La ecuación de Burgers o ecuación de Bateman-Burgers es una ecuación diferencial parcial fundamental que ocurre en varias áreas de las matemáticas aplicadas , como la mecánica de fluidos , [1] acústica no lineal , [2] dinámica de gases y flujo de tráfico . La ecuación fue introducida por primera vez por Harry Bateman en 1915 [3] [4] y posteriormente estudiada por Johannes Martinus Burgers en 1948. [5]
Para un campo dado y coeficiente de difusión (o viscosidad cinemática , como en el contexto mecánico de fluidos original), la forma general de la ecuación de Burgers (también conocida como ecuación de Burgers viscosa ) en una dimensión espacial es el sistema disipativo :
Cuando el término de difusión está ausente (es decir, ), La ecuación de Burgers se convierte en la ecuación invisible de Burgers :
que es un prototipo de ecuaciones de conservación que pueden desarrollar discontinuidades ( ondas de choque ). La ecuación anterior es la forma advectiva de la ecuación de Burgers. Se encuentra que la forma conservadora es más útil en la integración numérica
Explicación de términos
Hay 4 términos en la ecuación de Burgers: y . En un sistema que consiste en un fluido viscoso en movimiento con un espacio () y uno temporal () dimensión, por ejemplo, una tubería delgada ideal con fluido corriendo a través de ella, la ecuación de Burgers describe la velocidad del fluido en cada ubicación a lo largo de la tubería a medida que pasa el tiempo. Los términos de la ecuación representan las siguientes cantidades: [6]
- : coordenada espacial
- : coordenada temporal
- : velocidad del fluido en las coordenadas espaciales y temporales indicadas
- : viscosidad del fluido
La viscosidad es una propiedad física constante del fluido, y los otros términos representan la dinámica que depende de esa viscosidad.
Ecuación de Inviscid Burgers
La ecuación de Burgers inviscid es una ecuación de conservación , más generalmente una ecuación hiperbólica cuasilineal de primer orden . La solución a la ecuación y junto con la condición inicial
se puede construir por el método de las características . Las ecuaciones características son
La integración de la segunda ecuación nos dice que es constante a lo largo de la característica y la integración de la primera ecuación muestra que las características son líneas rectas, es decir,
dónde es el punto (o parámetro) en el eje x ( t = 0) del plano x - t desde el cual se dibuja la curva característica. Dado que en el punto, la velocidad se conoce a partir de la condición inicial y el hecho de que este valor no cambia a medida que avanzamos a lo largo de la característica que emana de ese punto, escribimosen esa característica. Por tanto, la trayectoria de esa característica es
Por tanto, la solución viene dada por
Esta es una relación implícita que determina la solución de la ecuación de Burgers inviscid siempre que las características no se crucen. Si las características se cruzan, entonces no existe una solución clásica para el PDE y conduce a la formación de una onda de choque . De hecho, el tiempo de ruptura antes de que se pueda formar una onda de choque viene dado por
Ecuación de Inviscid Burgers para la condición inicial lineal
Subrahmanyan Chandrasekhar proporcionó la solución explícita en 1943 cuando la condición inicial es lineal, es decir,, donde ayb son constantes. [7] La solución explícita es
Esta solución es también la integral completa de la ecuación de Burgers inviscid porque contiene tantas constantes arbitrarias como el número de variables independientes que aparecen en la ecuación. [8] [Se necesita una mejor fuente ] En general, no se conocen soluciones explícitas para otras condiciones iniciales relevantes.
Ecuación de Viscous Burgers
La ecuación de las hamburguesas viscosas se puede convertir en una ecuación lineal mediante la transformación de Cole-Hopf [9] [10]
que lo convierte en la ecuación
que se puede integrar con respecto a para obtener
dónde es una función que depende de las condiciones de contorno. Side forma idéntica (por ejemplo, si el problema se va a resolver en un dominio periódico), obtenemos la ecuación de difusión
La ecuación de difusión se puede resolver e invertir la transformación de Cole-Hopf para obtener la solución de la ecuación de Burgers:
Otras formas
Ecuación de Burgers generalizada
La ecuación de Burgers generalizada extiende la convectiva cuasilineal a una forma más generalizada, es decir,
dónde es cualquier función arbitraria de u. El inviscid La ecuación sigue siendo una ecuación hiperbólica cuasilineal para y su solución se puede construir usando el método de características como antes. [11]
Ecuación de Stochastic Burgers
Ruido espacio-temporal añadido forma una ecuación estocástica de Burgers [12]
Esta PDE estocástica es la versión unidimensional de la ecuación de Kardar-Parisi-Zhang en un campo al sustituir .
Ver también
Referencias
- ^ Se relaciona con la ecuación de impulso de Navier-Stokes con el término de presión eliminado Ecuación de Burgers (PDF): aquí la variable es la velocidad de flujo y = u
- ^ Surge de la ecuación de Westervelt con un supuesto de ondas de propagación estrictamente hacia adelante y el uso de una transformación de coordenadas a un marco de tiempo retardado: aquí la variable es la presión
- ^ Bateman, H. (1915). Algunas investigaciones recientes sobre el movimiento de los fluidos. Monthly Weather Review, 43 (4), 163-170.
- ^ Whitham, GB (2011). Ondas lineales y no lineales (Vol. 42). John Wiley e hijos.
- ^ Hamburguesas, JM (1948). Un modelo matemático que ilustra la teoría de la turbulencia. En Avances en mecánica aplicada (Vol. 1, pp. 171-199). Elsevier.
- ^ Cameron, María. "Notas sobre la ecuación de Burgers" (PDF) .
- ^ Chandrasekhar, S. (1943). Sobre la desintegración de las ondas de choque planas (Informe). Laboratorios de Investigación Balística. Informe No. 423.
- ^ Forsyth, AR (1903). Tratado de ecuaciones diferenciales . Londres: Macmillan.
- ^ Cole, Julian (1951). "En una ecuación parabólica cuasi-lineal que ocurre en aerodinámica". Trimestral de Matemática Aplicada . 9 (3): 225–236. JSTOR 43633894 .
- ^ Eberhard Hopf (septiembre de 1950). "La ecuación diferencial parcial y u t + uu x = μu xx ". Comunicaciones sobre Matemática Pura y Aplicada . 3 (3): 201–230. doi : 10.1002 / cpa.3160030302 .
- ^ Courant, R. y Hilbert, D. Métodos de física matemática. Vol. II.
- ^ Wang, W .; Roberts, AJ (2015). "Aproximación de difusión para la autosemejanza de la advección estocástica en la ecuación de Burgers". Comunicaciones en Física Matemática . 333 : 1287-1316. arXiv : 1203.0463 . doi : 10.1007 / s00220-014-2117-7 .
enlaces externos
- Ecuación de Burgers en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
- Ecuación de Burgers en NEQwiki, la enciclopedia de ecuaciones no lineales.