En matemáticas , una condición de frontera de Cauchy ( francés: [koʃi] ) aumenta una ecuación diferencial ordinaria o una ecuación diferencial parcial con condiciones que la solución debe satisfacer en la frontera; idealmente para asegurarse de que existe una solución única. Una condición de límite de Cauchy especifica tanto el valor de la función como la derivada normal en el límite del dominio . Esto corresponde a imponer una condición de frontera tanto de Dirichlet como de Neumann . Lleva el nombre del prolífico analista matemático francés del siglo XIX.Augustin Louis Cauchy .
Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden
Las condiciones de frontera de Cauchy son simples y comunes en las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden ,
donde, para asegurar que una solución única existe, se puede especificar el valor de la función y el valor de la derivada en un punto dado , es decir,
y
dónde es un límite o punto inicial. Dado que el parámetroes por lo general el tiempo, las condiciones de Cauchy también pueden ser llamados condiciones de valor inicial o datos de valores iniciales o simplemente datos de Cauchy . Un ejemplo de tal situación son las leyes del movimiento de Newton, donde la aceleración depende de la posición , velocidad y el tiempo ; aquí, los datos de Cauchy corresponden a conocer la posición y la velocidad iniciales.
Ecuaciones diferenciales parciales
Para ecuaciones diferenciales parciales, las condiciones de frontera de Cauchy especifican tanto la función como la derivada normal en la frontera. Para hacer las cosas simples y concretas, considere una ecuación diferencial de segundo orden en el plano
dónde es la solución desconocida, denota derivada de con respecto a etc. Las funciones especificar el problema.
Ahora buscamos un que satisface la ecuación diferencial parcial en un dominio , que es un subconjunto del plano, y tal que las condiciones de frontera de Cauchy
mantener para todos los puntos del límite . Aquíes la derivada en la dirección de la normal al límite. Las funciones y son los datos de Cauchy.
Observe la diferencia entre una condición de límite de Cauchy y una condición de límite de Robin . En el primero, especificamos tanto la función como la derivada normal. En este último, especificamos un promedio ponderado de los dos.
Nos gustaría que las condiciones de frontera aseguraran que exista exactamente una solución (única), pero para las ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden, no es tan simple garantizar la existencia y la unicidad como lo es para las ecuaciones diferenciales ordinarias. Los datos de Cauchy son más relevantes de inmediato para problemas hiperbólicos (por ejemplo, la ecuación de onda ) en dominios abiertos (por ejemplo, el semiplano). [1]
Ver también
Referencias
- ^ Riley, KF; Hobson, diputado; Bence, SJ Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . págs. 705 . ISBN 978-0-521-67971-8.