La conjetura de catalán

The only nontrivial positive integer solution to x^a-y^b equals 1 is 3^2-2^3

Para la conjetura de la secuencia de la alícuota del catalán, ver la secuencia de la alícuota § Conjetura de Catalán-Dickson .

Para la conjetura del número de Mersenne en catalán, consulte el número de Mersenne doble § Conjetura del número de Mersenne en catalán .

La conjetura de Catalan (o teorema de Mihăilescu ) es un teorema de la teoría de números que fue conjeturado por el matemático Eugène Charles Catalan en 1844 y probado en 2002 por Preda Mihăilescu . ^{[1] [2]} Los enteros 2 ³ y 3 ² son dos potencias de números naturales cuyos valores (8 y 9, respectivamente) son consecutivos. El teorema establece que este es el único caso de dos potencias consecutivas. Es decir, que

La conjetura de Catalán  :  la única solución en los números naturales de

${\displaystyle x^{a}-y^{b}=1}$

para a , b > 1, x , y > 0 es x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.

Historia

La historia del problema se remonta al menos a Gersonides , quien demostró un caso especial de la conjetura en 1343 donde ( x , y ) estaba restringido a ser (2, 3) o (3, 2). El primer progreso significativo después de que Catalán hizo su conjetura se produjo en 1850 cuando Victor-Amédée Lebesgue se ocupó del caso b = 2. ^[3]

En 1976, Robert Tijdeman aplicó el método de Baker en la teoría de la trascendencia para establecer un límite en a, by utilizó los resultados existentes que limitan x , y en términos de a , b para dar un límite superior efectivo para x , y , a , b . Michel Langevin calculó un valor de para el límite. ^[4] Esto resolvió la conjetura de Catalán para todos menos un número finito de casos. No obstante, el cálculo finito requerido para completar la demostración del teorema requirió demasiado tiempo para realizarlo.${\displaystyle \exp \exp \exp \exp 730\approx 10^{10^{10^{10^{317}}}}}$

La conjetura de Catalan fue probada por Preda Mihăilescu en abril de 2002. La prueba fue publicada en el Journal für die reine und angewandte Mathematik , 2004. Hace un uso extensivo de la teoría de campos ciclotómicos y módulos de Galois . Yuri Bilu ofreció una exposición de la prueba en el Séminaire Bourbaki . ^[5] En 2005, Mihăilescu publicó una prueba simplificada. ^[6]

Generalización

Es una conjetura que para cada número natural n , solo hay un número finito de pares de potencias perfectas con diferencia n . La siguiente lista muestra, para n  ≤ 64, todas las soluciones para potencias perfectas inferiores a 10 ¹⁸ , como OEIS :  A076427 . Consulte también OEIS :  A103953 para la solución más pequeña (> 0).

norte	recuento de soluciones	números k tales que k y k + n son potencias perfectas		norte	recuento de soluciones	números k tales que k y k + n son potencias perfectas
1	1	8		33	2	16, 256
2	1	25		34	0	ninguno
3	2	1, 125		35	3	1, 289, 1296
4	3	4, 32, 121		36	2	64, 1728
5	2	4, 27		37	3	27, 324, 14 348 907
6	0	ninguno		38	1	1331
7	5	1, 9, 25, 121, 32 761		39	4	25, 361, 961, 10 609
8	3	1, 8, 97 336		40	4	9, 81, 216, 2704
9	4	16, 27, 216, 64 000		41	3	8, 128, 400
10	1	2187		42	0	ninguno
11	4	16, 25, 3125, 3364		43	1	441
12	2	4, 2197		44	3	81, 100, 125
13	3	36, 243, 4900		45	4	4, 36, 484, 9216
14	0	ninguno		46	1	243
15	3	1, 49, 1 295 029		47	6	81, 169, 196, 529, 1681, 250 000
dieciséis	3	9, 16, 128		48	4	1, 16, 121, 21904
17	7	8, 32, 64, 512, 79 507 ,140 608 ,143 384 152 904		49	3	32, 576, 274 576
18	3	9, 225, 343		50	0	ninguno
19	5	8, 81, 125, 324, 503 284 356		51	2	49, 625
20	2	16, 196		52	1	144
21	2	4, 100		53	2	676, 24 336
22	2	27, 2187		54	2	27, 289
23	4	4, 9, 121, 2025		55	3	9, 729, 175 561
24	5	1, 8, 25, 1000, 542 939 080 312		56	4	8, 25, 169, 5776
25	2	100, 144		57	3	64, 343, 784
26	3	1, 42 849 ,6 436 343		58	0	ninguno
27	3	9, 169, 216		59	1	841
28	7	4, 8, 36, 100, 484, 50 625 ,131 044		60	4	4, 196, 2 515 396 ,2 535 525 316
29	1	196		61	2	64, 900
30	1	6859		62	0	ninguno
31	2	1, 225		63	4	1, 81, 961, 183 250 369
32	4	4, 32, 49, 7744		64	4	36, 64, 225, 512

Conjetura de Pillai

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Cada número entero positivo aparece solo un número finito de veces como una diferencia de potencias perfectas?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

La conjetura de Pillai se refiere a una diferencia general de poderes perfectos (secuencia A001597 en la OEIS ): es un problema abierto propuesto inicialmente por SS Pillai , quien conjeturaba que los huecos en la secuencia de poderes perfectos tienden al infinito. Esto equivale a decir que cada número entero positivo aparece solo un número finito de veces como una diferencia de potencias perfectas: de manera más general, en 1931 Pillai conjeturó que para los números enteros positivos fijos A , B , C la ecuación solo tiene un número finito de soluciones ( x ,  y ,  m ,  n ) con ( m ,  n${\displaystyle Ax^{n}-By^{m}=C}$) ≠ (2, 2). Pillai demostró que la diferencia para cualquier λ inferior a 1, de manera uniforme en m y n . ^[7]${\displaystyle |Ax^{n}-By^{m}|\gg x^{\lambda n}}$

La conjetura general se seguiría de la conjetura de ABC . ^{[7] [8]}

Paul Erdős conjeturó ^{[ cita requerida ]} que la secuencia ascendente de poderes perfectos satisface alguna constante positiva cy todas las n suficientemente grandes  .${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}>n^{c}}$

Ver también

• Conjetura de Beal
• Ecuación x y = y x
• Conjetura fermat-catalana
• Curva de Mordell
• Ecuación de Ramanujan-Nagell
• Teorema de Størmer
• Teorema de tijdeman

Notas

1. Weisstein, Eric W. , conjetura de Catalán , MathWorld
2. Mihăilescu 2004
3. Victor-Amédée Lebesgue (1850), "Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation x ^m = y ² +1", Nouvelles annales de mathématiques , 1 ^re série, 9 : 178-181
4. Ribenboim, Paulo (1979), 13 conferencias sobre el último teorema de Fermat , Springer-Verlag , p. 236, ISBN 0-387-90432-8, Zbl  0456.10006
5. Bilu, Yuri (2004), "Conjetura del catalán" , Séminaire Bourbaki vol. 2003/04 Exposés 909-923 , Astérisque, 294 , págs. 1–26
6. Mihăilescu 2005
7. Narkiewicz, Wladyslaw (2011), Rational Teoría de Números en el siglo 20: De PNT a FLT , Springer monografías en Matemáticas, Springer-Verlag ., Pp  253 -254, ISBN 978-0-857-29531-6
8. Schmidt, Wolfgang M. (1996), Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas , Lecture Notes in Mathematics, 1467 (2ª ed.), Springer-Verlag , p. 207, ISBN 3-540-54058-X, Zbl  0754.11020

Referencias

• Bilu, Yuri (2004), "Conjetura del catalán (después de Mihăilescu)", Astérisque , 294 : vii, 1–26, MR  2111637
• Catalán, Eugene (1844), "Note extraite d'une lettre adressée à l'éditeur" , J. Reine Angew. Matemáticas. (en francés), 27 : 192, doi : 10.1515 / crll.1844.27.192 , MR  1578392
• Cohen, Henri (2005). Démonstration de la conjecture de Catalan [ Una prueba de la conjetura catalana ]. Théorie algorítmica des nombres et équations diophantiennes (en francés). Palaiseau: Éditions de l'École Polytechnique. págs. 1-83. ISBN 2-7302-1293-0. Señor  0222434 .
• Metsänkylä, Tauno (2004), "La conjetura del catalán: otro viejo problema diofantino resuelto" (PDF) , Boletín de la American Mathematical Society , 41 (1): 43–57, doi : 10.1090 / S0273-0979-03-00993-5 , Señor  2015449
• Mihăilescu, Preda (2004), "Unidades ciclotómicas primarias y prueba de la conjetura catalana", J. Reine Angew. Matemáticas. , 2004 (572): 167-195, doi : 10.1515 / crll.2004.048 , MR  2076124
• Mihăilescu, Preda (2005), "Reflexión, números de Bernoulli y la prueba de la conjetura catalana" (PDF) , Congreso Europeo de Matemáticas , Zurich: Eur. Matemáticas. Soc .: 325-340, MR  2185753
• Ribenboim, Paulo (1994), Conjetura del catalán , Boston, MA: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-587170-8, Señor  1259738 Es anterior a la prueba de Mihăilescu.
• Tijdeman, Robert (1976), "Sobre la ecuación del catalán" (PDF) , Acta Arith. , 29 (2): 197–209, doi : 10.4064 / aa-29-2-197-209 , MR  0404137

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Conjetura del catalán" . MathWorld .
• MathTrek de Ivars Peterson
• Sobre la diferencia de poderes perfectos
• Jeanine Daems: una prueba ciclotómica de la conjetura catalana