El teorema de Carleson es un resultado fundamental en el análisis matemático que establece la convergencia puntual ( Lebesgue ) casi en todas partes de la serie de Fourier de funciones L 2 , demostrado por Lennart Carleson ( 1966 ). El nombre también se usa a menudo para referirse a la extensión del resultado de Richard Hunt ( 1968 ) a funciones L p para p ∈ (1, ∞] (también conocido como el teorema de Carleson-Hunt ) y los resultados análogos para puntual en casi todas partes convergencia deIntegrales de Fourier , que pueden demostrarse equivalentes mediante métodos de transferencia.
Declaración del teorema
El resultado, en la forma de su extensión por Hunt, puede expresarse formalmente de la siguiente manera:
- Sea ƒ una función periódica L p para algún p ∈ (1, ∞], con coeficientes de Fourier. Luego
- para casi cada x .
El resultado análogo para las integrales de Fourier se puede establecer formalmente de la siguiente manera:
- Sea ƒ ∈ L p ( R ) para algunos p ∈ (1, 2] con transformada de Fourier. Luego
- para casi cada x ∈ R .
Historia
Una pregunta fundamental sobre la serie de Fourier, planteada por el propio Fourier a principios del siglo XIX, es si la serie de Fourier de una función continua converge puntualmente a la función.
Al fortalecer ligeramente el supuesto de continuidad, se puede mostrar fácilmente que la serie de Fourier converge en todas partes. Por ejemplo, si una función tiene variación acotada, entonces su serie de Fourier converge en todas partes al promedio local de la función. En particular, si una función es continuamente diferenciable, su serie de Fourier converge hacia ella en todas partes. Esto fue probado por Dirichlet, quien expresó su creencia de que pronto podría extender su resultado para cubrir todas las funciones continuas. Otra forma de obtener convergencia en todas partes es cambiar el método de suma. Por ejemplo, el teorema de Fejér muestra que si se reemplaza la suma ordinaria por la suma Cesàro, entonces la serie de Fourier de cualquier función continua converge uniformemente a la función. Además, es fácil mostrar que la serie de Fourier de cualquier función L 2 converge con ella en la norma L 2 .
Después del resultado de Dirichlet, varios expertos, incluidos Dirichlet, Riemann, Weierstrass y Dedekind, manifestaron su creencia de que la serie de Fourier de cualquier función continua convergería en todas partes. Esto fue refutado por Paul du Bois-Reymond , quien demostró en 1876 que hay una función continua cuya serie de Fourier diverge en un punto .
NN Luzin ( 1915 ) postuló la convergencia casi en todas partes de las series de Fourier para las funciones L 2 , y el problema se conoció como la conjetura de Luzin (hasta su demostración por Carleson (1966) ). Kolmogorov (1923) mostró que el análogo del resultado de Carleson para L 1 es falso al encontrar una función cuya serie de Fourier diverge casi en todas partes (mejoró ligeramente en 1926 para divergir en todas partes). Antes del resultado de Carleson, la estimación más conocida para las sumas parciales s n de la serie de Fourier de una función en L p era
probado por Kolmogorov-Seliverstov-Plessner para p = 2, por GH Hardy para p = 1 y por Littlewood-Paley para p > 1 ( Zygmund 2002 ). Este resultado no se había mejorado durante varias décadas, lo que llevó a algunos expertos a sospechar que era el mejor posible y que la conjetura de Luzin era falsa. El contraejemplo de Kolmogorov en L 1 fue ilimitado en cualquier intervalo, pero se pensó que era solo una cuestión de tiempo antes de que se encontrara un contraejemplo continuo. Carleson dijo en una entrevista con Raussen & Skau (2007) que comenzó tratando de encontrar un contraejemplo continuo y en un momento pensó que tenía un método que construiría uno, pero finalmente se dio cuenta de que su enfoque no podía funcionar. Luego, en cambio, trató de probar la conjetura de Luzin, ya que el fracaso de su contraejemplo lo convenció de que probablemente era cierto.
La demostración original de Carleson es excepcionalmente difícil de leer y, aunque varios autores han simplificado el argumento, todavía no hay pruebas fáciles de su teorema. Las exposiciones del artículo original Carleson (1966) incluyen Kahane (1995) , Mozzochi (1971) , Jørsboe & Mejlbro (1982) y Arias de Reyna (2002) . Charles Fefferman ( 1973 ) publicó una nueva prueba de la extensión de Hunt que procedía delimitando un operador máximo . Esto, a su vez, inspiró una prueba mucho más simplificada del resultado de L 2 de Michael Lacey y Christoph Thiele ( 2000 ), explicado con más detalle en Lacey (2004) . Los libros Fremlin (2003) y Grafakos (2009) también dan pruebas del teorema de Carleson.
Katznelson (1966) mostró que para cualquier conjunto de medida 0 existe una función periódica continua cuya serie de Fourier diverge en todos los puntos del conjunto (y posiblemente en otros lugares). Cuando se combina con el teorema de Carleson, esto muestra que hay una función continua cuya serie de Fourier diverge en todos los puntos de un conjunto dado de reales si y solo si el conjunto tiene medida 0.
Se afirmó que la extensión del teorema de Carleson a L p para p > 1 era una extensión "bastante obvia" del caso p = 2 en el artículo de Carleson, y fue probada por Hunt (1968) . El resultado de Carleson fue mejorado aún más por Sjölin (1971) al espacio L log + ( L ) log + log + ( L ) y por Antonov (1996) al espacio L log + ( L ) log + log + log + ( L ) . (Aquí log + ( L ) es log ( L ) si L > 1 y 0 en caso contrario, y si φ es una función, entonces φ ( L ) representa el espacio de funciones f tal que φ (| f ( x ) |) es integrable.)
Konyagin (2000) mejoró el contraejemplo de Kolmogorov al encontrar funciones con series de Fourier divergentes en todas partes en un espacio ligeramente mayor que L log + ( L ) 1/2 . Cabe preguntarse si existe en cierto sentido un mayor espacio natural de funciones cuyas series de Fourier convergen en casi todas partes. El candidato más simple para tal espacio que es consistente con los resultados de Antonov y Konyagin es L log + ( L ).
La extensión del teorema de Carleson a las series de Fourier y las integrales en varias variables se complica ya que hay muchas formas diferentes en las que se pueden sumar los coeficientes; por ejemplo, se pueden sumar bolas crecientes o rectángulos crecientes. La convergencia de sumas parciales rectangulares (y de hecho sumas parciales poligonales generales) se sigue del caso unidimensional, pero el problema de la suma esférica todavía está abierto para L 2 .
El operador de Carleson
El operador de Carleson C es el operador no lineal definido por
Es relativamente fácil demostrar que el teorema de Carleson-Hunt se deriva de la acotación del operador de Carleson de L p ( R ) a sí mismo para 1 < p <∞. Sin embargo, demostrar que está acotado es difícil, y esto fue realmente lo que demostró Carleson.
Ver también
- Convergencia de la serie de Fourier
Referencias
- Antonov, N. Yu. (1996), "Convergence of Fourier series", East Journal on Approximations , 2 (2): 187-196, MR 1407066
- Arias de Reyna, Juan (2002), Convergencia puntual de la serie de Fourier , Lecture Notes in Mathematics, 1785 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / b83346 , ISBN 978-3-540-43270-8, MR 1906800
- Carleson, Lennart (1966), "Sobre la convergencia y el crecimiento de sumas parciales de series de Fourier", Acta Mathematica , 116 (1): 135-157, doi : 10.1007 / BF02392815 , MR 0199631
- Fefferman, Charles (1973), "Convergencia puntual de las series de Fourier", Annals of Mathematics , Second Series, 98 (3): 551–571, doi : 10.2307 / 1970917 , JSTOR 1970917 , MR 0340926
- Fremlin, David H. (2003), teoría de la medida , 2 , Torres Fremlin, Colchester, ISBN 978-0-9538129-2-9, MR 2462280 , Archivado desde el original en 2010-11-01 , recuperada 2010-09-09
- Grafakos, Loukas (2014). Análisis clásico de Fourier . Textos de Posgrado en Matemáticas. 249 (Tercera ed.). Nueva York: Springer-Verlag . doi : 10.1007 / 978-1-4939-1194-3 . ISBN 978-1-4939-1193-6. Señor 3243734 .
- Grafakos, Loukas (2014). Análisis de Fourier moderno . Textos de Posgrado en Matemáticas. 250 (Tercera ed.). Nueva York: Springer-Verlag . doi : 10.1007 / 978-1-4939-1230-8 . ISBN 978-1-4939-1229-2. Señor 3243741 .
- Hunt, Richard A. (1968), "Sobre la convergencia de las series de Fourier", Expansiones ortogonales y sus análogos continuos Proc. Conf., Edwardsville, Ill., 1967 , Carbondale, Ill .: Southern Illinois Univ. Prensa, págs. 235–255, MR 0238019
- Jørsboe, Ole G .; Mejlbro, Leif (1982), El teorema de Carleson-Hunt en la serie de Fourier , Lecture Notes in Mathematics, 911 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0094072 , ISBN 978-3-540-11198-6, MR 0653477
- Kahane, Jean-Pierre (1995), "Sommes partielles des séries de Fourier (d'après L. Carleson)" , Séminaire Bourbaki , 9 , París: Société Mathématique de France , págs. 491–507, MR 1610981
- Katznelson, Yitzhak (1966), "Sur les ensembles de divergence des séries trigonométriques" , Studia Mathematica , 26 (3): 301–304, doi : 10.4064 / sm-26-3-305-306 , MR 0199632
- Kolmogorov, Andrey Nikolaevich (1923), "Une série de Fourier – Lebesgue divergente presque partout" , Fundamenta Mathematicae , 4 : 324–328, doi : 10.4064 / fm-4-1-324-328
- Konyagin, SV (2000), "Sobre la divergencia en todas partes de las series trigonométricas de Fourier", Rossiĭskaya Akademiya Nauk. Matematicheskii Sbornik , 191 (1): 103–126, Bibcode : 2000SbMat.191 ... 97K , doi : 10.1070 / sm2000v191n01abeh000449 , MR 1753494
- Lacey, Michael T. (2004), "Teorema de Carleson: prueba, complementos, variaciones", Publicacions Matemàtiques , 48 (2): 251–307, arXiv : math / 0307008 , doi : 10.5565 / publmat_48204_01 , MR 2091007
- Lacey, Michael; Thiele, Christoph (2000), "Una prueba de delimitación del operador de Carleson" , Mathematical Research Letters , 7 (4): 361–370, doi : 10.4310 / mrl.2000.v7.n4.a1 , MR 1783613 , archivado de el original el 2008-07-05
- Luzin, NN (1915), La serie integral y trigonométrica (en ruso) , Moscú-Leningrado (Tesis; también: Obras completas, Vol. 1, Moscú, 1953, págs. 48–212)
- Mozzochi, Charles J. (1971), Sobre la convergencia puntual de las series de Fourier , Lecture Notes in Mathematics, vol. 199, 199 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0061167 , ISBN 978-3-540-05475-7, MR 0445205 "Esta monografía es un tratamiento detallado y esencialmente autónomo del trabajo de Carleson y Hunt".
- Raussen, Martin; Skau, Christian (2007), "Entrevista con el ganador del Premio Abel Lennart Carleson" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 54 (2): 223-229, MR 2285126
- Sjölin, Per (1971), "Convergencia casi en todas partes de ciertas integrales singulares y múltiples series de Fourier", Arkiv för Matematik , 9 (1-2): 65-90, Bibcode : 1971ArM ..... 9 ... 65S , doi : 10.1007 / BF02383638 , MR 0336222
- Telyakovskii, SA (2001) [1994], "Teorema de Carleson" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Zygmund, A. (2002) [1935], Trigonometric Series. Vol. I, II , Cambridge Mathematical Library (3.a ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-89053-3, Señor 1963498