Experimento Cavendish

El experimento de Cavendish , realizado en 1797-1798 por el científico inglés Henry Cavendish , fue el primer experimento para medir la fuerza de gravedad entre masas en el laboratorio ^[1] y el primero en producir valores precisos para la constante gravitacional . ^{[2] [3]} Debido a las convenciones unitarias entonces en uso, la constante gravitacional no aparece explícitamente en el trabajo de Cavendish. En cambio, el resultado se expresó originalmente como la gravedad específica de la Tierra, ^[4] o, de manera equivalente, la masa de la Tierra. Su experimento dio los primeros valores precisos para estas constantes geofísicas.

El experimento fue ideado en algún momento antes de 1783 por el geólogo John Michell , ^{[5] [6]} quien construyó un aparato de equilibrio de torsión para él. Sin embargo, Michell murió en 1793 sin completar el trabajo. Después de su muerte, el aparato pasó a Francis John Hyde Wollaston y luego a Cavendish, quien reconstruyó el aparato pero se mantuvo cerca del plan original de Michell. Cavendish luego llevó a cabo una serie de mediciones con el equipo e informó de sus resultados en las Philosophical Transactions of the Royal Society en 1798. ^[7]

El experimento

El aparato construido por Cavendish era una balanza de torsión hecha de una varilla de madera de seis pies (1,8 m) suspendida horizontalmente de un alambre, con dos esferas de plomo de 2 pulgadas (51 mm) de diámetro de 1,61 libras (0,73 kg) , una conectada a cada final. Dos bolas de plomo de 12 pulgadas (300 mm) 348 libras (158 kg) se ubicaron cerca de las bolas más pequeñas, a unas 9 pulgadas (230 mm) de distancia, y se mantuvieron en su lugar con un sistema de suspensión separado. ^[8] El experimento midió la débil atracción gravitacional entre las bolas pequeñas y las más grandes.

Dibujo de sección vertical del instrumento de equilibrio de torsión de Cavendish, incluido el edificio en el que se encontraba. Las bolas grandes se colgaron de un marco para que pudieran girar a su posición junto a las bolas pequeñas mediante una polea desde el exterior. Figura 1 del artículo de Cavendish.

Detalle que muestra el brazo de equilibrio de torsión ( m ), la bola grande ( W ), la bola pequeña ( x ) y la caja de aislamiento ( ABCDE ).

Las dos bolas grandes se colocaron en lados alternos del brazo de madera horizontal de la balanza. Su mutua atracción por las bolitas hizo que el brazo girara, retorciendo el alambre que lo sostenía. El brazo dejó de girar cuando alcanzó un ángulo en el que la fuerza de torsión del cable equilibraba la fuerza de atracción gravitacional combinada entre las esferas de plomo grandes y pequeñas. Midiendo el ángulo de la varilla y conociendo la fuerza de torsión ( torque ) del alambre para un ángulo dado, Cavendish pudo determinar la fuerza entre los pares de masas. Dado que la fuerza gravitacional de la Tierra sobre la bola pequeña podía medirse directamente pesándola, la relación de las dos fuerzas permitió calcular la gravedad específica de la Tierra, utilizando la ley de gravitación de Newton .

Cavendish descubrió que la densidad de la Tierra era 5.448 ± 0.033 veces la del agua (debido a un simple error aritmético , encontrado en 1821 por Francis Baily , el valor erróneo5.480 ± 0.038 aparece en su artículo). ^{[9] [10]}

Para encontrar el coeficiente de torsión del alambre , la torsión ejercida por el alambre para un ángulo de torsión dado, Cavendish cronometró el período de oscilación natural de la barra de equilibrio mientras giraba lentamente en sentido horario y antihorario contra la torsión del alambre. El período fue de unos 20 minutos. El coeficiente de torsión podría calcularse a partir de esto y de la masa y dimensiones de la balanza. En realidad, la vara nunca estuvo en reposo; Cavendish tuvo que medir el ángulo de deflexión de la varilla mientras oscilaba. ^[11]

El equipo de Cavendish era notablemente sensible para su época. ^[9] La fuerza involucrada en torcer el equilibrio de torsión fue muy pequeña,1,74 × 10 ⁻⁷  N , ^[12] aproximadamente 1 ⁄ 50 000 000 del peso de las bolitas. ^[13] Para evitar que las corrientes de aire y los cambios de temperatura interfieran con las mediciones, Cavendish colocó todo el aparato en una caja de madera de aproximadamente 2 pies (0,61 m) de profundidad, 10 pies (3,0 m) de alto y 10 pies (3,0 m) de ancho. , todo en un galpón cerrado en su finca. A través de dos orificios en las paredes del cobertizo, Cavendish usó telescopios para observar el movimiento de la barra horizontal de la balanza de torsión. El movimiento de la varilla fue de solo 0,16 pulgadas (4,1 mm). ^[14] Cavendish fue capaz de medir esta pequeña deflexión con una precisión de mejor que 0,01 pulgadas (0,25 mm) utilizando escalas de nonio en los extremos de la varilla. ^[15] La precisión del resultado de Cavendish no se superó hasta el experimento de CV Boys en 1895. Con el tiempo, el equilibrio de torsión de Michell se convirtió en la técnica dominante para medir la constante gravitacional ( G ) y la mayoría de las mediciones contemporáneas todavía utilizan variaciones de la misma. ^[dieciséis]

El resultado de Cavendish también fue la primera evidencia de un núcleo planetario hecho de metal. El resultado de 5,4 g · cm ⁻³ está cerca del 80% de la densidad del hierro líquido y un 80% más alto que la densidad de la corteza exterior de la Tierra , lo que sugiere la existencia de un núcleo de hierro denso. ^[17]

Si Cavendish determinó G

La formulación de la gravedad newtoniana en términos de una constante gravitacional no se convirtió en estándar hasta mucho después de la época de Cavendish. De hecho, una de las primeras referencias a G es en 1873, 75 años después del trabajo de Cavendish. ^[18]

Cavendish expresó su resultado en términos de la densidad de la Tierra. Por esta razón, los historiadores de la ciencia han argumentado que Cavendish no midió la constante gravitacional. ^{[19] [20] [21] [22]} Se refirió a su experimento en correspondencia como "pesar el mundo". Autores posteriores reformularon sus resultados en términos modernos. ^{[23] [24] [25]}

${\displaystyle G=g{\frac {R_{\text{earth}}^{2}}{M_{\text{earth}}}}={\frac {3g}{4\pi R_{\text{earth}}\rho _{\text{earth}}}}\,}$

Después de convertir a unidades SI , el valor de Cavendish para la densidad de la Tierra, 5.448 g cm ⁻³ , da

G = 6,74 × 10 ⁻¹¹  m ³  kg ⁻¹  s ⁻² ,

que difiere solo en un 1% del valor CODATA de 2014 de6.674 08 × 10 ⁻¹¹  m ³  kg ⁻¹  s ⁻² . ^[26] Hoy en día, los físicos suelen utilizar unidades en las que la constante gravitacional toma una forma diferente. La constante gravitacional de Gauss utilizada en la dinámica espacial es una constante definida y el experimento de Cavendish puede considerarse como una medida de esta constante. En la época de Cavendish, los físicos usaban las mismas unidades para masa y peso, tomando g como aceleración estándar. Entonces, dado que se conocía R _tierra , ρ _tierra jugó el papel de una constante gravitacional inversa. La densidad de la Tierra era, por lo tanto, una cantidad muy solicitada en ese momento, y hubo intentos anteriores de medirla, como el experimento de Schiehallion en 1774.

Por estas razones, los físicos generalmente le dan crédito a Cavendish por la primera medición de la constante gravitacional. ^{[27] [28] [29] [30] [31]}

Derivación de G y masa terrestre

El siguiente no es el método que utilizó Cavendish, pero describe cómo los físicos modernos calcularían los resultados de su experimento. ^{[30] [32] [33]} Según la ley de Hooke , el par en el cable de torsión es proporcional al ángulo de deflexión θ de la balanza. El par es κθ donde κ es el coeficiente de torsión del alambre. Sin embargo, también se genera un par en dirección opuesta por la atracción gravitacional de las masas. Puede escribirse como un producto de las fuerzas de atracción entre las bolas y la distancia al cable de suspensión. Dado que hay dos pares de bolas, cada una experimenta la fuerza F a una distanciaL/2desde el eje de la balanza, el par es LF . En equilibrio (cuando el equilibrio se ha estabilizado en un ángulo θ ), la cantidad total de par debe ser cero, ya que estas dos fuentes de par se anulan. Por lo tanto, podemos equiparar sus intensidades dadas por las fórmulas anteriores, lo que da lo siguiente:

${\displaystyle \kappa \theta \ =LF\,}$

Para F , Newton 's la ley de la gravitación universal se utiliza para expresar la fuerza de atracción entre las bolas grandes y pequeñas:

Diagrama de equilibrio de torsión

${\displaystyle F={\frac {GmM}{r^{2}}}\,}$

Sustituyendo F en la primera ecuación anterior da

${\displaystyle \kappa \theta \ =L{\frac {GmM}{r^{2}}}\qquad \qquad \qquad (1)\,}$

Para encontrar el coeficiente de torsión ( κ ) del alambre, Cavendish midió el período de oscilación resonante natural T del balance de torsión:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{\kappa }}}}$

Suponiendo que la masa de la viga de torsión en sí es insignificante, el momento de inercia del equilibrio se debe solo a las bolas pequeñas:

${\displaystyle I=m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}+m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}=2m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}={\frac {mL^{2}}{2}}\,}$,

y entonces:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {mL^{2}}{2\kappa }}}\,}$

Resolviendo esto para κ , sustituyendo en (1) y reorganizando para G , el resultado es:

${\displaystyle G={\frac {2\pi ^{2}Lr^{2}\theta }{MT^{2}}}\,}$

Una vez que se ha encontrado G , la atracción de un objeto en la superficie de la Tierra hacia la Tierra misma puede usarse para calcular la masa y densidad de la Tierra :

${\displaystyle mg={\frac {GmM_{\rm {earth}}}{R_{\rm {earth}}^{2}}}\,}$

${\displaystyle M_{\rm {earth}}={\frac {gR_{\rm {earth}}^{2}}{G}}\,}$

${\displaystyle \rho _{\rm {earth}}={\frac {M_{\rm {earth}}}{{\tfrac {4}{3}}\pi R_{\rm {earth}}^{3}}}={\frac {3g}{4\pi R_{\rm {earth}}G}}\,}$

Definición de términos

Símbolo	Unidad	Definición
θ	radianes	Desviación de la barra de equilibrio de torsión desde su posición de reposo
F	norte	Fuerza gravitacional entre masas M y m
GRAMO	m 3 kg −1 s −2	Constante gravitacional
metro	kg	Masa de bola de plomo pequeña
METRO	kg	Masa de bola de plomo grande
r	metro	Distancia entre los centros de bolas grandes y pequeñas cuando se desvía el equilibrio
L	metro	Longitud de la barra de equilibrio de torsión entre centros de bolas pequeñas
κ	N m rad −1	Coeficiente de torsión del cable de suspensión
I	kg m 2	Momento de inercia de la barra de equilibrio de torsión
T	s	Período de oscilación del equilibrio de torsión
gramo	ms −2	Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra.
M tierra	kg	Masa de la Tierra
R tierra	metro	Radio de la Tierra
ρ tierra	kg m −3	Densidad de la Tierra

Referencias

1. Niños 1894 p. 355
2. Poynting, John Henry (1911). "Gravitación"  . En Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica . 12 (11ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 385.«El objetivo [de experimentos como el de Cavendish] puede considerarse como la determinación de la masa de la Tierra, ... expresado convenientemente ... como su" densidad media ", o como la determinación de la" constante de gravitación ", G '. El experimento de Cavendish se describe generalmente hoy como una medida de G ». (Clotfelter 1987 p. 210).
3. Muchas fuentes afirman incorrectamente que esta fue la primera medida de G (o la densidad de la Tierra); por ejemplo: Feynman, Richard P. (1963). "7. La teoría de la gravitación" . principalmente mecánica, radiación y calor . Las conferencias de Feynman sobre física. Volumen I. Pasadena, California: Instituto de Tecnología de California (publicado en 2013). 7-6 Experimento de Cavendish. ISBN 9780465025626. Consultado el 9 de diciembre de 2013 . Hubo mediciones anteriores, principalmente de Bouguer (1740) y Maskelyne (1774), pero eran muy inexactas ( Poynting 1894 ) ( Encyclopædia Britannica 1910 ).
4. Clotfelter 1987, p. 210
5. Jungnickel & McCormmach 1996 , p.336: Una carta de 1783 de Cavendish a Michell contiene "... la primera mención de pesar el mundo". No está claro si la "primera mención" se refiere a Cavendish o Michell.
6. Cavendish 1798 , p. 59 Cavendish le da todo el crédito a Michell por diseñar el experimento
7. Cavendish, H. 'Experimentos para determinar la densidad de la Tierra', Transacciones filosóficas de la Royal Society of London , (parte II) 88 p.469-526 (21 de junio de 1798), reimpreso en Cavendish 1798
8. Cavendish 1798 , p.59
9. Poynting 1894 , p.45
10. Chisholm, Hugh, ed. (1911). "Cavendish, Henry"  . Encyclopædia Britannica . 5 (11ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 580–581.
11. Cavendish 1798 , p.64
12. Boys 1894 p.357
13. Cavendish 1798 p. 60
14. Cavendish 1798 , p. 99, tabla de resultados, (graduaciones de escala = 1 ⁄ 20  pulg. ≈ 1.3 mm) La deflexión total mostrada en la mayoría de los ensayos fue el doble, ya que comparó la deflexión con bolas grandes en lados opuestos de la barra de equilibrio.
15. Cavendish 1798 , p.63
16. Jungnickel y McCormmach 1996 , p. 341
17. ver, por ejemplo, Hrvoje Tkalčić, The Earth's Inner Core , Cambridge University Press (2017), p. 2 .
18. Cornu, A .; Baille, JB (1873). "Determinación nouvelle de la constante de l'attraction et de la densité moyenne de la Terre" [Nueva Determinación de la Constante de Atracción y la Densidad Media de la Tierra]. CR Acad. Sci. (en francés). París. 76 : 954–958.
19. Clotfelter 1987
20. Jungnickel y McCormmach 1996 , p. 337
21. "Hodges 1999" . Archivado desde el original el 6 de septiembre de 2017 . Consultado el 7 de marzo de 2006 .
22. Lally 1999
23. Boys 1894 , p.330 En esta conferencia ante la Royal Society, Boys presenta G y aboga por su aceptación
24. Poynting 1894 , p.4
25. MacKenzie 1900 , p.vi
26. Lee, Jennifer Lauren (16 de noviembre de 2016). "Big G Redux: resolver el misterio de un resultado desconcertante" . NIST.
27. Halliday, David; Resnick, Robert (1993). Fundamentos de Física . John Wiley e hijos. pag. 418. ISBN 978-0-471-14731-2. Consultado el 30 de diciembre de 2013 . 'El aparato utilizado en 1798 por Henry Cavendish para medir la constante gravitacional'
28. Feynman, Richard P. (1963). Conferencias de Física, Vol . 1 . Addison-Wesley. págs. 6–7. ISBN 978-0-201-02116-5.'Cavendish afirmó que estaba pesando la Tierra, pero lo que estaba midiendo era el coeficiente G ...'
29. Feynman, Richard P. (1967). El carácter de la ley física . Prensa del MIT. págs.  28 . ISBN 978-0-262-56003-0."Cavendish pudo medir la fuerza, las dos masas y la distancia, y así determinar la constante gravitacional G ".
30. "Experimento Cavendish, demostraciones de conferencias de Harvard, Universidad de Harvard" . Consultado el 30 de diciembre de 2013 .. "[el equilibrio de torsión fue] ... modificado por Cavendish para medir G ".
31. Shectman, Jonathan (2003). Experimentos, inventos y descubrimientos innovadores del siglo XVIII . Greenwood. págs. xlvii. ISBN 978-0-313-32015-6. Consultado el 30 de diciembre de 2013 . 'Cavendish calcula la constante gravitacional, que a su vez le da la masa de la Tierra ...'
32. Poynting 1894 , p.41
33. Clotfelter 1987 p.212 explica el método de cálculo original de Cavendish

Fuentes

• Niños, C. Vernon (1894). "Sobre la constante newtoniana de la gravitación" . Naturaleza . 50 (1292): 330–4. Código bibliográfico : 1894Natur..50..330. . doi : 10.1038 / 050330a0 . Consultado el 30 de diciembre de 2013 .
• Cavendish, Henry (1798). "Experimentos para determinar la densidad de la Tierra" . Transacciones filosóficas de la Royal Society . 88 : 469–526. doi : 10.1098 / rstl.1798.0022 .
• Clotfelter, BE (1987). "El experimento de Cavendish como Cavendish lo conocía". Revista estadounidense de física . 55 (3): 210–213. Código bibliográfico : 1987AmJPh..55..210C . doi : 10.1119 / 1.15214 . Establece que Cavendish no determinó G.
• Falconer, Isobel (1999). "Henry Cavendish: el hombre y la medida". Ciencia y Tecnología de la Medición . 10 (6): 470–477. Código Bibliográfico : 1999MeScT..10..470F . doi : 10.1088 / 0957-0233 / 10/6/310 .
• "Gravitación constante y densidad media de la tierra" . Encyclopædia Britannica, 11ª ed . 12 . The Encyclopædia Britannica Co. 1910. págs. 385–389 . Consultado el 30 de diciembre de 2013 .
• Hodges, Laurent (1999). "El experimento de Michell-Cavendish, sitio web de la facultad, Universidad del Estado de Iowa" . Archivado desde el original el 6 de septiembre de 2017 . Consultado el 30 de diciembre de 2013 . Analiza las contribuciones de Michell y si Cavendish determinó que G.
• Lally, Sean P. (1999). "Henry Cavendish y la densidad de la Tierra". El profesor de física . 37 (1): 34–37. Código Bibliográfico : 1999PhTea..37 ... 34L . doi : 10.1119 / 1.880145 .
• Jungnickel, Christa ; McCormmach, Russell (1996). Cavendish . Filadelfia, Pensilvania: Sociedad Filosófica Estadounidense . ISBN 978-0-87169-220-7. Consultado el 30 de diciembre de 2013 .
• Poynting, John H. (1894). The Mean Density of the Earth: Un ensayo al que se adjudicó el premio Adams en 1893 . Londres: C. Griffin & Co . Consultado el 30 de diciembre de 2013 . Revisión de las medidas de gravedad desde 1740.

enlaces externos

• Medios relacionados con el experimento Cavendish en Wikimedia Commons

• El experimento de Cavendish en las Conferencias de Física Feynman
• Sideways Gravity in the Basement, The Citizen Scientist , 1 de julio de 2005 . Experimento casero de Cavendish, que muestra el cálculo de los resultados y las precauciones necesarias para eliminar los errores de viento y electrostáticos.
• "Big 'G'", Physics Central , recuperado el 8 de diciembre de 2013. Experimento en la Univ. de Washington para medir la constante gravitacional mediante la variación del método de Cavendish.
• Grupo Eöt-Wash, Univ. de Washington. "La controversia sobre la constante gravitacional de Newton" . Archivado desde el original el 4 de marzo de 2016 . Consultado el 8 de diciembre de 2013 .. Discute estado actual de las mediciones de G .
• Modelo del equilibrio de torsión de Cavendish , recuperado el 28 de agosto de 2007 en el Museo de Ciencias de Londres.