En el análisis complejo , una disciplina dentro de las matemáticas, el teorema del residuo , a veces llamado teorema del residuo de Cauchy , es una herramienta poderosa para evaluar integrales de línea de funciones analíticas sobre curvas cerradas; a menudo se puede utilizar para calcular integrales reales y también series infinitas . Generaliza el teorema de la integral de Cauchy y la fórmula de la integral de Cauchy . Desde una perspectiva geométrica, puede verse como un caso especial del teorema generalizado de Stokes .
Declaración
La declaración es la siguiente:
Sea U un subconjunto abierto simplemente conectado del plano complejo que contiene una lista finita de puntos a 1 , ..., a n , U 0 = U \ { a 1 , ..., a n } , y una función f definida y holomórfico en U 0 . Sea γ una curva rectificable cerrada en U 0 , y denote el número de bobinado de γ alrededor de a k por I ( γ , a k ) . La integral de línea de f alrededor de γ es igual a 2 π i multiplicado por la suma de los residuos de f en los puntos, cada uno contado tantas veces como los vientos γ alrededor del punto:
Si γ es una curva cerrada simple orientada positivamente , I ( γ , a k ) = 1 si a k está en el interior de γ , y 0 si no, por lo tanto
con la suma sobre los a k dentro de γ . [1]
La relación del teorema del residuo con el teorema de Stokes viene dada por el teorema de la curva de Jordan . La curva plana general γ debe primero reducirse a un conjunto de curvas cerradas simples { γ i } cuyo total es equivalente a γ para propósitos de integración; esto reduce el problema de encontrar la integral de f dz lo largo de una curva de Jordan γ i con interior V . El requisito de que f sea holomórfico en U 0 = U \ { a k } es equivalente al enunciado de que la derivada exterior d ( f dz ) = 0 en U 0 . Por lo tanto, si dos regiones planas V y W de U encierran el mismo subconjunto { a j } de { a k } , las regiones V \ W y W \ V se encuentran completamente en U 0 , y por lo tanto
está bien definido e igual a cero. En consecuencia, la integral de contorno de f dz a lo largo de γ j = ∂V es igual a la suma de un conjunto de integrales a lo largo de las rutas λ j , cada una de las cuales encierra una región arbitrariamente pequeña alrededor de un solo a j - los residuos de f (hasta el convencional factor 2 π i ) en { a j } . Sumando { γ j } , recuperamos la expresión final de la integral de contorno en términos de los números de bobinado {I ( γ , a k )} .
Para evaluar integrales reales, el teorema del residuo se utiliza de la siguiente manera: el integrando se extiende al plano complejo y se calculan sus residuos (lo cual suele ser fácil), y una parte del eje real se extiende a una curva cerrada. uniendo un semicírculo en el semiplano superior o inferior, formando un semicírculo. La integral sobre esta curva se puede calcular usando el teorema del residuo. A menudo, la parte del semicírculo de la integral tenderá hacia cero a medida que el radio del semicírculo crece, dejando solo la parte del eje real de la integral, la que originalmente nos interesaba.
Ejemplos de
Una integral a lo largo del eje real
La integral
surge en la teoría de la probabilidad al calcular la función característica de la distribución de Cauchy . Resiste las técnicas de cálculo elemental pero puede evaluarse expresándolo como un límite de integrales de contorno .
Suponga t > 0 y defina el contorno C que va a lo largo de la línea real de - a a a y luego en sentido antihorario a lo largo de un semicírculo centrado en 0 de a a - a . Tome una mayor ser de 1, por lo que el imaginario unidad i está encerrado dentro de la curva. Ahora considere la integral de contorno
Dado que e itz es una función completa (que no tiene singularidades en ningún punto del plano complejo), esta función solo tiene singularidades donde el denominador z 2 + 1 es cero. Desde z 2 + 1 = ( z + i ) ( z - i ) , que ocurre sólo donde z = i o z = - i . Solo uno de esos puntos está en la región delimitada por este contorno. Porque f ( z ) es
el residuo de f ( z ) en z = i es
De acuerdo con el teorema del residuo, entonces, tenemos
El contorno C se puede dividir en una parte recta y un arco curvo, de modo que
y por lo tanto
Usando algunas estimaciones , tenemos
y
La estimación en el numerador sigue desde t > 0 , y para números complejos z a lo largo del arco (que se encuentra en el semiplano superior), el argumento φ de z se encuentra entre 0 y π . Entonces,
Por lo tanto,
Si t <0, entonces un argumento similar con un arco C ′ que gira alrededor de - i en lugar de i muestra que
y finalmente tenemos
(Si t = 0 , la integral cede inmediatamente a los métodos de cálculo elementales y su valor es π ).
Una suma infinita
El hecho de que π cot ( πz ) tiene polos simples con residuo 1 en cada número entero se puede usar para calcular la suma
Considere, por ejemplo, f ( z ) = z −2 . Sea Γ N el rectángulo que es el límite de [- N -1/2, N + 1/2] 2 con orientación positiva, con un número entero N . Por la fórmula del residuo,
El lado izquierdo va a cero cuando N → ∞ ya que el integrando tiene orden. Por otro lado, [2]
- donde el número de Bernoulli
(De echo, z/2 cuna( z/2) = iz/1 - e - iz - iz/2.) Por tanto, el residuo Res z = 0 es - π 2/3. Concluimos:
que es una prueba del problema de Basilea .
El mismo truco se puede utilizar para establecer la suma de la serie de Eisenstein :
Tomamos f ( z ) = ( w - z ) −1 con w un número no entero y mostraremos lo anterior para w . La dificultad en este caso es mostrar la desaparición de la integral de contorno en el infinito. Tenemos:
dado que el integrando es una función par y, por lo tanto, las contribuciones del contorno en el semiplano izquierdo y el contorno en el derecho se cancelan entre sí. Por lo tanto,
va a cero cuando N → ∞ .
Ver también
- Fórmula integral de Cauchy
- Teorema maestro de Glasser
- El lema de Jordan
- Métodos de integración de contornos
- Teorema de morera
- El teorema de Nachbin
- Residuo al infinito
- Forma logarítmica
Notas
- ^ Whittaker y Watson 1920 , p. 112, §6.1.
- ^ Whittaker y Watson 1920 , p. 125, §7.2. Tenga en cuenta que el número de Bernoulli se denota por en el libro de Whittaker & Watson.
Referencias
- Ahlfors, Lars (1979). Análisis complejo . McGraw Hill. ISBN 0-07-085008-9.
- Lindelöf, Ernst L. (1905). Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions (en francés). Ediciones Jacques Gabay (publicado en 1989). ISBN 2-87647-060-8.
- Mitrinović, Dragoslav; Kečkić, Jovan (1984). El método Cauchy de residuos: teoría y aplicaciones . D. Reidel Publishing Company. ISBN 90-277-1623-4.
- Whittaker, ET ; Watson, GN (1920). Un curso de análisis moderno (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge.
enlaces externos
- "Teorema de la integral de Cauchy" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Teorema de residuos en MathWorld