Los números poligonales centrados son una clase de series de números figurados , cada uno formado por un punto central, rodeado por capas poligonales con un número constante de lados. Cada lado de una capa poligonal contiene un punto más que un lado en la capa anterior, por lo que a partir de la segunda capa poligonal, cada capa de un número k -gonal centrado contiene k más puntos que la capa anterior.
Ejemplos de
Cada elemento de la secuencia es un múltiplo del número triangular anterior más 1. Esto se puede formalizar mediante la ecuacióndonde a es el número de lados del polígono y x es el número de secuencia, comenzando con cero para el 1. Por ejemplo, los números cuadrados centrados son cuatro veces los números triangulares más 1, o equivalentemente.
Estas series constan de
- números triangulares centrados 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, ... ( OEIS : A005448 )
- números cuadrados centrados 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, ... ( OEIS : A001844 )
- números pentagonales centrados 1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, ... ( OEIS : A005891 )
- números hexagonales centrados 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, ... ( OEIS : A003215 ), que son exactamente la diferencia de cubos consecutivos, es decir, x 3 - ( x - 1) 3
- números heptagonales centrados 1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316, 386, 463, ... ( OEIS : A069099 )
- números octogonales centrados 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, ... ( OEIS : A016754 ), que son exactamente los cuadrados impares
- números no gonales centrados 1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, ... ( OEIS : A060544 ), que incluyen todos los números perfectos pares excepto el 6
- números decagonales centrados 1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, 551, 661, ... ( OEIS : A062786 )
- números hendecagonales centrados 1, 12, 34, 67, 111, 166, 232, 309, 397, 496, 606, 727, ... ( OEIS : A069125 )
- números dodecagonales centrados 1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, 661, 793, ... ( OEIS : A003154 ), que también son los números de estrella
y así.
Los siguientes diagramas muestran algunos ejemplos de números poligonales centrados y su construcción geométrica. Compare estos diagramas con los diagramas en Número poligonal .
número triangular centrado | número cuadrado centrado | número pentagonal centrado | número hexagonal centrado |
---|---|---|---|
Números cuadrados centrados
1 | 5 | 13 | 25 | |||
---|---|---|---|---|---|---|
Números hexagonales centrados
1 | 7 | 19 | 37 | |||
---|---|---|---|---|---|---|
Fórmula
Como puede verse en los diagramas anteriores, el n- ésimo número k -gonal centrado se puede obtener colocando k copias del ( n- 1) -ésimo número triangular alrededor de un punto central; por lo tanto, el n- ésimo número k -gonal centrado se puede representar matemáticamente por
La diferencia entre el n -ésimo y el ( n +1) -ésimo número k -gonal centrado consecutivo es k (2 n +1).
El n - ésimo número k -gonal centrado es igual al n - ésimo número k -gonal regular más ( n -1) 2 .
Así como es el caso con los números poligonales regulares, la primera centrada k número -gonal es 1. Por lo tanto, para cualquier k , 1 es tanto k -gonal y centrado k -gonal. El siguiente número a ser a la vez k -gonal y centrado k -gonal se puede encontrar utilizando la fórmula:
lo que nos dice que 10 es triangular y triangular centrado, 25 es cuadrado y cuadrado centrado, etc.
Mientras que un número primo p no puede ser un número poligonal (excepto en el caso trivial, es decir, cada p es el segundo número p -gonal), muchos números poligonales centrados son primos. De hecho, si k ≥ 3, k ≠ 8, k ≠ 9, entonces hay infinitos números k -gonales centrados que son primos (asumiendo la conjetura de Bunyakovsky ). (Dado que todos los números octogonales centrados también son números cuadrados , y todos los números no gonales centrados también son números triangulares (y no iguales a 3), por lo tanto, ambos no pueden ser números primos)
Suma de recíprocos
La suma de los recíprocos para los números k -gonales centrados es [1]
- , si k ≠ 8
- , si k = 8
Referencias
- ^ números poligonales centrados en la wiki de OEIS, contenido "Tabla de fórmulas y valores relacionados"
- Neil Sloane y Simon Plouffe (1995).La enciclopedia de secuencias de enteros. San Diego: Prensa académica.: Figura M3826
- Weisstein, Eric W. "Número poligonal centrado" . MathWorld .
- F. Tapson (1999). Diccionario de estudios de matemáticas de Oxford (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 88–89. ISBN 0-19-914-567-9.