Cálculo

Este artículo trata sobre la rama de las matemáticas. Para otros usos, consulte Cálculo (desambiguación) .

Rama de las matemáticas

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Cálculo
Teorema fundamental Regla integral de Leibniz Límites de funciones Continuidad Teorema del valor medio Teorema de rolle
Diferencial Definiciones Derivado  ( generalizaciones ) Diferencial infinitesimal de una función total Conceptos Notación de diferenciación Segunda derivada Diferenciación implícita Diferenciación logarítmica Tarifas relacionadas Teorema de Taylor Reglas e identidades Suma Producto Cadena Energía Cociente Regla de L'Hôpital Inverso General Leibniz La fórmula de Faà di Bruno
Integral Listas de integrales Transformada integral Definiciones Antiderivada Integral  ( inadecuado ) Integral de Riemann Integración de Lebesgue Integración de contorno Integral de funciones inversas Integración por Partes Discos Carcasas cilíndricas Sustitución  ( trigonométrica , Weierstrass , Euler ) Fórmula de Euler Fracciones parciales Cambio de orden Fórmulas de reducción Diferenciar bajo el signo integral Algoritmo de Risch
Serie Geométrico  ( aritmético-geométrico ) Armónico Alterno Energía Binomio Taylor Pruebas de convergencia Límite de suma (prueba temporal) Proporción Raíz Integral Comparación directa Límite de comparación Serie alternante Condensación de Cauchy Dirichlet Abel
Vector Degradado Divergencia Rizo Laplaciano Derivado direccional Identidades Teoremas Degradado Verduras Stokes ' Divergencia Stokes generalizado
Multivariable Formalismos Matriz Tensor Exterior Geométrico Definiciones Derivada parcial Integral múltiple Integral de línea Integral de superficie Integral de volumen Jacobiano arpillera
Especializado Fraccionario Malliavin Estocástico Variaciones
Diverso Precálculo Historia Glosario Lista de temas Abeja de integración Análisis
v t mi

El cálculo , originalmente llamado cálculo infinitesimal o "cálculo de infinitesimales ", es el estudio matemático del cambio continuo, de la misma manera que la geometría es el estudio de la forma y el álgebra es el estudio de generalizaciones de operaciones aritméticas .

Tiene dos ramas principales, cálculo diferencial y cálculo integral ; el primero se refiere a las tasas de cambio instantáneas y las pendientes de las curvas, mientras que el cálculo integral se refiere a la acumulación de cantidades y áreas debajo o entre curvas. Estas dos ramas están relacionadas entre sí por el teorema fundamental del cálculo , y hacen uso de las nociones fundamentales de convergencia de sucesiones infinitas y series infinitas hasta un límite bien definido . ^[1]

El cálculo infinitesimal fue desarrollado de forma independiente a finales del siglo XVII por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz . ^{[2] [3]} Hoy en día, el cálculo tiene usos generalizados en ciencia , ingeniería y economía . ^[4]

En la educación matemática , el cálculo denota cursos de análisis matemático elemental , que se dedican principalmente al estudio de funciones y límites. La palabra cálculo (plural cálculos ) es una América palabra, que originalmente significa "pequeña piedra" (este significado se mantiene en la medicina - ver Cálculo (medicina) ). Debido a que estos guijarros se usaban para contar (o medir) una distancia recorrida por los dispositivos de transporte que se usaban en la antigua Roma, ^[5] el significado de la palabra ha evolucionado y hoy por lo general significa un método de cálculo. Por lo tanto, se utiliza para nombrar métodos específicos de cálculo y teorías relacionadas, comocálculo proposicional , cálculo de Ricci , cálculo de variaciones , cálculo lambda y cálculo de procesos .

Historia

Artículo principal: Historia del cálculo.

El cálculo moderno fue desarrollado en la Europa del siglo XVII por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz (independientemente el uno del otro, publicando por primera vez aproximadamente al mismo tiempo), pero algunos elementos aparecieron en la antigua Grecia, luego en China y Oriente Medio, y aún más tarde. en la Europa medieval y en la India.

Antiguo

Arquímedes utilizó el método del agotamiento para calcular el área bajo una parábola.

El período antiguo introdujo algunas de las ideas que llevaron al cálculo integral , pero no parece haberlas desarrollado de manera rigurosa y sistemática. Los cálculos de volumen y área , uno de los objetivos del cálculo integral, se pueden encontrar en el papiro egipcio de Moscú ( dinastía XIII , c.  1820  aC); pero las fórmulas son instrucciones sencillas, sin indicación del método, y algunas de ellas carecen de componentes importantes. ^[6]

Desde la era de las matemáticas griegas , Eudoxo ( c.  408-355  a . C.) utilizó el método de agotamiento , que presagia el concepto de límite, para calcular áreas y volúmenes, mientras que Arquímedes ( c.  287-212  a . C.) desarrolló más esta idea. , inventando heurísticas que se asemejan a los métodos del cálculo integral. ^[7]

El método de agotamiento fue descubierto más tarde de forma independiente en China por Liu Hui en el siglo III d.C. para encontrar el área de un círculo. ^[8] En el siglo V d. C., Zu Gengzhi , hijo de Zu Chongzhi , estableció un método ^{[9] [10]} que más tarde se llamaría el principio de Cavalieri para encontrar el volumen de una esfera .

Medieval

Alhazen, matemático y físico árabe del siglo XI.

En el Medio Oriente, Hasan Ibn al-Haytham, latinizado como Alhazen ( c.  965  - c.  1040  EC) derivó una fórmula para la suma de los cuartos poderes . Utilizó los resultados para realizar lo que ahora se llamaría una integración de esta función, donde las fórmulas para las sumas de cuadrados integrales y cuartas potencias le permitieron calcular el volumen de un paraboloide . ^[11]

En el siglo XIV, los matemáticos indios dieron un método no riguroso, parecido a la diferenciación, aplicable a algunas funciones trigonométricas. Madhava de Sangamagrama y la Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala establecieron componentes del cálculo. Una teoría completa que abarca estos componentes es ahora bien conocida en el mundo occidental como la serie de Taylor o aproximaciones de series infinitas . ^[12] Sin embargo, no pudieron "combinar muchas ideas diferentes bajo los dos temas unificadores de la derivada y la integral , mostrar la conexión entre los dos y convertir el cálculo en la gran herramienta de resolución de problemas que tenemos hoy".^[11]

Moderno

El cálculo fue el primer logro de las matemáticas modernas y es difícil sobreestimar su importancia. Creo que define de manera más inequívoca que cualquier otra cosa el inicio de las matemáticas modernas, y el sistema de análisis matemático, que es su desarrollo lógico, sigue constituyendo el mayor avance técnico en el pensamiento exacto.

- John von Neumann ^[13]

En Europa, el trabajo fundacional fue un tratado escrito por Bonaventura Cavalieri , quien argumentó que los volúmenes y áreas deben computarse como las sumas de los volúmenes y áreas de secciones transversales infinitesimalmente delgadas. Las ideas eran similares a las de Arquímedes en El método , pero se cree que este tratado se perdió en el siglo XIII y solo fue redescubierto a principios del siglo XX, por lo que Cavalieri no lo habría conocido. El trabajo de Cavalieri no fue muy respetado ya que sus métodos podían conducir a resultados erróneos, y las cantidades infinitesimales que introdujo eran de mala reputación al principio.

El estudio formal del cálculo reunió a los infinitesimales de Cavalieri con el cálculo de diferencias finitas desarrollado en Europa aproximadamente al mismo tiempo. Pierre de Fermat , alegando que tomó prestado de Diofanto , introdujo el concepto de adecuación , que representaba la igualdad hasta un término de error infinitesimal. ^[14] La combinación fue lograda por John Wallis , Isaac Barrow y James Gregory , los dos últimos demostraron el segundo teorema fundamental del cálculo alrededor de 1670.

Isaac Newton desarrolló el uso del cálculo en sus leyes del movimiento y la gravitación .

La regla del producto y la regla de la cadena , ^[15] las nociones de derivadas superiores y series de Taylor , ^[16] y de funciones analíticas ^{[ cita requerida ]} fueron utilizadas por Isaac Newton en una notación idiosincrásica que aplicó para resolver problemas de física matemática.. En sus obras, Newton reformuló sus ideas para adaptarlas al lenguaje matemático de la época, reemplazando los cálculos con infinitesimales por argumentos geométricos equivalentes que se consideraron irreprochables. Usó los métodos del cálculo para resolver el problema del movimiento planetario, la forma de la superficie de un fluido en rotación, la achatamiento de la tierra, el movimiento de un peso que se desliza sobre una cicloide y muchos otros problemas discutidos en su Principia Mathematica ( 1687). En otro trabajo, desarrolló expansiones de series para funciones, incluidos poderes fraccionarios e irracionales, y estaba claro que entendía los principios de la serie de Taylor . No publicó todos estos descubrimientos, y en ese momento los métodos infinitesimales todavía se consideraban de mala reputación.

Gottfried Wilhelm Leibniz fue el primero en enunciar claramente las reglas del cálculo.

Estas ideas fueron organizadas en un verdadero cálculo de infinitesimales por Gottfried Wilhelm Leibniz , quien originalmente fue acusado de plagio por Newton. ^[17] Ahora se le considera un inventor independiente y contribuyente al cálculo. Su contribución fue proporcionar un conjunto claro de reglas para trabajar con cantidades infinitesimales, permitiendo el cálculo de derivadas segundas y superiores, y proporcionando la regla del producto y la regla de la cadena , en sus formas diferencial e integral. A diferencia de Newton, Leibniz prestó mucha atención al formalismo y, a menudo, pasó días determinando los símbolos apropiados para los conceptos.

Hoy en día, a Leibniz y Newton se les suele atribuir el mérito de haber inventado y desarrollado el cálculo de forma independiente. Newton fue el primero en aplicar el cálculo a la física general y Leibniz desarrolló gran parte de la notación que se usa en el cálculo en la actualidad. Las ideas básicas que proporcionaron Newton y Leibniz fueron las leyes de diferenciación e integración, derivadas segundas y superiores, y la noción de una serie polinómica aproximada. En la época de Newton, se conocía el teorema fundamental del cálculo.

Cuando Newton y Leibniz publicaron por primera vez sus resultados, hubo una gran controversia sobre qué matemático (y, por lo tanto, qué país) merecía crédito. Newton obtuvo sus resultados primero (que luego se publicarán en su Método de fluxiones ), pero Leibniz publicó primero su " Nova Methodus pro Maximis et Minimis ". Newton afirmó que Leibniz robó ideas de sus notas inéditas, que Newton había compartido con algunos miembros de la Royal Society . Esta controversia dividió a los matemáticos de habla inglesa de los matemáticos de Europa continental durante muchos años, en detrimento de las matemáticas inglesas. ^{[ cita requerida ]}Un examen cuidadoso de los artículos de Leibniz y Newton muestra que llegaron a sus resultados de forma independiente, con Leibniz comenzando primero con la integración y Newton con la diferenciación. Sin embargo, fue Leibniz quien dio nombre a la nueva disciplina. Newton llamó a su cálculo " la ciencia de las fluxiones ".

Desde la época de Leibniz y Newton, muchos matemáticos han contribuido al continuo desarrollo del cálculo. Una de las primeras y más completas obras sobre cálculo infinitesimal e integral fue escrita en 1748 por Maria Gaetana Agnesi . ^{[18] [19]}

Maria Gaetana Agnesi

Cimientos

En cálculo, fundamentos se refiere al desarrollo riguroso del tema a partir de axiomas y definiciones. En el cálculo temprano, se pensaba que el uso de cantidades infinitesimales no era riguroso y varios autores, en particular Michel Rolle y el obispo Berkeley , lo criticaron ferozmente . Berkeley describió a los infinitesimales como los fantasmas de las cantidades que partieron en su libro The Analyst en 1734. La elaboración de una base rigurosa para el cálculo ocupó a los matemáticos durante gran parte del siglo que siguió a Newton y Leibniz, y hasta cierto punto sigue siendo un área activa de investigación hoy.

Varios matemáticos, incluido Maclaurin , intentaron probar la solidez de utilizar infinitesimales, pero no sería hasta 150 años después cuando, gracias al trabajo de Cauchy y Weierstrass , finalmente se encontró una forma de evitar meras "nociones" de cantidades infinitamente pequeñas. . ^[20] Se habían sentado las bases del cálculo diferencial e integral. En el Cours d'Analyse de Cauchy , encontramos una amplia gama de enfoques fundamentales, incluida una definición de continuidad en términos de infinitesimales y un prototipo (algo impreciso) de una definición de límite (ε, δ) en la definición de diferenciación. ^[21]En su obra, Weierstrass formalizó el concepto de límite y eliminó los infinitesimales (aunque su definición puede validar los infinitesimales nilcuadrados ). Siguiendo el trabajo de Weierstrass, eventualmente se hizo común basar el cálculo en límites en lugar de cantidades infinitesimales, aunque el tema todavía se llama ocasionalmente "cálculo infinitesimal". Bernhard Riemann utilizó estas ideas para dar una definición precisa de la integral. También fue durante este período que las ideas del cálculo se generalizaron al espacio euclidiano y al plano complejo .

En las matemáticas modernas, los fundamentos del cálculo se incluyen en el campo del análisis real , que contiene definiciones completas y pruebas de los teoremas del cálculo. El alcance del cálculo también se ha ampliado enormemente. Henri Lebesgue inventó la teoría de la medida y la usó para definir integrales de todas las funciones menos las más patológicas . Laurent Schwartz introdujo distribuciones , que se pueden usar para tomar la derivada de cualquier función.

Los límites no son el único enfoque riguroso de la base del cálculo. Otra forma es utilizar Abraham Robinson 's análisis no estándar . El enfoque de Robinson, desarrollado en la década de 1960, utiliza maquinaria técnica de la lógica matemática para aumentar el sistema de números reales con números infinitesimales e infinitos , como en la concepción original de Newton-Leibniz. Los números resultantes se denominan números hiperreales y se pueden usar para dar un desarrollo similar al de Leibniz de las reglas habituales del cálculo. También hay un análisis infinitesimal suave , que se diferencia del análisis no estándar en que obliga a descuidar los infinitesimales de mayor potencia durante las derivaciones.

Significado

Si bien muchas de las ideas del cálculo se habían desarrollado anteriormente en Grecia , China , India , Irak, Persia y Japón , el uso del cálculo comenzó en Europa, durante el siglo XVII, cuando Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz se basaron en el trabajo de matemáticos anteriores para presentar sus principios básicos. El desarrollo del cálculo se basó en conceptos anteriores de movimiento instantáneo y área debajo de las curvas.

Las aplicaciones del cálculo diferencial incluyen cálculos que involucran velocidad y aceleración , la pendiente de una curva y optimización . Las aplicaciones del cálculo integral incluyen cálculos que involucran área, volumen , longitud de arco , centro de masa , trabajo y presión . Las aplicaciones más avanzadas incluyen la serie Power y la serie Fourier .

El cálculo también se utiliza para obtener una comprensión más precisa de la naturaleza del espacio, el tiempo y el movimiento. Durante siglos, matemáticos y filósofos lucharon con paradojas que implicaban la división por cero o la suma de infinitos números. Estas preguntas surgen en el estudio del movimiento y el área. El antiguo filósofo griego Zenón de Elea dio varios ejemplos famosos de tales paradojas . El cálculo proporciona herramientas, especialmente el límite y la serie infinita , que resuelven las paradojas.

Principios

Límites e infinitesimales

Artículos principales: Límite de una función e Infinitesimal

El cálculo generalmente se desarrolla trabajando con cantidades muy pequeñas. Históricamente, el primer método para hacerlo fue por infinitesimales . Se trata de objetos que pueden tratarse como números reales pero que, en cierto sentido, son "infinitamente pequeños". Por ejemplo, un número infinitesimal podría ser mayor que 0, pero menor que cualquier número en la secuencia 1, 1/2, 1/3, ... y por lo tanto menor que cualquier número real positivo . Desde este punto de vista, el cálculo es una colección de técnicas para manipular infinitesimales. Los símbolos y se tomaron como infinitesimales, y la derivada era simplemente su proporción.${\displaystyle dx}$${\displaystyle dy}$${\displaystyle dy/dx}$

El enfoque infinitesimal cayó en desgracia en el siglo XIX porque era difícil precisar la noción de infinitesimal. Sin embargo, el concepto revivió en el siglo XX con la introducción del análisis no estándar y el análisis infinitesimal suave , que proporcionó bases sólidas para la manipulación de infinitesimales.

A finales del siglo XIX, los infinitesimales fueron reemplazados dentro de la academia por el enfoque épsilon, delta , de los límites . Los límites describen el valor de una función en una determinada entrada en términos de sus valores en entradas cercanas. Capturan el comportamiento a pequeña escala en el contexto del sistema de números reales . En este tratamiento, el cálculo es una colección de técnicas para manipular ciertos límites. Los infinitesimales se reemplazan por números muy pequeños, y el comportamiento infinitamente pequeño de la función se encuentra tomando el comportamiento limitante para números cada vez más pequeños. Se pensaba que los límites proporcionaban una base más rigurosa para el cálculo y, por esta razón, se convirtieron en el enfoque estándar durante el siglo XX.

Calculo diferencial

Artículo principal: cálculo diferencial

Recta tangente en ( x , f ( x )) . La derivada f ′ ( x ) de una curva en un punto es la pendiente (subida sobre la carrera) de la línea tangente a esa curva en ese punto.

El cálculo diferencial es el estudio de la definición, propiedades y aplicaciones de la derivada de una función. El proceso de encontrar la derivada se llama diferenciación . Dada una función y un punto en el dominio, la derivada en ese punto es una forma de codificar el comportamiento a pequeña escala de la función cerca de ese punto. Al encontrar la derivada de una función en cada punto de su dominio, es posible producir una nueva función, llamada función derivada o simplemente derivada de la función original. En términos formales, la derivada es un operador lineal.que toma una función como entrada y produce una segunda función como salida. Esto es más abstracto que muchos de los procesos estudiados en álgebra elemental, donde las funciones generalmente ingresan un número y dan salida a otro número. Por ejemplo, si a la función de duplicación se le da la entrada tres, entonces genera seis, y si a la función de cuadratura se le da la entrada tres, entonces genera nueve. Sin embargo, la derivada puede tomar la función de cuadratura como entrada. Esto significa que la derivada toma toda la información de la función de elevación al cuadrado, como que dos se envía a cuatro, tres se envía a nueve, cuatro se envía a dieciséis, y así sucesivamente, y usa esta información para producir otra función. La función producida al derivar la función de cuadratura resulta ser la función de duplicación.

En términos más explícitos, la "función de duplicación" puede ser denotada por g ( x ) = 2 x y la "función de elevación al cuadrado" por f ( x ) = x ² . La "derivada" ahora toma la función f ( x ) , definida por la expresión " x ² ", como entrada, es decir, toda la información, como que dos se envían a cuatro, tres se envían a nueve, cuatro se envían a dieciséis, y así sucesivamente, y utiliza esta información para generar otra función, la función g ( x ) = 2 x , como resultará.

El símbolo más común para un derivado es una marca similar a un apóstrofo llamada prima . Así, la derivada de una función llamada f se denota por f ′ , pronunciada "f prima". Por ejemplo, si f ( x ) = x ² es la función de elevación al cuadrado, entonces f ′ ( x ) = 2 x es su derivada (la función de duplicación g de arriba). Esta notación se conoce como notación de Lagrange .

Si la entrada de la función representa el tiempo, entonces la derivada representa el cambio con respecto al tiempo. Por ejemplo, si f es una función que toma un tiempo como entrada y da la posición de una bola en ese momento como salida, entonces la derivada de f es cómo cambia la posición en el tiempo, es decir, es la velocidad de la bola.

Si una función es lineal (es decir, si la gráfica de la función es una línea recta), entonces la función se puede escribir como y = mx + b , donde x es la variable independiente, y es la variable dependiente, b es la intercepción y , y:

${\displaystyle m={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.}$

Esto da un valor exacto para la pendiente de una línea recta. Sin embargo, si la gráfica de la función no es una línea recta, entonces el cambio en y dividido por el cambio en x varía. Las derivadas dan un significado exacto a la noción de cambio en la producción con respecto al cambio en la entrada. Para ser concreto, sea f una función y fije un punto a en el dominio de f . ( a , f ( a )) es un punto en la gráfica de la función. Si h es un número cercano a cero, entonces a + h es un número cercano a a . Por lo tanto, (a + h , f ( a + h )) está cerca de ( a , f ( a )) . La pendiente entre estos dos puntos es

${\displaystyle m={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

Esta expresión se llama cociente de diferencias . Una línea que pasa por dos puntos en una curva se llama línea secante , por lo que m es la pendiente de la línea secante entre ( a , f ( a )) y ( a + h , f ( a + h )) . La línea secante es sólo una aproximación al comportamiento de la función en el punto a , ya que no da cuenta de lo que ocurre entre una y un + h . No es posible descubrir el comportamiento en unestableciendo h en cero porque esto requeriría dividir por cero , que no está definido. La derivada se define tomando el límite cuando h tiende a cero, lo que significa que considera el comportamiento de f para todos los valores pequeños de hy extrae un valor consistente para el caso en que h es igual a cero:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}.}$

Geométricamente, la derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en a . La recta tangente es un límite de rectas secantes al igual que la derivada es un límite de cocientes en diferencias. Por esta razón, la derivada a veces se llama pendiente de la función f .

Aquí hay un ejemplo particular, la derivada de la función de cuadratura en la entrada 3. Sea f ( x ) = x ² la función de cuadratura.

La derivada f ′ ( x ) de una curva en un punto es la pendiente de la recta tangente a esa curva en ese punto. Esta pendiente se determina considerando el valor límite de las pendientes de las líneas secantes. Aquí la función involucrada (dibujada en rojo) es f ( x ) = x ³ - x . La recta tangente (en verde) que pasa por el punto (−3/2, −15/8) tiene una pendiente de 23/4. Tenga en cuenta que las escalas vertical y horizontal en esta imagen son diferentes.

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{(3+h)^{2}-3^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{9+6h+h^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{6h+h^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}(6+h)\\&=6\end{aligned}}}$

La pendiente de la recta tangente a la función de cuadratura en el punto (3, 9) es 6, es decir, sube seis veces más rápido que hacia la derecha. El proceso de límite que se acaba de describir se puede realizar para cualquier punto del dominio de la función de cuadratura. Esto define la función derivada de la función cuadrática o simplemente la derivada de la función cuadrática para abreviar. Un cálculo similar al anterior muestra que la derivada de la función cuadrática es la función duplicadora.

Notación de Leibniz

Artículo principal: notación de Leibniz

Una notación común, introducida por Leibniz, para la derivada en el ejemplo anterior es

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=x^{2}\\{\frac {dy}{dx}}&=2x.\end{aligned}}}$

En un enfoque basado en límites, el símbolo dy/dxdebe interpretarse no como el cociente de dos números, sino como una abreviatura del límite calculado anteriormente. Sin embargo, Leibniz pretendía que representara el cociente de dos números infinitesimalmente pequeños, siendo dy el cambio infinitesimalmente pequeño en y causado por un cambio infinitesimalmente pequeño dx aplicado ax . También podemos pensar enD/dxcomo operador de diferenciación, que toma una función como entrada y da otra función, la derivada, como salida. Por ejemplo:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{2})=2x.}$

En este uso, el dx en el denominador se lee como "con respecto a x ". Otro ejemplo de notación correcta podría ser:

${\displaystyle {\begin{aligned}g(t)=t^{2}+2t+4\\\\{d \over dt}g(t)=2t+2\end{aligned}}}$

Incluso cuando el cálculo se desarrolla utilizando límites en lugar de infinitesimales, es común manipular símbolos como dx y dy como si fueran números reales; aunque es posible evitar tales manipulaciones, a veces son notacionalmente convenientes para expresar operaciones como la derivada total .

Cálculo integral

Artículo principal: Integral

El cálculo integral es el estudio de las definiciones, propiedades y aplicaciones de dos conceptos relacionados, la integral indefinida y la integral definida . El proceso de encontrar el valor de una integral se llama integración . En lenguaje técnico, el cálculo integral estudia dos operadores lineales relacionados .

La integral indefinida , también conocida como antiderivada , es la operación inversa a la derivada. F es una integral indefinida de f cuando f es un derivado de F . (Este uso de letras minúsculas y mayúsculas para una función y su integral indefinida es común en cálculo).

La integral definida ingresa una función y genera un número, lo que da la suma algebraica de áreas entre la gráfica de la entrada y el eje x . La definición técnica de la integral definida implica el límite de una suma de áreas de rectángulos, llamada suma de Riemann .

Un ejemplo motivador son las distancias recorridas en un tiempo determinado.

${\displaystyle \mathrm {Distance} =\mathrm {Speed} \cdot \mathrm {Time} }$

Si la velocidad es constante, solo se necesita la multiplicación, pero si la velocidad cambia, es necesario un método más poderoso para encontrar la distancia. Uno de esos métodos es aproximar la distancia recorrida dividiendo el tiempo en muchos intervalos cortos de tiempo, luego multiplicando el tiempo transcurrido en cada intervalo por una de las velocidades en ese intervalo, y luego tomando la suma (una suma de Riemann ) de la distancia aproximada recorrida en cada intervalo. La idea básica es que si transcurre poco tiempo, la velocidad se mantendrá más o menos igual. Sin embargo, una suma de Riemann solo da una aproximación de la distancia recorrida. Debemos tomar el límite de todas esas sumas de Riemann para encontrar la distancia exacta recorrida.

Velocidad constante

La integración puede ser pensado como midiendo el área bajo una curva, definida por f ( x ) , entre dos puntos (aquí una y b ).

Cuando la velocidad es constante, la distancia total recorrida durante el intervalo de tiempo dado se puede calcular multiplicando la velocidad por el tiempo. Por ejemplo, viajar a una velocidad constante de 50 mph durante 3 horas da como resultado una distancia total de 150 millas. En el diagrama de la izquierda, cuando se grafican la velocidad y el tiempo constantes, estos dos valores forman un rectángulo con una altura igual a la velocidad y un ancho igual al tiempo transcurrido. Por lo tanto, el producto de la velocidad y el tiempo también calcula el área rectangular bajo la curva de velocidad (constante). Esta conexión entre el área bajo una curva y la distancia recorrida se puede extender a cualquier región de forma irregular que exhiba una velocidad fluctuante durante un período de tiempo dado. Si f ( x )en el diagrama de la derecha representa la velocidad, ya que varía con el tiempo, la distancia recorrida (entre los tiempos representados por una y b ) es el área de la región sombreada  s .

Para aproximar esa zona, un método intuitivo sería dividir la distancia entre una y b en un número de segmentos iguales, la longitud de cada segmento representado por el símbolo Δ x . Para cada segmento pequeño, podemos elegir un valor de la función f ( x ) . Llame a ese valor h . Entonces, el área del rectángulo con base Δ x y altura h da la distancia (tiempo Δ x multiplicado por la velocidad h ) recorrida en ese segmento. Asociado con cada segmento está el valor promedio de la función por encima de él, f ( x) = h . La suma de todos esos rectángulos da una aproximación del área entre el eje y la curva, que es una aproximación de la distancia total recorrida. Un valor más pequeño para Δ x dará más rectángulos y en la mayoría de los casos una mejor aproximación, pero para una respuesta exacta necesitamos tomar un límite cuando Δ x se acerque a cero.

El símbolo de la integración es una S alargada (la S significa "suma"). La integral definida se escribe como:${\displaystyle \int }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

y se lee "la integral de una a b de f -OF- x con respecto a x ." La notación de Leibniz dx pretende sugerir dividir el área bajo la curva en un número infinito de rectángulos, de modo que su ancho Δ x se convierta en el dx infinitesimalmente pequeño . En una formulación del cálculo basada en límites, la notación

${\displaystyle \int _{a}^{b}\cdots \,dx}$

debe entenderse como un operador que toma una función como entrada y da un número, el área, como salida. El diferencial de terminación, dx , no es un número y no se multiplica por f ( x ) , aunque, como recordatorio de la definición del límite Δ x , puede tratarse como tal en las manipulaciones simbólicas de la integral. Formalmente, el diferencial indica la variable sobre la que se integra la función y sirve como paréntesis de cierre para el operador de integración.

La integral indefinida, o antiderivada, se escribe:

${\displaystyle \int f(x)\,dx.}$

Las funciones que difieren solo por una constante tienen la misma derivada, y se puede demostrar que la antiderivada de una función dada es en realidad una familia de funciones que difieren solo por una constante. Dado que la derivada de la función y = x ² + C , donde C es cualquier constante, es y ′ = 2 x , la antiderivada de esta última está dada por:

${\displaystyle \int 2x\,dx=x^{2}+C.}$

La constante C no especificada presente en la integral o antiderivada indefinida se conoce como la constante de integración .

Teorema fundamental

Artículo principal: Teorema fundamental del cálculo.

El teorema fundamental del cálculo establece que la diferenciación y la integración son operaciones inversas. Más precisamente, relaciona los valores de las antiderivadas con integrales definidas. Debido a que generalmente es más fácil calcular una antiderivada que aplicar la definición de una integral definida, el teorema fundamental del cálculo proporciona una forma práctica de calcular integrales definidas. También se puede interpretar como una declaración precisa del hecho de que la diferenciación es la inversa de la integración.

El teorema fundamental del cálculo establece: Si una función f es continua en el intervalo [ a , b ] y si F es una función cuya derivada es f en el intervalo ( a , b ) , entonces

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

Además, para cada x en el intervalo ( a , b ) ,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).}$

Esta comprensión, hecha tanto por Newton como por Leibniz , quienes basaron sus resultados en trabajos anteriores de Isaac Barrow , fue clave para la proliferación de resultados analíticos después de que su trabajo se dio a conocer. El teorema fundamental proporciona un método algebraico para calcular muchas integrales definidas, sin realizar procesos límite, mediante la búsqueda de fórmulas para antiderivadas . También es una solución prototipo de una ecuación diferencial . Las ecuaciones diferenciales relacionan una función desconocida con sus derivadas y son omnipresentes en las ciencias.

Aplicaciones

La espiral logarítmica de la concha de Nautilus es una imagen clásica utilizada para representar el crecimiento y el cambio relacionados con el cálculo.

El cálculo se utiliza en todas las ramas de las ciencias físicas, la ciencia actuarial , la informática , la estadística , la ingeniería , la economía , los negocios , la medicina , la demografía y en otros campos donde un problema se puede modelar matemáticamente y se desea una solución óptima . Permite que uno pase de tasas de cambio (no constantes) al cambio total o viceversa, y muchas veces al estudiar un problema conocemos uno y estamos tratando de encontrar el otro.

La física hace un uso particular del cálculo; todos los conceptos de la mecánica clásica y el electromagnetismo están relacionados a través del cálculo. La masa de un objeto de densidad conocida , el momento de inercia de los objetos, así como la energía total de un objeto dentro de un campo conservador se pueden encontrar mediante el uso del cálculo. Un ejemplo del uso del cálculo en mecánica es la segunda ley del movimiento de Newton : históricamente declarada que usa expresamente el término "cambio de movimiento" que implica el dicho derivado El cambio de momento de un cuerpo es igual a la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo y está en la misma dirección.Comúnmente expresado hoy como Fuerza = Masa × aceleración, implica cálculo diferencial porque la aceleración es la derivada temporal de la velocidad o la segunda derivada temporal de la trayectoria o posición espacial. A partir de saber cómo se acelera un objeto, utilizamos el cálculo para derivar su trayectoria.

La teoría de Maxwell del electromagnetismo y Einstein teoría de la 's relatividad general también se expresa en el lenguaje del cálculo diferencial. La química también utiliza el cálculo para determinar las velocidades de reacción y la desintegración radiactiva. En biología, la dinámica de la población comienza con la reproducción y las tasas de mortalidad para modelar los cambios de la población.

El cálculo se puede utilizar junto con otras disciplinas matemáticas. Por ejemplo, se puede usar con álgebra lineal para encontrar la aproximación lineal de "mejor ajuste" para un conjunto de puntos en un dominio. O se puede utilizar en la teoría de la probabilidad para determinar la probabilidad de una variable aleatoria continua a partir de una función de densidad asumida. En geometría analítica , el estudio de gráficas de funciones, se utiliza el cálculo para encontrar puntos altos y bajos (máximos y mínimos), pendiente, concavidad y puntos de inflexión .

El teorema de Green , que da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D delimitada por C, se aplica en un instrumento conocido como planímetro , que se utiliza para calcular el área de un plano. superficie en un dibujo. Por ejemplo, se puede utilizar para calcular la cantidad de área ocupada por un macizo de flores de forma irregular o una piscina al diseñar la distribución de una propiedad.

El teorema de Green discreto , que da la relación entre una integral doble de una función alrededor de una curva rectangular cerrada simple C y una combinación lineal de los valores de la antiderivada en los puntos de esquina a lo largo del borde de la curva, permite el cálculo rápido de sumas de valores en dominios rectangulares . Por ejemplo, se puede utilizar para calcular de manera eficiente sumas de dominios rectangulares en imágenes, con el fin de extraer rápidamente características y detectar objetos; otro algoritmo que podría usarse es la tabla de áreas sumadas .

En el ámbito de la medicina, el cálculo se puede utilizar para encontrar el ángulo de ramificación óptimo de un vaso sanguíneo a fin de maximizar el flujo. A partir de las leyes de descomposición para la eliminación de un fármaco en particular del cuerpo, se utiliza para derivar las leyes de dosificación. En medicina nuclear, se utiliza para construir modelos de transporte de radiación en terapias dirigidas contra tumores.

En economía, cálculo permite la determinación de la ganancia máxima, proporcionando una manera de calcular fácilmente tanto el costo marginal y el ingreso marginal .

El cálculo también se usa para encontrar soluciones aproximadas a ecuaciones; en la práctica, es la forma estándar de resolver ecuaciones diferenciales y encontrar raíces en la mayoría de las aplicaciones. Algunos ejemplos son métodos como el método de Newton , la iteración de punto fijo y la aproximación lineal . Por ejemplo, las naves espaciales utilizan una variación del método de Euler para aproximar trayectorias curvas en entornos de gravedad cero.

Variedades

A lo largo de los años, se han investigado muchas reformulaciones del cálculo con diferentes propósitos.

Cálculo no estándar

Artículo principal: cálculo no estándar

Los cálculos imprecisos con infinitesimales fueron reemplazados ampliamente por la rigurosa (ε, δ) -definición de límite a partir de la década de 1870. Mientras tanto, los cálculos con infinitesimales persistieron y, a menudo, condujeron a resultados correctos. Esto llevó a Abraham Robinson a investigar si era posible desarrollar un sistema numérico con cantidades infinitesimales sobre el que los teoremas del cálculo aún fueran válidos. En 1960, basándose en el trabajo de Edwin Hewitt y Jerzy Łoś , logró desarrollar un análisis no estándar . La teoría del análisis no estándar es lo suficientemente rica como para aplicarse en muchas ramas de las matemáticas. Como tal, los libros y artículos dedicados únicamente a los teoremas tradicionales del cálculo suelen llevar el títulocálculo no estándar .

Análisis infinitesimal suave

Artículo principal: Análisis infinitesimal suave

Esta es otra reformulación del cálculo en términos de infinitesimales . Basado en las ideas de FW Lawvere y empleando los métodos de la teoría de categorías , considera que todas las funciones son continuas e incapaces de expresarse en términos de entidades discretas . Un aspecto de esta formulación es que la ley del medio excluido no se sostiene en esta formulación.

Análisis constructivo

Artículo principal: análisis constructivo

Las matemáticas constructivas son una rama de las matemáticas que insiste en que las pruebas de la existencia de un número, función u otro objeto matemático deben dar una construcción del objeto. Como tal, las matemáticas constructivas también rechazan la ley del medio excluido . Las reformulaciones del cálculo en un marco constructivo son generalmente parte del tema del análisis constructivo .

Ver también

Artículo principal: Esquema de cálculo

Liza

• Glosario de cálculo
• Lista de temas de cálculo
• Lista de derivadas e integrales en cálculos alternativos
• Lista de identidades de diferenciación
• Publicaciones en cálculo
• Tabla de integrales

Otros temas relacionados

• Cálculo de diferencias finitas
• Cálculo con polinomios
• Análisis complejo
• Ecuación diferencial
• Geometría diferencial
• Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal
• Cálculo discreto
• series de Fourier
• Ecuación integral
• Análisis matemático
• Cálculo multivariable
• Análisis no clásico
• Análisis no estándar
• Cálculo no estándar
• Precálculo ( educación matemática )
• Producto integral
• Cálculo estocástico
• Serie de taylor

Referencias

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Otras lecturas

Libros

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enlaces externos

Cálculoen los proyectos hermanos de Wikipedia

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• Citas de Wikiquote
• Textos de Wikisource
• Libros de texto de Wikilibros
• Recursos de Wikiversity

• "Cálculo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Cálculo" . MathWorld .
• Temas de cálculo en PlanetMath .
• Calculus Made Easy (1914) de Silvanus P. Thompson Texto completo en PDF
• Cálculo sobre En nuestro tiempo en la BBC
• Calculus.org: la página de Cálculo de la Universidad de California, Davis, contiene recursos y enlaces a otros sitios
• COW: Calculus on the Web en Temple University: contiene recursos que van desde precálculo y álgebra asociada
• Usos conocidos más tempranos de algunas de las palabras de las matemáticas: cálculo y análisis
• Integrador en línea (WebMathematica) de Wolfram Research
• El papel del cálculo en las matemáticas universitarias de ERICDigests.org
• Cálculo OpenCourseWare del Instituto de Tecnología de Massachusetts
• Cálculo infinitesimal  : un artículo sobre su desarrollo histórico, en Encyclopedia of Mathematics , ed. Michiel Hazewinkel .
• Daniel Kleitman, MIT. "Cálculo para principiantes y artistas" .
• Problemas y soluciones de cálculo por DA Kouba
• Notas de Donald Allen sobre cálculo
• Materiales de entrenamiento de cálculo en imomath.com
• (en inglés y árabe) La excursión del cálculo , 1772