Algoritmo en cascada

En el tema matemático de la teoría de ondículas , el algoritmo en cascada es un método numérico para calcular los valores de función de las funciones básicas de escalado y ondículas de una transformada de ondículas discretas utilizando un algoritmo iterativo. Comienza a partir de valores en una secuencia aproximada de puntos de muestreo y produce valores para secuencias de puntos de muestreo sucesivamente más densamente espaciadas. Debido a que aplica la misma operación una y otra vez a la salida de la aplicación anterior, se conoce como algoritmo en cascada .

Aproximación sucesiva

El algoritmo iterativo genera aproximaciones sucesivas a ψ ( t ) o φ ( t ) a partir de { h } y { g } coeficientes de filtro. Si el algoritmo converge a un punto fijo, entonces ese punto fijo es la función de escala básica o ondícula.

Las iteraciones están definidas por

${\displaystyle \varphi ^{(k+1)}(t)=\sum _{n=0}^{N-1}h[n]{\sqrt {2}}\varphi ^{(k)}(2t-n)}$

Para la k- ésima iteración, donde se debe dar un φ ⁽⁰⁾ ( t ) inicial .

Las estimaciones en el dominio de la frecuencia de la función de escala básica están dadas por

${\displaystyle \Phi ^{(k+1)}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2}}}H\left({\frac {\omega }{2}}\right)\Phi ^{(k)}\left({\frac {\omega }{2}}\right)}$

y el límite puede verse como un producto infinito en la forma

${\displaystyle \Phi ^{(\infty )}(\omega )=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2}}}H\left({\frac {\omega }{2^{k}}}\right)\Phi ^{(\infty )}(0).}$

Si existe tal límite, el espectro de la función de escala es

${\displaystyle \Phi (\omega )=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2}}}H\left({\frac {\omega }{2^{k}}}\right)\Phi ^{(\infty )}(0)}$

El límite no depende de la forma inicial asumida para φ ⁽⁰⁾ ( t ). Este algoritmo converge de manera confiable a φ ( t ), incluso si es discontinuo.

A partir de esta función de escala, la ondícula se puede generar a partir de

${\displaystyle \psi (t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g[n]{\sqrt {2}}\varphi ^{(k)}(2t-n).}$

También se pueden derivar aproximaciones sucesivas en el dominio de la frecuencia.

Referencias

• CS Burrus , RA Gopinath, H. Guo, Introducción a las wavelets y las transformadas Wavelet: A Primer , Prentice-Hall, 1988, ISBN  0-13-489600-9 .
• http://cnx.org/content/m10486/latest/
• https://web.archive.org/web/20070615055323/http://cm.bell-labs.com/cm/ms/who/wim/cascade/index.html