Teoría de la catástrofe

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"Evento catastrófico" vuelve a dirigir aquí. Para otros usos, consulte Catástrofe .

En matemáticas , la teoría de catástrofes es una rama de la teoría de la bifurcación en el estudio de sistemas dinámicos ; también es un caso especial particular de teoría de la singularidad más general en geometría .

La teoría de la bifurcación estudia y clasifica fenómenos caracterizados por cambios bruscos de comportamiento derivados de pequeños cambios en las circunstancias, analizando cómo la naturaleza cualitativa de las soluciones de las ecuaciones depende de los parámetros que aparecen en la ecuación. Esto puede conducir a cambios repentinos y dramáticos, por ejemplo, el momento y la magnitud impredecibles de un deslizamiento de tierra .

La teoría de la catástrofe se originó con el trabajo del matemático francés René Thom en la década de 1960 y se hizo muy popular gracias a los esfuerzos de Christopher Zeeman en la década de 1970. Considera el caso especial en el que el equilibrio estable a largo plazo puede identificarse como el mínimo de una función potencial suave y bien definida ( función de Lyapunov ).

Pequeños cambios en ciertos parámetros de un sistema no lineal pueden hacer que aparezcan o desaparezcan equilibrios, o que cambien de atraer a repeler y viceversa, dando lugar a cambios grandes y repentinos del comportamiento del sistema. Sin embargo, examinada en un espacio de parámetros más grande, la teoría de la catástrofe revela que tales puntos de bifurcación tienden a ocurrir como parte de estructuras geométricas cualitativas bien definidas.

Catástrofes elementales

La teoría de la catástrofe analiza los puntos críticos degenerados de la función potencial, puntos en los que no solo la primera derivada, sino una o más derivadas superiores de la función potencial también son cero. Estos se llaman los gérmenes de las geometrías catastróficas. La degeneración de estos puntos críticos se puede desarrollar expandiendo la función potencial como una serie de Taylor en pequeñas perturbaciones de los parámetros.

Cuando los puntos degenerados no son meramente accidentales, sino estructuralmente estables , los puntos degenerados existen como centros organizadores de estructuras geométricas particulares de menor degeneración, con características críticas en el espacio de parámetros que los rodea. Si la función potencial depende de dos o menos variables activas, y cuatro o menos parámetros activos, entonces solo hay siete estructuras genéricas para estas geometrías de bifurcación, con las correspondientes formas estándar en las que la serie de Taylor alrededor de los gérmenes de catástrofe puede transformarse por difeomorfismo ( una transformación suave cuya inversa también es suave). ^{[ cita requerida ]} Estos siete tipos fundamentales se presentan ahora, con los nombres que Thom les dio.

Funciones potenciales de una variable activa

La teoría de catástrofes estudia sistemas dinámicos que describen la evolución ^[1] de una variable de estado a lo largo del tiempo :${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\dot {x}}={\dfrac {dx}{dt}}=-{\dfrac {dV(u,x)}{dx}}}$

En la ecuación anterior, se denomina función potencial y, a menudo , es un vector o un escalar que parametriza la función potencial. El valor de puede cambiar con el tiempo y también puede denominarse variable de control . En los siguientes ejemplos, parámetros como (alternativamente escritos como a, b) son tales controles.${\displaystyle V}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle a,b}$

Doblar la catástrofe

Par de extremos estable e inestable desaparecen en una bifurcación de pliegue

${\displaystyle V=x^{3}+ax\,}$

Cuando a <0, el potencial V tiene dos extremos: uno estable y otro inestable. Si el parámetro a aumenta lentamente, el sistema puede seguir el punto mínimo estable. Pero en a = 0 los extremos estable e inestable se encuentran y se aniquilan. Este es el punto de bifurcación. En a > 0 ya no hay una solución estable. Si un sistema físico es seguido a través de una bifurcación veces, uno por lo tanto, encuentra que como una llega a 0, la estabilidad de la un <0 solución se pierde de repente, y el sistema hará una transición súbita a un nuevo comportamiento, muy diferente. Este valor de bifurcación del parámetro a a veces se denomina " punto de inflexión ".

Catástrofe de la cúspide

${\displaystyle V=x^{4}+ax^{2}+bx\,}$

Diagrama de la catástrofe de la cúspide, mostrando curvas (marrón, rojo) de x que satisfacen dV / dx = 0 para los parámetros ( a , b ), dibujadas para el parámetro b continuamente variado, para varios valores del parámetro a . Fuera del locus de la cúspide de las bifurcaciones (azul), para cada punto ( a , b ) en el espacio de parámetros hay solo un valor extremo de x . Dentro de la cúspide, hay dos valores diferentes de x que dan mínimos locales de V ( x ) para cada ( a , b), separados por un valor de x que da un máximo local.

Forma de cúspide en el espacio de parámetros ( a , b ) cerca del punto de catástrofe, que muestra el lugar de las bifurcaciones de pliegue que separan la región con dos soluciones estables de la región con una.

Bifurcación de horquilla en a = 0 en la superficie b = 0

La geometría de la cúspide es muy común cuando se explora lo que sucede con una bifurcación de pliegue si se agrega un segundo parámetro, b , al espacio de control. Variando los parámetros, uno encuentra que ahora hay una curva (azul) de puntos en el espacio ( a , b ) donde se pierde la estabilidad, donde la solución estable saltará repentinamente a un resultado alternativo.

Pero en una geometría de cúspide, la curva de bifurcación retrocede sobre sí misma, dando una segunda rama donde esta solución alternativa pierde estabilidad, y dará un salto de regreso al conjunto de soluciones original. Al aumentar repetidamente by luego disminuirlo, se pueden observar bucles de histéresis , ya que el sistema sigue alternativamente una solución, salta a la otra, sigue a la otra hacia atrás y luego vuelve a la primera.

Sin embargo, esto solo es posible en la región del espacio de parámetros a <0 . Como una aumenta, los ciclos de histéresis se vuelven más y más pequeña, hasta que por encima de un = 0 de que desaparezcan por completo (la catástrofe cúspide), y sólo hay una solución estable.

También se puede considerar lo que sucede si se mantiene constante b y se varía a . En el caso simétrico b = 0 , se observa una bifurcación tridente como una se reduce, con una solución estable de repente la división en dos soluciones estables y una solución inestable como el sistema físico pasa a un <0 a través del punto cúspide (0,0) (un ejemplo de ruptura espontánea de simetría ). Lejos del punto de la cúspide, no hay ningún cambio repentino en la solución física que se está siguiendo: al pasar por la curva de bifurcaciones de pliegues, todo lo que sucede es que se dispone de una segunda solución alternativa.

Una sugerencia famosa es que la catástrofe de la cúspide se puede utilizar para modelar el comportamiento de un perro estresado, que puede responder acobardado o enojado. ^[2] La sugerencia es que con un estrés moderado ( a > 0 ), el perro exhibirá una transición suave de respuesta de acobardado a enojado, dependiendo de cómo se provoque. Pero los niveles de estrés más altos corresponden a moverse a la región ( a <0 ). Luego, si el perro comienza a acobardarse, seguirá acobardado a medida que se irrite cada vez más, hasta que llegue al punto de "plegado", cuando de repente, de forma discontinua, pasará al modo enojado. Una vez en el modo "enojado", seguirá enojado, incluso si el parámetro de irritación directa se reduce considerablemente.

Un sistema mecánico simple, la "Máquina de Catástrofes Zeeman", ilustra muy bien una catástrofe en la cúspide. En este dispositivo, variaciones suaves en la posición del extremo de un resorte pueden causar cambios repentinos en la posición de rotación de una rueda adjunta. ^[3]

La falla catastrófica de un sistema complejo con redundancia paralela se puede evaluar en función de la relación entre las tensiones locales y externas. El modelo de la mecánica de la fractura estructural es similar al comportamiento de la catástrofe de la cúspide. El modelo predice la capacidad de reserva de un sistema complejo.

Otras aplicaciones incluyen la transferencia de electrones de la esfera exterior que se encuentra con frecuencia en sistemas químicos y biológicos ^[4] y el modelado de precios inmobiliarios. ^[5]

Las bifurcaciones de pliegue y la geometría de las cúspides son, con mucho, las consecuencias prácticas más importantes de la teoría de las catástrofes. Son patrones que se repiten una y otra vez en la física, la ingeniería y el modelado matemático. Producen los eventos de lentes gravitacionales fuertes y proporcionan a los astrónomos uno de los métodos utilizados para detectar agujeros negros y la materia oscura del universo, a través del fenómeno de lentes gravitacionales que producen múltiples imágenes de cuásares distantes . ^[6]

Las geometrías de catástrofes simples restantes son muy especializadas en comparación y se presentan aquí solo por curiosidad.

Catástrofe cola de golondrina

Superficie de catástrofe de cola de golondrina

${\displaystyle V=x^{5}+ax^{3}+bx^{2}+cx\,}$

El espacio de parámetros de control es tridimensional. El conjunto de bifurcaciones en el espacio de parámetros está formado por tres superficies de bifurcaciones de pliegue, que se unen en dos líneas de bifurcaciones de cúspides, que a su vez se encuentran en un único punto de bifurcación en cola de golondrina.

A medida que los parámetros atraviesan la superficie de las bifurcaciones de pliegue, desaparecen un mínimo y un máximo de la función potencial. En las bifurcaciones de las cúspides, dos mínimos y un máximo se reemplazan por un mínimo; más allá de ellos desaparecen las bifurcaciones del pliegue. En el punto de la cola de golondrina, dos mínimos y dos máximos se encuentran en un solo valor de x . Para valores de un > 0 , más allá de la cola de golondrina, o bien hay un par máximo-mínimo, o ninguno en absoluto, dependiendo de los valores de b y c . Dos de las superficies de las bifurcaciones de pliegues y las dos líneas de bifurcaciones de las cúspides donde se encuentran para un <0, por lo tanto, desaparecen en el punto de la cola de golondrina, para ser reemplazados con solo una superficie de bifurcaciones de pliegue restante. El último cuadro de Salvador Dalí , La cola de golondrina , se basó en esta catástrofe.

Catástrofe de mariposas

${\displaystyle V=x^{6}+ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx\,}$

Dependiendo de los valores de los parámetros, la función potencial puede tener tres, dos o un mínimo local diferente, separados por los lugares de las bifurcaciones de los pliegues. En el punto de la mariposa, las diferentes 3 superficies de las bifurcaciones de pliegues, las 2 superficies de las bifurcaciones de las cúspides y las líneas de las bifurcaciones en cola de golondrina se encuentran y desaparecen, dejando una única estructura de cúspide restante cuando a > 0 .

Funciones potenciales de dos variables activas

Una superficie con un umbilico hiperbólico y su superficie focal. La catástrofe umbilical hiperbólica es solo la parte superior de esta imagen.

Una superficie con un umbilical elíptico y su superficie focal. La catástrofe umbilical elíptica es solo la parte superior de esta imagen.

Las catástrofes umbílicas son ejemplos de catástrofes corank 2. Se pueden observar en óptica en las superficies focales creadas por la luz que se refleja en una superficie en tres dimensiones y están íntimamente conectadas con la geometría de superficies casi esféricas: punto umbilical . Thom propuso que la catástrofe umbilical hiperbólica modeló la ruptura de una ola y el umbilic elíptico modeló la creación de estructuras similares a pelos.

Catástrofe umbilical hiperbólica

${\displaystyle V=x^{3}+y^{3}+axy+bx+cy\,}$

Catástrofe umbilical elíptica

${\displaystyle V={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+a(x^{2}+y^{2})+bx+cy\,}$

Catástrofe umbilical parabólica

${\displaystyle V=x^{2}y+y^{4}+ax^{2}+by^{2}+cx+dy\,}$

Notación de Arnold

Vladimir Arnold dio a las catástrofes la clasificación ADE , debido a una profunda conexión con grupos simples de Lie . ^{[ cita requerida ]}

• A ₀ - un punto no singular: .${\displaystyle V=x}$
• A ₁ : un extremo local, ya sea un mínimo estable o un máximo inestable .${\displaystyle V=\pm x^{2}+ax}$
• A ₂ - el pliegue
• A ₃ - la cúspide
• A ₄ - la cola de golondrina
• A ₅ - la mariposa
• A _k - un representante de una secuencia infinita de formas de una variable${\displaystyle V=x^{k+1}+\cdots }$
• D ₄ ^- - el ombligo elíptico
• D ₄ ⁺ - el umbilico hiperbólico
• D ₅ - el umbilico parabólico
• D _k - un representante de una secuencia infinita de formas umbilicas adicionales
• E ₆ - el umbilico simbólico${\displaystyle V=x^{3}+y^{4}+axy^{2}+bxy+cx+dy+ey^{2}}$
• E ₇
• E ₈

Hay objetos en la teoría de la singularidad que corresponden a la mayoría de los otros grupos de Lie simples.

Ver también

• Simetría rota
• Efecto mariposa
• Teoría del caos
• efecto dominó
• Punto de inflexión
• Morfología
• Transición de fase
• Equilibrio exacto
• Ruptura espontánea de la simetría
• Efecto bola de nieve

Referencias

1. Wagenmakers, EJ; van der Maas, HLJ; Molenaar, PCM (2005). "Encajando el modelo de catástrofe de cúspide" .
2. EC Zeeman , Teoría de la catástrofe , Scientific American , abril de 1976; págs. 65–70, 75–83
3. Cross, Daniel J., La máquina de catástrofes de Zeeman en Flash Archivado el 11 de diciembre de 2012 en Archive.today
4. Xu, F (1990). "Aplicación de la teoría de la catástrofe a la relación ∆G ^≠ a -∆G en reacciones de transferencia de electrones". Zeitschrift für Physikalische Chemie . Neue Folge. 166 : 79–91. doi : 10.1524 / zpch.1990.166.Part_1.079 . S2CID 101078817 . 
5. Bełej, Mirosław; Kulesza, Sławomir (2012). "Modelado de los precios inmobiliarios en Olsztyn en condiciones de inestabilidad" . Folia Oeconomica Stetinensia . 11 (1): 61–72. doi : 10.2478 / v10031-012-0008-7 .
6. AO Petters, H. Levine y J. Wambsganss, Teoría de la singularidad y lente gravitacional ", Birkhäuser Boston (2001)

Bibliografía

• Arnold, Vladimir Igorevich . Teoría de la catástrofe, 3ª ed. Berlín: Springer-Verlag, 1992.
• VS Afrajmovich , VI Arnold, et al., Teoría de la bifurcación y teoría de la catástrofe, ISBN 3-540-65379-1 
• Bełej, M. Kulesza, S. Modelización de los precios inmobiliarios en Olsztyn en condiciones de inestabilidad. Folia Oeconomica Stetinensia. Volumen 11, Número 1, páginas 61–72, ISSN (en línea) 1898-0198, ISSN (impreso) 1730-4237, doi : 10.2478 / v10031-012-0008-7 , 2013
• Castrigiano, Domenico PL y Hayes, Sandra A. Teoría de la catástrofe, 2ª ed. Boulder: Westview, 2004. ISBN 0-8133-4126-4 
• Gilmore, Robert. Teoría de la catástrofe para científicos e ingenieros. Nueva York: Dover, 1993.
• Petters, Arlie O., Levine, Harold y Wambsganss, Joachim. Teoría de la singularidad y lente gravitacional. Boston: Birkhäuser, 2001. ISBN 0-8176-3668-4 
• Postle, Denis. Teoría de la catástrofe - Predecir y evitar desastres personales. Libros en rústica de Fontana, 1980. ISBN 0-00-635559-5 
• Poston, Tim y Stewart, Ian . Catástrofe: teoría y sus aplicaciones. Nueva York: Dover, 1998. ISBN 0-486-69271-X . 
• Sanns, Werner. Teoría de la catástrofe con Mathematica: un enfoque geométrico. Alemania: DAV, 2000.
• Saunders, Peter Timothy. Introducción a la teoría de la catástrofe. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press, 1980.
• Thom, René . Estabilidad estructural y morfogénesis: un esbozo de una teoría general de modelos. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989. ISBN 0-201-09419-3 . 
• Thompson, J. Michael T. Inestabilidades y catástrofes en ciencia e ingeniería. Nueva York: Wiley, 1982.
• Woodcock, Alexander Edward Richard y Davis, Monte. Teoría de la catástrofe. Nueva York: EP Dutton, 1978. ISBN 0-525-07812-6 . 
• Zeeman, EC Catastrophe Theory-Selected Papers 1972-1977. Reading, MA: Addison-Wesley, 1977.

Enlaces externos

• CompLexicon: teoría de la catástrofe
• Profesor de catástrofe
• Simulación Java de la máquina catastrófica de Zeeman