sistema de coordenadas Cartesianas

Sistema coordinado

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Ilustración de un plano cartesiano de coordenadas. Cuatro puntos están marcados y etiquetados con sus coordenadas: (2, 3) en verde, (−3, 1) en rojo, (−1.5, −2.5) en azul y el origen (0, 0) en violeta.

Un sistema de coordenadas cartesianas ( UK : / k ɑː t i zj ə n / , Estados Unidos : / k ɑr t i ʒ ə n / ) en un plano es un sistema de coordenadas que especifica cada punto de forma única por un par de numéricos coordenadas , que son las distancias con signo al punto de dos líneas orientadas perpendiculares fijas , medidas en la misma unidad de longitud. Cada línea de referencia se llama eje de coordenadas o simplemente eje ( ejes plurales ) del sistema, y ​​el punto donde se encuentran es su origen , en el par ordenado (0, 0) . Las coordenadas también se pueden definir como las posiciones de las proyecciones perpendiculares del punto sobre los dos ejes, expresadas como distancias con signo desde el origen.

Se puede usar el mismo principio para especificar la posición de cualquier punto en el espacio tridimensional por tres coordenadas cartesianas, sus distancias con signo a tres planos mutuamente perpendiculares (o, de manera equivalente, por su proyección perpendicular sobre tres líneas mutuamente perpendiculares). En general, n coordenadas cartesianas (un elemento de verdadero n -espacio ) especificar el punto en un n -dimensional espacio euclidiano para cualquier dimensión n . Estas coordenadas son iguales, hasta firmar , a distancias desde el punto a n mutuamente perpendiculares hiperplanos .

Sistema de coordenadas cartesianas con un círculo de radio 2 centrado en el origen marcado en rojo. La ecuación de un círculo es ( x - a ) ² + ( y - b ) ² = r ² donde a y b son las coordenadas del centro ( a , b ) y r es el radio.

La invención de las coordenadas cartesianas en el siglo XVII por René Descartes ( nombre latinizado : Cartesius ) revolucionó las matemáticas al proporcionar el primer vínculo sistemático entre la geometría euclidiana y el álgebra . Usando el sistema de coordenadas cartesianas, las formas geométricas (como las curvas ) se pueden describir mediante ecuaciones cartesianas : ecuaciones algebraicas que involucran las coordenadas de los puntos que se encuentran en la forma. Por ejemplo, un círculo de radio 2, centrado en el origen del plano, se puede describir como el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas x y y satisfacen la ecuación x² + y ² = 4 .

Las coordenadas cartesianas son la base de la geometría analítica y proporcionan interpretaciones geométricas esclarecedoras para muchas otras ramas de las matemáticas, como el álgebra lineal , el análisis complejo , la geometría diferencial , el cálculo multivariado , la teoría de grupos y más. Un ejemplo familiar es el concepto de gráfica de una función . Las coordenadas cartesianas también son herramientas esenciales para la mayoría de las disciplinas aplicadas que se ocupan de la geometría, incluida la astronomía , la física , la ingeniería y muchas más. Son el sistema de coordenadas más común utilizado en gráficos por computadora ,diseño geométrico asistido por computadora y otros procesos de datos relacionados con la geometría .

Historia

El adjetivo cartesiano se refiere al matemático y filósofo francés René Descartes , quien publicó esta idea en 1637. Fue descubierta de forma independiente por Pierre de Fermat , quien también trabajó en tres dimensiones, aunque Fermat no publicó el descubrimiento. ^[1] El clérigo francés Nicole Oresme utilizó construcciones similares a las coordenadas cartesianas mucho antes de la época de Descartes y Fermat. ^[2]

Tanto Descartes como Fermat utilizaron un solo eje en sus tratamientos y tienen una longitud variable medida en referencia a este eje. El concepto de utilizar un par de ejes se introdujo más tarde, después de que La Géométrie de Descartes fuera traducida al latín en 1649 por Frans van Schooten y sus alumnos. Estos comentaristas introdujeron varios conceptos al intentar aclarar las ideas contenidas en la obra de Descartes. ^[3]

El desarrollo del sistema de coordenadas cartesianas jugaría un papel fundamental en el desarrollo del cálculo de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz . ^[4] La descripción de dos coordenadas del plano se generalizó más tarde en el concepto de espacios vectoriales . ^[5]

Se han desarrollado muchos otros sistemas de coordenadas desde Descartes, como las coordenadas polares para el plano y las coordenadas esféricas y cilíndricas para el espacio tridimensional.

Descripción

Una dimensión

Artículo principal: Recta numérica

Elegir un sistema de coordenadas cartesianas para un espacio unidimensional, es decir, para una línea recta, implica elegir un punto O de la línea (el origen), una unidad de longitud y una orientación para la línea. Una orientación elige cuál de las dos medias líneas determinadas por O es la positiva y cuál es la negativa; luego decimos que la línea "está orientada" (o "puntos") desde la mitad negativa hacia la mitad positiva. Entonces cada punto P de la línea se puede especificar mediante su distancia de O , tomada con un signo + o - en función de la media de línea contiene P .

Una línea con un sistema cartesiano elegido se llama línea numérica . Cada número real tiene una ubicación única en la línea. A la inversa, cada punto de la línea se puede interpretar como un número en un continuo ordenado, como los números reales.

Dos dimensiones

Más información: espacio bidimensional

Un sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones (también llamado sistema de coordenadas rectangulares o sistema de coordenadas ortogonales ^[6] ) se define por un par ordenado de líneas perpendiculares (ejes), una sola unidad de longitud para ambos ejes y una orientación para cada uno. eje. El punto donde los ejes se encuentran se toma como origen para ambos, convirtiendo cada eje en una recta numérica. Para cualquier punto P , se traza una línea a través de P perpendicular a cada eje, y la posición donde se encuentra con el eje se interpreta como un número. Los dos números, en ese orden elegido, son las coordenadas cartesianas de P. La construcción inversa permite determinar el punto P dadas sus coordenadas.

La primera y la segunda coordenadas se denominan abscisas y ordenadas de P , respectivamente; y el punto donde se encuentran los ejes se llama origen del sistema de coordenadas. Las coordenadas generalmente se escriben como dos números entre paréntesis, en ese orden, separados por una coma, como en (3, −10.5) . Por tanto, el origen tiene coordenadas (0, 0) , y los puntos en los semiejes positivos, a una unidad del origen, tienen coordenadas (1, 0) y (0, 1) .

En matemáticas, física e ingeniería, el primer eje generalmente se define o representa como horizontal y está orientado hacia la derecha, y el segundo eje es vertical y está orientado hacia arriba. (Sin embargo, en algunos contextos de gráficos por computadora , el eje de ordenadas puede estar orientado hacia abajo.) El origen a menudo se etiqueta como O , y las dos coordenadas a menudo se indican con las letras X e Y , o x e y . Los ejes pueden entonces denominarse eje X e Y-eje. Las opciones de letras provienen de la convención original, que consiste en utilizar la última parte del alfabeto para indicar valores desconocidos. La primera parte del alfabeto se utilizó para designar valores conocidos.

Un plano euclidiano con un sistema de coordenadas cartesiano elegido se llama plano cartesiano . En un plano cartesiano se pueden definir representantes canónicos de ciertas figuras geométricas, como el círculo unitario (con radio igual a la unidad de longitud y centro en el origen), el cuadrado unitario (cuya diagonal tiene puntos finales en (0, 0) y (1, 1) ), la hipérbola unitaria , etc.

Los dos ejes dividen el plano en cuatro ángulos rectos , llamados cuadrantes . Los cuadrantes se pueden nombrar o numerar de varias formas, pero el cuadrante donde todas las coordenadas son positivas se suele llamar primer cuadrante .

Si las coordenadas de un punto son ( x , y ) , entonces sus distancias desde el eje X y desde el eje Y son | y | y | x |, respectivamente; donde | ... | denota el valor absoluto de un número.

Tres dimensiones

Más información: espacio tridimensional

Un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional, con origen O y líneas de eje X , Y y Z , orientadas como muestran las flechas. Las marcas de graduación en los ejes están separadas por una unidad de longitud. El punto negro muestra el punto con coordenadas x = 2 , y = 3 y z = 4 , o (2, 3, 4) .

Un sistema de coordenadas cartesianas para un espacio tridimensional consiste en un triplete ordenado de líneas (los ejes ) que pasan por un punto común (el origen ) y son perpendiculares por pares; una orientación para cada eje; y una sola unidad de longitud para los tres ejes. Como en el caso bidimensional, cada eje se convierte en una recta numérica. Para cualquier punto P del espacio, se considera un hiperplano que pasa por P perpendicular a cada eje de coordenadas, e interpreta el punto donde ese hiperplano corta el eje como un número. Las coordenadas cartesianas de P son esos tres números, en el orden elegido. La construcción inversa determina el punto P dadas sus tres coordenadas.

Alternativamente, cada coordenada de un punto P puede tomarse como la distancia desde P al hiperplano definido por los otros dos ejes, con el signo determinado por la orientación del eje correspondiente.

Cada par de ejes define un hiperplano de coordenadas . Estos hiperplanos dividen el espacio en ocho trihedros , llamados octantes .

Los octantes son: | (+ x, + y, + z) | (-x, + y, + z) | (+ x, + y, -z) | (-x, + y, -z) | (+ x, -y, + z) | (-x, -y, + z) | (+ x, -y, -z) | (-x, -y, -z) |

Las coordenadas generalmente se escriben como tres números (o fórmulas algebraicas) entre paréntesis y separadas por comas, como en (3, −2.5, 1) o ( t , u + v , π / 2) . Por lo tanto, el origen tiene coordenadas (0, 0, 0) y los puntos unitarios en los tres ejes son (1, 0, 0) , (0, 1, 0) y (0, 0, 1) .

No existen nombres estándar para las coordenadas en los tres ejes (sin embargo, a veces se usan los términos abscisa , ordenada y aplicada ). Las coordenadas a menudo se indican con las letras X , Y y Z , o x , y y z . Los ejes pueden entonces denominarse eje X , eje Y y eje Z , respectivamente. Entonces, los hiperplanos de coordenadas pueden denominarse plano XY , plano YZ y plano XZ .

En contextos de matemáticas, física e ingeniería, los dos primeros ejes a menudo se definen o representan como horizontales, con el tercer eje apuntando hacia arriba. En ese caso, la tercera coordenada se puede llamar altura o altitud . La orientación generalmente se elige de modo que el ángulo de 90 grados desde el primer eje al segundo eje se vea en sentido contrario a las agujas del reloj cuando se ve desde el punto (0, 0, 1) ; una convención que comúnmente se llama la regla de la mano derecha .

Las superficies de coordenadas de las coordenadas cartesianas ( x , y , z ) . El eje z es vertical y el eje x está resaltado en verde. Así, el hiperplano rojo muestra los puntos con x = 1 , el hiperplano azul muestra los puntos con z = 1 y el hiperplano amarillo muestra los puntos con y = −1 . Las tres superficies se cruzan en el punto P (mostrado como una esfera negra) con las coordenadas cartesianas (1, -1, 1 ).

Dimensiones superiores

Dado que las coordenadas cartesianas son únicas y no ambiguas, los puntos de un plano cartesiano se pueden identificar con pares de números reales ; es decir, con el producto cartesiano , donde es el conjunto de todos los números reales. De la misma forma, los puntos en cualquier espacio euclidiano de dimensión n se identificarán con las tuplas (listas) de n números reales, es decir, con el producto cartesiano .${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Generalizaciones

El concepto de coordenadas cartesianas se generaliza para permitir ejes que no sean perpendiculares entre sí y / o unidades diferentes a lo largo de cada eje. En ese caso, cada coordenada se obtiene proyectando el punto sobre un eje a lo largo de una dirección paralela al otro eje (o, en general, al hiperplano definido por todos los demás ejes). En tal sistema de coordenadas oblicuas, los cálculos de distancias y ángulos deben modificarse a partir de los sistemas cartesianos estándar, y muchas fórmulas estándar (como la fórmula de Pitágoras para la distancia) no se cumplen (ver plano afín ).

Notaciones y convenciones

Las coordenadas cartesianas de un punto generalmente se escriben entre paréntesis y separadas por comas, como en (10, 5) o (3, 5, 7) . El origen a menudo se etiqueta con la letra O mayúscula . En geometría analítica, las coordenadas genéricas o desconocidas a menudo se indican con las letras ( x , y ) en el plano y ( x , y , z ) en el espacio tridimensional. Esta costumbre proviene de una convención del álgebra, que usa letras cerca del final del alfabeto para valores desconocidos (como las coordenadas de puntos en muchos problemas geométricos) y letras cerca del principio para cantidades dadas.

Estos nombres convencionales se utilizan a menudo en otros dominios, como la física y la ingeniería, aunque se pueden utilizar otras letras. Por ejemplo, en un gráfico que muestra cómo varía una presión con el tiempo , las coordenadas del gráfico pueden denotarse p y t . Cada eje generalmente recibe el nombre de la coordenada que se mide a lo largo de él; por lo que uno dice el eje x , el eje y , el eje t , etc.

Otra convención común para nombrar coordenadas es usar subíndices, como ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) para las n coordenadas en un espacio n -dimensional, especialmente cuando n es mayor que 3 o no está especificado. Algunos autores prefieren la numeración ( x ₀ , x ₁ , ..., x _{n −1} ). Estas notaciones son especialmente ventajosas en la programación de computadoras : al almacenar las coordenadas de un punto como una matriz , en lugar de un registro , el subíndice Puede servir para indexar las coordenadas.

En ilustraciones matemáticas de sistemas cartesianos bidimensionales, la primera coordenada (tradicionalmente llamada abscisa ) se mide a lo largo de un eje horizontal , orientado de izquierda a derecha. La segunda coordenada (la ordenada ) se mide luego a lo largo de un eje vertical , generalmente orientado de abajo hacia arriba. Los niños pequeños que aprenden el sistema cartesiano, comúnmente aprenden el orden para leer los valores antes de cimentar los conceptos de los ejes x , y y z , comenzando con mnemotécnicos 2D (por ejemplo, 'Camine por el pasillo y luego suba las escaleras' a lo largo del eje x y luego hacia arriba verticalmente a lo largo del eje y ). ^[7]

Sin embargo, los gráficos por computadora y el procesamiento de imágenes utilizan a menudo un sistema de coordenadas con el eje y orientado hacia abajo en la pantalla de la computadora. Esta convención se desarrolló en la década de 1960 (o antes) a partir de la forma en que las imágenes se almacenaban originalmente en los búferes de visualización .

Para sistemas tridimensionales, una convención es representar el plano xy horizontalmente, con el eje z agregado para representar la altura (positivo hacia arriba). Además, existe una convención para orientar el eje x hacia el espectador, sesgado hacia la derecha o hacia la izquierda. Si un diagrama ( proyección en 3D o 2D dibujo en perspectiva ) muestra la x - y y eje x horizontal y vertical, respectivamente, entonces el z eje x se deben mostrar que señala "fuera de la página" hacia el espectador o la cámara. En tal diagrama 2D de un sistema de coordenadas 3D, la z-Eje aparecería como una línea o rayo apuntando hacia abajo y hacia la izquierda o hacia abajo y hacia la derecha, dependiendo del presunto espectador o la perspectiva de la cámara . En cualquier diagrama o visualización, la orientación de los tres ejes, en su conjunto, es arbitraria. Sin embargo, la orientación de los ejes entre sí siempre debe cumplir con la regla de la mano derecha , a menos que se indique específicamente lo contrario. Todas las leyes de la física y las matemáticas asumen esta destreza , lo que garantiza la coherencia.

Para los diagramas 3D, los nombres "abscisa" y "ordenada" rara vez se utilizan para x e y , respectivamente. Cuando lo son, la coordenada z a veces se denomina aplicada . Las palabras abscisa , ordenada y aplicada se utilizan a veces para referirse a ejes de coordenadas en lugar de a los valores de las coordenadas. ^[6]

Cuadrantes y octantes

Artículos principales: Octante (geometría sólida) y Cuadrante (geometría plana)

Los cuatro cuadrantes de un sistema de coordenadas cartesianas

Los ejes de un sistema cartesiano bidimensional dividen el plano en cuatro regiones infinitas, llamadas cuadrantes , ^[6] cada una delimitada por dos semiejes. A menudo se numeran del 1 al 4 y se indican con números romanos : I (donde los signos de las dos coordenadas son I (+, +), II (-, +), III (-, -) y IV (+, -). Cuando los ejes se dibujan de acuerdo con la costumbre matemática, la numeración va en sentido antihorario comenzando desde el cuadrante superior derecho ("noreste").

De manera similar, un sistema cartesiano tridimensional define una división del espacio en ocho regiones u octantes , ^{[6] de} acuerdo con los signos de las coordenadas de los puntos. La convención utilizada para nombrar un octante específico es enumerar sus signos, por ejemplo (+ + +) o (- + -) . La generalización del cuadrante y del octante a un número arbitrario de dimensiones es el orto , y se aplica un sistema de denominación similar.

Fórmulas cartesianas para el plano

Distancia entre dos puntos

La distancia euclidiana entre dos puntos del plano con coordenadas cartesianas y es${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.}$

Esta es la versión cartesiana del teorema de Pitágoras . En el espacio tridimensional, la distancia entre puntos y es${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}$

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},}$

que se puede obtener mediante dos aplicaciones consecutivas del teorema de Pitágoras. ^[8]

Transformaciones euclidianas

Las transformaciones euclidianas o movimientos euclidianos son los mapeos ( biyectivos ) de puntos del plano euclidiano a sí mismos que conservan distancias entre puntos. Hay cuatro tipos de estas asignaciones (también llamadas isometrías): traslaciones , rotaciones , reflejos y reflejos de deslizamiento . ^[9]

Traducción

Traducir un conjunto de puntos del plano, conservando las distancias y direcciones entre ellos, equivale a sumar un par fijo de números ( a , b ) a las coordenadas cartesianas de cada punto del conjunto. Es decir, si las coordenadas originales de un punto son ( x , y ) , después de la traslación serán

${\displaystyle (x',y')=(x+a,y+b).}$

Rotación

Para girar una figura en sentido antihorario alrededor del origen por un ángulo que equivale a la sustitución de todos los puntos con coordenadas ( x , Y ) por el punto de coordenadas ( x ' y' ), donde${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }$

${\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta .}$

Por lo tanto:

${\displaystyle (x',y')=((x\cos \theta -y\sin \theta \,),(x\sin \theta +y\cos \theta \,)).}$

Reflexión

Si ( x , y ) son las coordenadas cartesianas de un punto, entonces (- x , y ) son las coordenadas de su reflexión a través del segundo eje de coordenadas (el eje y), como si esa línea fuera un espejo. Asimismo, ( x , - y ) son las coordenadas de su reflexión a través del primer eje de coordenadas (el eje x). En más general, la reflexión a través de una línea que pasa por el origen formando un ángulo con el eje x, es equivalente a reemplazar cada punto con coordenadas ( x , y ) por el punto con coordenadas (${\displaystyle \theta }$x ′, y ′) , donde

${\displaystyle x'=x\cos 2\theta +y\sin 2\theta }$

${\displaystyle y'=x\sin 2\theta -y\cos 2\theta .}$

Por lo tanto:${\displaystyle (x',y')=((x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \,),(x\sin 2\theta -y\cos 2\theta \,)).}$

Reflexión de deslizamiento

Un reflejo de deslizamiento es la composición de un reflejo a través de una línea seguida de una traslación en la dirección de esa línea. Se puede ver que el orden de estas operaciones no importa (la traducción puede ir primero, seguida de la reflexión).

Forma matricial general de las transformaciones

Todas estas transformaciones euclidianas del plano pueden describirse de manera uniforme mediante el uso de matrices. El resultado de aplicar una transformación euclidiana a un punto viene dado por la fórmula${\displaystyle (x',y')}$${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle (x',y')=(x,y)A+b}$

donde A es una matriz ortogonal de 2 × 2 y b = ( b ₁ , b ₂ ) es un par de números ordenados arbitrariamente; ^[10] es decir,

${\displaystyle x'=xA_{11}+yA_{21}+b_{1}}$

${\displaystyle y'=xA_{12}+yA_{22}+b_{2},}$

dónde

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}.}$ [Los vectores de fila se utilizan para coordenadas de puntos y la matriz se escribe a la derecha].

Para ser ortogonal , la matriz A debe tener filas ortogonales con la misma longitud euclidiana de uno, es decir,

${\displaystyle A_{11}A_{21}+A_{12}A_{22}=0}$

y

${\displaystyle A_{11}^{2}+A_{12}^{2}=A_{21}^{2}+A_{22}^{2}=1.}$

Esto equivale a decir que A multiplicado por su transposición debe ser la matriz identidad . Si estas condiciones no se cumplen, la fórmula describe una transformación afín más general del plano siempre que el determinante de A no sea cero.

La fórmula define una traducción si y solo si A es la matriz de identidad . La transformación es una rotación alrededor de algún punto si y solo si A es una matriz de rotación , lo que significa que

${\displaystyle A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12}=1.}$

Se obtiene una reflexión o reflejo deslizante cuando,

${\displaystyle A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12}=-1.}$

Suponiendo que no se utiliza la traducción, las transformaciones se pueden combinar simplemente multiplicando las matrices de transformación asociadas.

Transformación afín

Otra forma de representar transformaciones de coordenadas en coordenadas cartesianas es mediante transformaciones afines . En las transformaciones afines se agrega una dimensión adicional y todos los puntos reciben un valor de 1 para esta dimensión adicional. La ventaja de hacer esto es que las traducciones de punto se pueden especificar en la última columna de la matriz A . De esta manera, todas las transformaciones euclidianas se vuelven transables como multiplicaciones de puntos de matriz. La transformación afín viene dada por:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&b_{1}\\A_{12}&A_{22}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}.}$[Tenga en cuenta que la matriz A de arriba fue transpuesta. La matriz está a la izquierda y se utilizan vectores de columna para coordenadas de puntos.]

Usando transformaciones afines, se pueden combinar múltiples transformaciones euclidianas diferentes, incluida la traducción, simplemente multiplicando las matrices correspondientes.

Escala

Un ejemplo de una transformación afín que no es un movimiento euclidiano se da por escala. Hacer una figura más grande o más pequeña equivale a multiplicar las coordenadas cartesianas de cada punto por el mismo número positivo m . Si ( x , y ) son las coordenadas de un punto en la figura original, el punto correspondiente en la figura escalada tiene coordenadas

${\displaystyle (x',y')=(mx,my).}$

Si m es mayor que 1, la cifra aumenta; si m está entre 0 y 1, se vuelve más pequeño.

Esquila

Una transformación de corte empujará la parte superior de un cuadrado hacia los lados para formar un paralelogramo. El cizallamiento horizontal se define por:

${\displaystyle (x',y')=(x+ys,y)}$

El cizallamiento también se puede aplicar verticalmente:

${\displaystyle (x',y')=(x,xs+y)}$

Orientación y destreza

Artículo principal: Orientación (matemáticas)

Ver también: regla de la mano derecha y convenciones de ejes

En dos dimensiones

La regla de la mano derecha

Fijar o elegir el eje x determina el eje y hasta la dirección. Es decir, el eje y es necesariamente la perpendicular al eje x que pasa por el punto marcado con 0 en el eje x . Pero se puede elegir cuál de las dos medias líneas de la perpendicular designar como positiva y cuál como negativa. Cada una de estas dos opciones determina una orientación diferente (también llamada mano ) del plano cartesiano.

La forma habitual de orientar el plano, con el eje x positivo apuntando a la derecha y el eje y positivo apuntando hacia arriba (y el eje x es el "primero" y el eje y el "segundo" eje), se considera el Orientación positiva o estándar , también llamada orientación para diestros .

Un mnemónico comúnmente utilizado para definir la orientación positiva es la regla de la mano derecha . Colocando una mano derecha algo cerrada en el plano con el pulgar apuntando hacia arriba, los dedos apuntan desde el eje x al eje y , en un sistema de coordenadas de orientación positiva.

La otra forma de orientar el avión es siguiendo la regla de la mano izquierda , colocando la mano izquierda en el plano con el pulgar apuntando hacia arriba.

Al apuntar el pulgar lejos del origen a lo largo de un eje hacia positivo, la curvatura de los dedos indica una rotación positiva a lo largo de ese eje.

Independientemente de la regla utilizada para orientar el plano, la rotación del sistema de coordenadas conservará la orientación. Cambiar dos ejes cualesquiera invertirá la orientación, pero cambiar ambos dejará la orientación sin cambios.

En tres dimensiones

Fig. 7 - La orientación para zurdos se muestra a la izquierda y la derecha a la derecha.

Fig. 8 - El sistema de coordenadas cartesiano diestro que indica los planos de coordenadas.

Una vez que los x - y Y se especifican -axes, determinan la línea a lo largo de la que el z eje x debería corresponder, pero hay dos posibles orientación para esta línea. Los dos posibles sistemas de coordenadas resultantes se denominan "diestros" y "zurdos". La orientación estándar, donde el plano xy es horizontal y el eje z apunta hacia arriba (y el eje xy el eje y forman un sistema de coordenadas bidimensional orientado positivamente en el plano xy si se observa desde arriba del plano xy ) se llama diestro o positivo .

Desviación de coordenadas cartesianas 3D

El nombre deriva de la regla de la mano derecha . Si el dedo índice de la mano derecha apunta hacia adelante, el dedo medio se dobla hacia adentro en ángulo recto y el pulgar se coloca en ángulo recto con ambos, los tres dedos indican la orientación relativa de la x -, y -, y z- ejes en un sistema para diestros . El pulgar indica la x eje x, el dedo índice de la y eje x y el dedo medio de la z eje y. Por el contrario, si se hace lo mismo con la mano izquierda, se obtiene un sistema para zurdos.

La Figura 7 muestra un sistema de coordenadas para diestros y para izquierdos. Debido a que un objeto tridimensional se representa en la pantalla bidimensional, resultan en distorsión y ambigüedad. El eje que apunta hacia abajo (y hacia la derecha) también está destinado a apuntar hacia el observador, mientras que el eje "medio" está destinado a apuntar en dirección opuesta al observador. El círculo rojo es paralelo al plano horizontal xy e indica la rotación desde el eje x al eje y (en ambos casos). De ahí la flecha roja pasa en frente de la z eje y.

La figura 8 es otro intento de representar un sistema de coordenadas para diestros. Nuevamente, existe una ambigüedad causada por la proyección del sistema de coordenadas tridimensional en el plano. Muchos observadores ven la Figura 8 como "voltearse hacia adentro y hacia afuera" entre un cubo convexo y una "esquina" cóncava . Esto corresponde a las dos posibles orientaciones del espacio. Al ver la figura convexa se obtiene un sistema de coordenadas a la izquierda. Por lo tanto, la forma "correcta" de ver la Figura 8 es imaginar el eje x apuntando hacia el observador y, por lo tanto, viendo una esquina cóncava.

Representar un vector en la base estándar

Un punto en el espacio en un sistema de coordenadas cartesiano también se puede representar mediante un vector de posición , que se puede considerar como una flecha que apunta desde el origen del sistema de coordenadas hasta el punto. ^[11] Si las coordenadas representan posiciones espaciales (desplazamientos), es común representar el vector desde el origen hasta el punto de interés como . En dos dimensiones, el vector desde el origen hasta el punto con coordenadas cartesianas (x, y) se puede escribir como:${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} ,}$

donde y son vectores unitarios en la dirección de la x eje x y y eje x, respectivamente, por lo general se hace referencia como la base estándar (en algunas áreas de aplicación éstas también pueden ser referidos como versors ). De manera similar, en tres dimensiones, el vector desde el origen hasta el punto con coordenadas cartesianas se puede escribir como: ^[12]${\displaystyle \mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} ,}$

donde y${\displaystyle \mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},}$ ${\displaystyle \mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},}$${\displaystyle \mathbf {k} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.}$

No existe una interpretación natural de multiplicar vectores para obtener otro vector que funcione en todas las dimensiones, sin embargo, existe una manera de usar números complejos para proporcionar tal multiplicación. En un plano cartesiano bidimensional, identifica el punto con coordenadas ( x , y ) con el número complejo z = x + iy . Aquí, i es la unidad imaginaria y se identifica con el punto con coordenadas (0, 1) , por lo que no es el vector unitario en la dirección de la x-eje. Dado que los números complejos se pueden multiplicar dando otro número complejo, esta identificación proporciona un medio para "multiplicar" los vectores. En un espacio cartesiano tridimensional se puede hacer una identificación similar con un subconjunto de los cuaterniones .

Aplicaciones

Las coordenadas cartesianas son una abstracción que tiene una multitud de posibles aplicaciones en el mundo real. Sin embargo, hay tres pasos constructivos involucrados en la superposición de coordenadas en una aplicación problemática. 1) Las unidades de distancia deben decidirse definiendo el tamaño espacial representado por los números utilizados como coordenadas. 2) Se debe asignar un origen a una ubicación espacial o punto de referencia específico, y 3) la orientación de los ejes debe definirse utilizando las señales direccionales disponibles para todos los ejes menos uno.

Considere como ejemplo la superposición de coordenadas cartesianas 3D sobre todos los puntos de la Tierra (es decir, 3D geoespacial). ¿Qué unidades tienen sentido? Los kilómetros son una buena opción, ya que la definición original del kilómetro era geoespacial: 10 000 km equivalen a la distancia de la superficie desde el Ecuador hasta el Polo Norte. ¿Dónde ubicar el origen? Basado en la simetría, el centro gravitacional de la Tierra sugiere un punto de referencia natural (que puede detectarse a través de las órbitas de los satélites). Finalmente, ¿cómo orientar los ejes X, Y y Z? El eje de rotación de la Tierra proporciona una orientación natural fuertemente asociada con "arriba o abajo", por lo que Z positivo puede adoptar la dirección del geocentro al Polo Norte. Se necesita una ubicación en el Ecuador para definir el eje X y el primer meridianose destaca como una orientación de referencia, por lo que el eje X toma la orientación desde el geocentro hasta 0 grados de longitud, 0 grados de latitud. Tenga en cuenta que con tres dimensiones y dos orientaciones de ejes perpendiculares fijados para X y Z, el eje Y está determinado por las dos primeras opciones. Para obedecer la regla de la mano derecha, el eje Y debe apuntar desde el geocentro a 90 grados de longitud, 0 grados de latitud. Entonces, ¿cuáles son las coordenadas geocéntricas del Empire State Building en la ciudad de Nueva York? A partir de una longitud de -73,985656 grados, una latitud de 40,748433 grados y un radio de la Tierra de 40.000 / 2π km, y transformándose de coordenadas esféricas a cartesianas, puede estimar las coordenadas geocéntricas del Empire State Building ( x , y , z) = (1330,53 km, –4635,75 km, 4155,46 km). La navegación GPS se basa en estas coordenadas geocéntricas.

En los proyectos de ingeniería, el acuerdo sobre la definición de coordenadas es una base fundamental. No se puede suponer que las coordenadas vienen predefinidas para una nueva aplicación, por lo que el conocimiento de cómo construir un sistema de coordenadas donde no lo hay es esencial para aplicar el pensamiento de René Descartes.

Si bien las aplicaciones espaciales emplean unidades idénticas a lo largo de todos los ejes, en aplicaciones comerciales y científicas, cada eje puede tener diferentes unidades de medida asociadas (como kilogramos, segundos, libras, etc.). Aunque los espacios de cuatro y más dimensiones son difíciles de visualizar, el álgebra de coordenadas cartesianas puede extenderse con relativa facilidad a cuatro o más variables, de modo que se pueden realizar ciertos cálculos que involucran muchas variables. (Este tipo de extensión algebraica es lo que se usa para definir la geometría de espacios de dimensiones superiores.) A la inversa, a menudo es útil usar la geometría de coordenadas cartesianas en dos o tres dimensiones para visualizar relaciones algebraicas entre dos o tres de muchos no -variables espaciales.

La gráfica de una función o relación es el conjunto de todos los puntos que satisfacen esa función o relación. Para una función de una variable, f , el conjunto de todos los puntos ( x , y ) , donde y = f ( x ) es la gráfica de la función f . Para una función g de dos variables, el conjunto de todos los puntos ( x , y , z ) , donde z = g ( x , y ) es la gráfica de la funcióng . Un bosquejo de la gráfica de tal función o relación consistiría en todas las partes sobresalientes de la función o relación que incluirían sus extremos relativos, su concavidad y puntos de inflexión, cualquier punto de discontinuidad y su comportamiento final. Todos estos términos se definen más completamente en cálculo. Estos gráficos son útiles en cálculo para comprender la naturaleza y el comportamiento de una función o relación.

Ver también

• Horizontal y vertical
• Diagrama de Jones , que traza cuatro variables en lugar de dos
• Coordenadas ortogonales
• Sistema de coordenadas polares
• Cuadrícula regular
• Sistema de coordenadas esféricas

Referencias

1. Bix, Robert A .; D'Souza, Harry J. "Geometría analítica" . Encyclopædia Britannica . Consultado el 6 de agosto de 2017 .
2. Kent, Alexander J .; Vujakovic, Peter (4 de octubre de 2017). El manual de cartografía y cartografía de Routledge . Routledge. ISBN 9781317568216.
3. Burton , 2011 , p. 374
4. Un recorrido por el cálculo, David Berlinski
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9. Smart 1998 , cap. 2
10. Brannan, Esplen y Gray 1998 , pág. 49
11. Brannan, Esplen y Gray 1998 , Apéndice 2, págs. 377–382
12. David J. Griffiths (1999). Introducción a la electrodinámica . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-805326-0.

Fuentes

• Brannan, David A .; Esplen, Matthew F .; Gray, Jeremy J. (1998), Geometría , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6
• Burton, David M. (2011), The History of Mathematics / An Introduction (7a ed.), Nueva York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-338315-6
• Smart, James R. (1998), Geometrías modernas (5.a ed.), Pacific Grove: Brooks / Cole, ISBN 978-0-534-35188-5

Lectura adicional

• Descartes, René (2001). Discurso sobre método, óptica, geometría y meteorología . Traducido por Paul J. Oscamp (Ed. Revisada). Indianápolis, IN: Hackett Publishing. ISBN 978-0-87220-567-3. OCLC  488633510 .
• Korn GA, Korn TM (1961). Manual de matemáticas para científicos e ingenieros (1ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. págs.  55–79 . LCCN  59-14456 . OCLC  19959906 .
• Margenau H , Murphy GM (1956). Las matemáticas de la física y la química . Nueva York: D. van Nostrand. LCCN  55-10911 .
• Moon P, Spencer DE (1988). "Coordenadas rectangulares (x, y, z)". Manual de teoría de campo, que incluye sistemas de coordenadas, ecuaciones diferenciales y sus soluciones (corregida en la 2ª, 3ª edición impresa). Nueva York: Springer-Verlag. págs. 9-11 (cuadro 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2.
• Morse PM , Feshbach H (1953). Métodos de Física Teórica, Parte I . Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-043316-8. LCCN  52-11515 .
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Nueva York: Springer Verlag. LCCN  67-25285 .

Enlaces externos

• Sistema de coordenadas Cartesianas
• MathWorld descripción de coordenadas cartesianas
• Convertidor de coordenadas: convierte entre coordenadas polares, cartesianas y esféricas
• Coordenadas de un punto Herramienta interactiva para explorar las coordenadas de un punto
• Clase de JavaScript de código abierto para la manipulación del sistema de coordenadas cartesianas 2D / 3D