En matemáticas , el teorema de Cauchy-Kovalevskaya (también escrito como el teorema de Cauchy-Kowalevski ) es el principal teorema de existencia local y unicidad para las ecuaciones diferenciales parciales analíticas asociadas con los problemas de valor inicial de Cauchy . Un caso especial fue probado por Augustin Cauchy ( 1842 ), y el resultado completo por Sophie Kovalevskaya ( 1875 ).
Teorema de Cauchy-Kovalevskaya de primer orden
Este teorema trata sobre la existencia de soluciones a un sistema de m ecuaciones diferenciales en n dimensiones cuando los coeficientes son funciones analíticas . El teorema y su demostración son válidos para funciones analíticas de variables reales o complejas.
Deje K denotan cualquiera de los campos de números reales o complejos, y dejar que V = K m y W = K n . Deje A 1 , ..., A n -1 ser funciones analíticas definidas en algunos vecindad de (0, 0) en W × V y tomando valores en el m × m matrices, y dejar que b sea una función analítica con valores en V definido en el mismo barrio. Luego hay una vecindad de 0 en W en la que el problema de Cauchy cuasilineal
con condición inicial
en la hipersuperficie
tiene una solución analítica única ƒ : W → V cerca de 0.
El ejemplo de Lewy muestra que el teorema no es válido para todas las funciones suaves.
El teorema también se puede enunciar en espacios vectoriales abstractos (reales o complejos). Deje que V y W sea de dimensión finita vector real o complejo espacios, con n = dim W . Deje A 1 , ..., A n -1 ser funciones analíticas con valores en End ( V ) y b una función analítica con valores en V , que se define en alguna vecindad de (0, 0) en W × V . En este caso, se mantiene el mismo resultado.
Prueba por mayorización analítica
Ambos lados de la ecuación diferencial parcial se pueden expandir como series de potencias formales y dar relaciones de recurrencia para los coeficientes de la serie de potencias formales para f que determinan de forma única los coeficientes. Los coeficientes de la serie de Taylor de A i y b están mayorizados en matriz y norma vectorial mediante una función analítica racional escalar simple. El correspondiente problema escalar de Cauchy que involucra esta función en lugar de A i y b tiene una solución analítica local explícita. Los valores absolutos de sus coeficientes mayorizan las normas de los del problema original; por lo que la solución formal en serie de potencias debe converger donde converge la solución escalar.
Teorema de Cauchy-Kovalevskaya de orden superior
Si F y f j son funciones analíticas cercanas a 0, entonces el problema de Cauchy no lineal
con condiciones iniciales
tiene una solución analítica única cercana a 0.
Esto se sigue del problema de primer orden al considerar las derivadas de h que aparecen en el lado derecho como componentes de una función con valores vectoriales.
Ejemplo
con la condición
tiene una solución de serie de potencia formal única (expandida alrededor de (0, 0)). Sin embargo, esta serie de potencias formales no converge para valores distintos de cero de t , por lo que no hay soluciones analíticas en una vecindad del origen. Esto muestra que la condición | α | + j ≤ k anterior no se puede eliminar. (Este ejemplo se debe a Kowalevski).
Teorema de Cauchy-Kovalevskaya-Kashiwara
Existe una amplia generalización del teorema de Cauchy-Kovalevskaya para sistemas de ecuaciones diferenciales parciales lineales con coeficientes analíticos, el teorema de Cauchy-Kovalevskaya-Kashiwara , debido a Masaki Kashiwara ( 1983 ). Este teorema implica una cohomológico formulación, se presenta en el lenguaje de D-módulos . La condición de existencia implica una condición de compatibilidad entre las partes no homogéneas de cada ecuación y la desaparición de un funtor derivado. .
Ejemplo
Dejar . Colocar. El sistema tiene una solucion si y solo si las condiciones de compatibilidad están verificados. Para tener una solución única debemos incluir una condición inicial, dónde .
Referencias
- Cauchy, Augustin (1842), "Mémoire sur l'emploi du calcul des limites dans l'integration des équations aux dérivées partielles" , Comptes rendus , 15 Reimpreso en Oeuvres completa, 1 serie, tomo VII, páginas 17–58.
- Folland, Gerald B. (1995), Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales , Princeton University Press, ISBN 0-691-04361-2
- Hörmander, L. (1983), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundl. Matemáticas. Wissenschaft., 256 , Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-96750-4 , ISBN 3-540-12104-8, MR 0717035 (caso lineal)
- Kashiwara, M. (1983), Sistemas de ecuaciones microdiferenciales , Progreso en matemáticas, 34 , Birkhäuser, ISBN 0817631380
- von Kowalevsky, Sophie (1875), "Zur Theorie der partiellen Differentialgleichung" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 80 : 1–32 (La ortografía alemana de su apellido se usaba en ese momento).
- Nakhushev, AM (2001) [1994], "Teorema de Cauchy-Kovalevskaya" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press