también llamada función de prueba ) es una función en un espacio euclidiano que es tanto uniforme (en el sentido de tener derivadas continuas de todos los órdenes) como de forma compacta . El conjunto de todas las funciones de relieve con dominio forma un espacio vectorial , denotado o . El espacio dual de este espacio dotado de una topología adecuada es el espacio de distribuciones .${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})}$

Ejemplos

La función dada por${\displaystyle \Psi :\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} }$

${\displaystyle \Psi (x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

es un ejemplo de una función de respuesta en una dimensión. Se desprende de la construcción que esta función tiene soporte compacto, ya que una función de la línea real tiene soporte compacto si y solo si tiene soporte cerrado delimitado. La prueba de suavidad sigue las mismas líneas que para la función relacionada discutida en el artículo Función suave no analítica . Esta función se puede interpretar como la función gaussiana escalada para encajar en el disco de la unidad: la sustitución corresponde al envío a .${\displaystyle \exp(-y^{2})}$${\displaystyle y^{2}=1/(1-x^{2})}$${\displaystyle x=\pm 1}$${\displaystyle y=\infty }$

Un ejemplo simple de una función de aumento en variables se obtiene tomando el producto de copias de la función de aumento anterior en una variable, por lo que ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Psi (x_{1})\Psi (x_{2})\cdots \Psi (x_{n}).}$

Existencia de funciones de respuesta

Una ilustración de los decorados en la construcción.

Es posible construir funciones de respuesta "según especificaciones". Dicho formalmente, si es un conjunto compacto arbitrario en dimensiones y es un conjunto abierto que contiene , existe una función de golpe que está dentro y fuera de . Dado que puede tomarse como un vecindario muy pequeño de , esto equivale a poder construir una función que esté encendida y desaparezca rápidamente hacia afuera , sin dejar de ser suave.${\displaystyle K}$${\displaystyle n}$${\displaystyle U}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle K}$

La construcción procede de la siguiente manera. Se considera un vecindario compacto de contenido en , por lo que . La función característica de será igual a dentro y fuera de , por lo que, en particular, estará dentro y fuera de . Sin embargo, esta función no es fluida. La idea clave es suavizar un poco, tomando la convolución de con un suavizador . Esta última es solo una función de golpe con un soporte muy pequeño y cuya integral es . Tal suavizante se puede obtener, por ejemplo, tomando la función de golpe${\displaystyle V}$${\displaystyle K}$${\displaystyle U}$${\displaystyle K\subseteq V^{\circ }\subseteq V\subseteq U}$ ${\displaystyle \chi _{V}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \chi _{V}}$${\displaystyle \chi _{V}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \Phi }$ de la sección anterior y realizando escalas adecuadas.

Propiedades y usos

Si bien las funciones de golpe son suaves, no pueden ser analíticas a menos que desaparezcan de manera idéntica. Ésta es una simple consecuencia del teorema de la identidad . Funciones Bump menudo se utilizan como mollifiers , como lisas funciones de corte , y para formar lisas particiones de unidad . Son la clase más común de funciones de prueba utilizadas en análisis. El espacio de las funciones de respuesta se cierra en muchas operaciones. Por ejemplo, la suma, el producto o la convolución de dos funciones de aumento es nuevamente una función de aumento, y cualquier operador diferencial con coeficientes suaves, cuando se aplica a una función de aumento, producirá otra función de aumento.

La transformada de Fourier de una función de relieve es una función analítica (real), y puede extenderse a todo el plano complejo: por lo tanto, no se puede soportar de forma compacta a menos que sea cero, ya que la única función de relieve analítica completa es la función cero (ver Teorema de Paley-Wiener y teorema de Liouville ). Debido a que la función de golpe es infinitamente diferenciable, su transformada de Fourier debe decaer más rápido que cualquier potencia finita de para una gran frecuencia angular . ^[1] La transformada de Fourier de la función de golpe particular${\displaystyle 1/k}$${\displaystyle |k|}$

${\displaystyle \Psi (x)=e^{-{\frac {1}{1-x^{2}}}}\mathbf {1} _{\{|x|<1\}}}$

desde arriba se puede analizar mediante un método de punto de silla de montar , y decae asintóticamente como

${\displaystyle |k|^{-{\frac {3}{4}}}e^{-{\sqrt {|k|}}}}$

para grandes . ^[2]${\displaystyle |k|}$

Ver también

• Laplaciano del indicador
• Función suave no analítica
• Espacio Schwartz

Referencias

1. KO Mead y LM Delves, "Sobre la tasa de convergencia de expansiones de Fourier generalizadas", IMA J. Appl. Matemáticas. , vol. 12, págs. 247-259 (1973) doi : 10.1093 / imamat / 12.3.247 .
2. Steven G. Johnson , Integración de punto de silla de funciones de "bump" de C ∞ , arXiv: 1508.04376 (2015).