Número cuadrado centrado

En teoría numérica elemental , un número cuadrado centrado es un número figurado centrado que da el número de puntos en un cuadrado con un punto en el centro y todos los demás puntos que rodean el punto central en capas cuadradas sucesivas. Es decir, cada número cuadrado centrado es igual al número de puntos dentro de una distancia determinada de cuadra de la ciudad del punto central en una celosía cuadrada regular . Si bien los números cuadrados centrados, como los números figurados en general, tienen pocas o ninguna aplicación práctica directa, a veces se estudian en matemáticas recreativas por sus elegantes propiedades geométricas y aritméticas.

El número cuadrado centrado se encuentra en el centro del número triangular

Las cifras de los primeros cuatro números cuadrados centrados se muestran a continuación:

${\displaystyle C_{4,1}=1}$		${\displaystyle C_{4,2}=5}$		${\displaystyle C_{4,3}=13}$		${\displaystyle C_{4,4}=25}$

Relaciones con otros números figurados

El n- ésimo número cuadrado centrado, C _{4, n} (donde C _{m , n} generalmente representa el n- ésimo número m -gonal centrado ), viene dado por la fórmula

${\displaystyle C_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}.\,}$

En otras palabras, un número cuadrado centrado es la suma de dos números cuadrados consecutivos . El siguiente patrón demuestra esta fórmula:

${\displaystyle C_{4,1}=0+1}$		${\displaystyle C_{4,2}=1+4}$		${\displaystyle C_{4,3}=4+9}$		${\displaystyle C_{4,4}=9+16}$

La fórmula también se puede expresar como

${\displaystyle C_{4,n}={\frac {(2n-1)^{2}+1}{2}};}$

es decir, el n- ésimo número cuadrado centrado es la mitad del n- ésimo número cuadrado impar más uno, como se ilustra a continuación:

${\displaystyle C_{4,1}={\frac {1+1}{2}}}$		${\displaystyle C_{4,2}={\frac {9+1}{2}}}$		${\displaystyle C_{4,3}={\frac {25+1}{2}}}$		${\displaystyle C_{4,4}={\frac {49+1}{2}}}$

Como todos los números poligonales centrados , los números cuadrados centrados también se pueden expresar en términos de números triangulares :

${\displaystyle C_{4,n}=1+4\,T_{n-1},\,}$

dónde

${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n^{2}+n}{2}}={\binom {n+1}{2}}}$

es el n- ésimo número triangular. Esto se puede ver fácilmente quitando el punto central y dividiendo el resto de la figura en cuatro triángulos, como se muestra a continuación:

${\displaystyle C_{4,1}=1}$		${\displaystyle C_{4,2}=1+4\times 1}$		${\displaystyle C_{4,3}=1+4\times 3}$		${\displaystyle C_{4,4}=1+4\times 6.}$

La diferencia entre dos números octaédricos consecutivos es un número cuadrado centrado (Conway y Guy, p.50).

Propiedades

Los primeros números cuadrados centrados son:

1 , 5 , 13 , 25 , 41 , 61 , 85 , 113 , 145 , 181 , 221 , 265, 313 , 365 , 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325,… (secuencia A001844 en el OEIS ).

Todos los números cuadrados centrados son impares, y en base 10 uno puede notar que los dígitos de uno siguen el patrón 1-5-3-5-1.

Todos los números cuadrados centrados y sus divisores tienen un resto de uno cuando se dividen por cuatro. Por lo tanto, todos los números cuadrados centrados y sus divisores terminan con los dígitos 1 o 5 en la base 6 , 8 o 12 .

Cada centrado número cuadrado excepto 1 es la hipotenusa de un Pitágoras triples (por ejemplo, 3-4- 5 , 5-12- 13 , 7-24- 25 ). Esta es exactamente la secuencia de triples pitagóricas donde los dos lados más largos difieren en 1.

Referencias

• Alfred, U. (1962), " n y n + 1 números enteros consecutivos con sumas iguales de cuadrados", Revista de matemáticas , 35 (3): 155-164, JSTOR  2688938 , MR  1571197.
• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929 , Zbl  0.335,10001.
• Beiler, AH (1964), Recreaciones en la teoría de los números , Nueva York: Dover, p. 125.
• Conway, John H .; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers , Nueva York: Copernicus, págs.  41–42 , ISBN 0-387-97993-X, Señor  1411676.