Teoría del caos

Para otros usos, consulte Teoría del caos (desambiguación) y Caos (desambiguación) .

Campo de las matemáticas

Una gráfica del atractor de Lorenz para valores r = 28 , σ = 10 , b = 8/3

Una animación de un péndulo de doble varilla a una energía intermedia que muestra un comportamiento caótico. Iniciar el péndulo desde una condición inicial ligeramente diferente daría como resultado una trayectoria muy diferente . El péndulo de doble varilla es uno de los sistemas dinámicos más simples con soluciones caóticas.

La teoría del caos es una rama de las matemáticas que se centra en el estudio del caos : sistemas dinámicos cuyos estados aparentemente aleatorios de desorden e irregularidades en realidad se rigen por patrones subyacentes y leyes deterministas que son muy sensibles a las condiciones iniciales . ^{[1] [2]} La teoría del caos es una teoría interdisciplinaria que afirma que, dentro de la aparente aleatoriedad de los sistemas complejos caóticos , existen patrones subyacentes, interconexiones, ciclos de retroalimentación constante , repetición, auto-semejanza , fractales y autoorganización . ^[3]El efecto mariposa , un principio subyacente del caos, describe cómo un pequeño cambio en un estado de un sistema determinista no lineal puede resultar en grandes diferencias en un estado posterior (lo que significa que existe una dependencia sensible de las condiciones iniciales). ^[4] Una metáfora de este comportamiento es que una mariposa batiendo sus alas en Texas puede causar un huracán en China . ^[5]

Pequeñas diferencias en las condiciones iniciales, como las debidas a errores en las mediciones o debido a errores de redondeo en el cálculo numérico, pueden producir resultados muy divergentes para tales sistemas dinámicos, haciendo que la predicción a largo plazo de su comportamiento sea imposible en general. ^[6] Esto puede suceder a pesar de que estos sistemas son deterministas , lo que significa que su comportamiento futuro sigue una evolución única ^[7] y está completamente determinado por sus condiciones iniciales, sin elementos aleatorios involucrados. ^[8] En otras palabras, la naturaleza determinista de estos sistemas no los hace predecibles. ^{[9] [10]} Este comportamiento se conoce como caos determinista , o simplementecaos . Edward Lorenz resumió la teoría como: ^[11]

Caos: Cuando el presente determina el futuro, pero el presente aproximado no determina aproximadamente el futuro.

El comportamiento caótico existe en muchos sistemas naturales, incluido el flujo de fluidos, irregularidades en los latidos del corazón, el tiempo y el clima . ^{[12] [13] [7]} También ocurre de manera espontánea en algunos sistemas con componentes artificiales, como la bolsa de valores y el tráfico rodado . ^{[14] [3]} Este comportamiento se puede estudiar mediante el análisis de un modelo matemático caótico , o mediante técnicas analíticas como gráficos de recurrencia y mapas de Poincaré . La teoría del caos tiene aplicaciones en una variedad de disciplinas, incluida la meteorología , ^[7] antropología , ^[15] sociología , física , ^[16] ciencias ambientales , informática , ingeniería , economía , biología , ecología , gestión de crisis pandémicas , ^{[17] [18]} y filosofía . La teoría formó la base para campos de estudio como los sistemas dinámicos complejos , la teoría del borde del caos y los procesos de autoensamblaje .

Introducción

La teoría del caos se refiere a sistemas deterministas cuyo comportamiento, en principio, puede predecirse. Los sistemas caóticos son predecibles por un tiempo y luego "parecen" volverse aleatorios. La cantidad de tiempo que se puede predecir de manera efectiva el comportamiento de un sistema caótico depende de tres cosas: cuánta incertidumbre se puede tolerar en el pronóstico, con qué precisión se puede medir su estado actual y una escala de tiempo que depende de la dinámica del sistema. , llamado el tiempo de Lyapunov . Algunos ejemplos de tiempos de Lyapunov son: circuitos eléctricos caóticos, alrededor de 1 milisegundo; sistemas meteorológicos, unos pocos días (no comprobados); el sistema solar interior, de 4 a 5 millones de años. ^[19] En sistemas caóticos, la incertidumbre en un pronóstico aumenta exponencialmentecon el tiempo transcurrido. Por lo tanto, matemáticamente, duplicar el tiempo de pronóstico más que cuadra la incertidumbre proporcional en el pronóstico. Esto significa que, en la práctica, no se puede hacer una predicción significativa en un intervalo de más de dos o tres veces el tiempo de Lyapunov. Cuando no se pueden hacer predicciones significativas, el sistema parece aleatorio. ^[20]

Dinámica caótica

El mapa definido por x → 4 x (1 - x ) e y → ( x + y) mod 1 muestra la sensibilidad a las posiciones x iniciales. Aquí, dos series de X y Y los valores divergen notablemente con el tiempo a partir de una pequeña diferencia inicial.

En el uso común, "caos" significa "un estado de desorden". ^{[21] [22]} Sin embargo, en la teoría del caos, el término se define con mayor precisión. Aunque no existe una definición matemática universalmente aceptada de caos, una definición comúnmente utilizada, originalmente formulada por Robert L. Devaney , dice que para clasificar un sistema dinámico como caótico, debe tener estas propiedades: ^[23]

1. debe ser sensible a las condiciones iniciales ,
2. debe ser topológicamente transitivo ,
3. debe tener densas órbitas periódicas .

En algunos casos, se ha demostrado que las dos últimas propiedades anteriores implican realmente sensibilidad a las condiciones iniciales. ^{[24] [25]} En el caso de tiempo discreto, esto es cierto para todos los mapas continuos en espacios métricos. ^[26] En estos casos, aunque a menudo es la propiedad más significativa en la práctica, no es necesario que en la definición se indique "sensibilidad a las condiciones iniciales".

Si la atención se limita a los intervalos , la segunda propiedad implica las otras dos. ^[27] Una definición alternativa y generalmente más débil de caos usa solo las dos primeras propiedades en la lista anterior. ^[28]

El caos como una ruptura espontánea de la supersimetría topológica

Artículo principal: teoría supersimétrica de la dinámica estocástica

En los sistemas dinámicos de tiempo continuo, el caos es el fenómeno de la ruptura espontánea de la supersimetría topológica, que es una propiedad intrínseca de los operadores de evolución de todas las ecuaciones diferenciales estocásticas y deterministas (parciales). ^{[29] [30]} Esta imagen de caos dinámico funciona no solo para modelos deterministas, sino también para modelos con ruido externo, lo cual es una generalización importante desde el punto de vista físico, ya que en realidad, todos los sistemas dinámicos experimentan la influencia de sus entornos estocásticos. . Dentro de esta imagen, el comportamiento dinámico de largo alcance asociado con la dinámica caótica (por ejemplo, el efecto mariposa ) es una consecuencia del teorema de Goldstone—En la aplicación a la ruptura espontánea de la supersimetría topológica.

Sensibilidad a las condiciones iniciales

Artículo principal: efecto mariposa

Ecuaciones de Lorenz utilizadas para generar gráficos para la variable y. Las condiciones iniciales para x y z se mantuvieron el mismo, pero las de y se cambiaron entre 1,001 , 1,0001 y 1,00001 . Los valores para , y fueron 45,92 , 16 y 4 respectivamente. Como puede verse en el gráfico, incluso la más mínima diferencia en los valores iniciales provoca cambios significativos después de unos 12 segundos de evolución en los tres casos. Este es un ejemplo de dependencia sensible de las condiciones iniciales.${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \beta }$

La sensibilidad a las condiciones iniciales significa que cada punto de un sistema caótico se aproxima de manera arbitraria y cercana por otros puntos que tienen trayectorias o trayectorias futuras significativamente diferentes. Por lo tanto, un cambio o perturbación arbitrariamente pequeño de la trayectoria actual puede conducir a un comportamiento futuro significativamente diferente. ^[3]

La sensibilidad a las condiciones iniciales se conoce popularmente como el " efecto mariposa ", así llamado por el título de un artículo entregado por Edward Lorenz en 1972 a la Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia en Washington, DC, titulado Predictability: Does the Flap de las alas de una mariposa en Brasil provocó un tornado en Texas? . ^[31] El aleteo del ala representa un pequeño cambio en la condición inicial del sistema, lo que provoca una cadena de eventos que impide la previsibilidad de fenómenos a gran escala. Si la mariposa no hubiera batido sus alas, la trayectoria del sistema en general podría haber sido muy diferente.

Una consecuencia de la sensibilidad a las condiciones iniciales es que si comenzamos con una cantidad limitada de información sobre el sistema (como suele ser el caso en la práctica), después de cierto tiempo, el sistema ya no sería predecible. Esto es más frecuente en el caso del clima, que generalmente es predecible solo con una semana de anticipación. ^[32] Esto no significa que uno no pueda afirmar nada sobre eventos lejanos en el futuro, solo que algunas restricciones en el sistema están presentes. Por ejemplo, sabemos con el tiempo que la temperatura no alcanzará naturalmente los 100 ° C ni descenderá a -130 ° C en la Tierra (durante la era geológica actual ), pero eso no significa que podamos predecir exactamente qué día tendrá el temperatura más caliente del año.

En términos más matemáticos, el exponente de Lyapunov mide la sensibilidad a las condiciones iniciales, en forma de tasa de divergencia exponencial de las condiciones iniciales perturbadas. ^[33] Más específicamente, dadas dos trayectorias iniciales en el espacio de fase que están infinitesimalmente cercanas, con separación inicial , las dos trayectorias terminan divergiendo a una tasa dada por${\displaystyle \delta \mathbf {Z} _{0}}$

${\displaystyle |\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|,}$

donde es el tiempo y es el exponente de Lyapunov. La tasa de separación depende de la orientación del vector de separación inicial, por lo que puede existir un espectro completo de exponentes de Lyapunov. El número de exponentes de Lyapunov es igual al número de dimensiones del espacio de fase, aunque es común referirse simplemente al más grande. Por ejemplo, el máximo exponente de Lyapunov (MLE) se usa con mayor frecuencia, porque determina la predictibilidad general del sistema. Un MLE positivo generalmente se toma como una indicación de que el sistema es caótico. ^[7]${\displaystyle t}$${\displaystyle \lambda }$

Además de la propiedad anterior, también existen otras propiedades relacionadas con la sensibilidad de las condiciones iniciales. Estos incluyen, por ejemplo, medida teórica de mezcla (como se discute en ergódico teoría) y las propiedades de un sistema-K . ^[10]

No periodicidad

Un sistema caótico puede tener secuencias de valores para la variable en evolución que se repiten exactamente, dando un comportamiento periódico a partir de cualquier punto de esa secuencia. Sin embargo, estas secuencias periódicas repelen más que atraen, lo que significa que si la variable en evolución está fuera de la secuencia, por muy cercana que sea, no entrará en la secuencia y, de hecho, se apartará de ella. Así, para casi todas las condiciones iniciales, la variable evoluciona caóticamente con un comportamiento no periódico.

Mezcla topológica

Seis iteraciones de un conjunto de estados pasaron por el mapa logístico. La primera iteración (azul) es la condición inicial, que esencialmente forma un círculo. La animación muestra la primera a la sexta iteración de las condiciones iniciales circulares. Se puede ver que la mezcla ocurre a medida que avanzamos en las iteraciones. La sexta iteración muestra que los puntos están casi completamente dispersos en el espacio de fase. Si hubiéramos progresado más en las iteraciones, la mezcla habría sido homogénea e irreversible. El mapa logístico tiene ecuación . Para expandir el espacio de estados del mapa logístico en dos dimensiones , se creó un segundo estado, como , si y de otra manera.${\displaystyle [x,y]}$${\displaystyle x_{k+1}=4x_{k}(1-x_{k})}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y_{k+1}=x_{k}+y_{k}}$${\displaystyle x_{k}+y_{k}<1}$${\displaystyle y_{k+1}=x_{k}+y_{k}-1}$

El mapa definido por x → 4 x (1 - x ) e y → ( x + y) mod 1 también muestra la mezcla topológica . Aquí, la región azul es transformada por la dinámica primero en la región púrpura, luego en las regiones rosa y roja y, finalmente, en una nube de líneas verticales esparcidas por el espacio.

La mezcla topológica (o la condición más débil de la transitividad topológica) significa que el sistema evoluciona con el tiempo de manera que cualquier región dada o conjunto abierto de su espacio de fase eventualmente se superpone con cualquier otra región dada. Este concepto matemático de "mezclar" corresponde a la intuición estándar, y la mezcla de tintes o fluidos de colores es un ejemplo de un sistema caótico.

La mezcla topológica a menudo se omite en los relatos populares del caos, que equiparan el caos con solo la sensibilidad a las condiciones iniciales. Sin embargo, la dependencia sensible de las condiciones iniciales por sí sola no produce caos. Por ejemplo, considere el sistema dinámico simple que se produce al duplicar repetidamente un valor inicial. Este sistema tiene una dependencia sensible de las condiciones iniciales en todas partes, ya que cualquier par de puntos cercanos eventualmente se separa ampliamente. Sin embargo, este ejemplo no tiene mezcla topológica y, por lo tanto, no tiene caos. De hecho, tiene un comportamiento extremadamente simple: todos los puntos excepto 0 tienden a infinito positivo o negativo.

Transitividad topológica

Se dice que un mapa es topológicamente transitivo si para cualquier par de conjuntos abiertos existe tal que . La transitividad topológica es una versión más débil de la mezcla topológica . Intuitivamente, si un mapa es topológicamente transitivo entonces da un punto x y una región V , existe un punto y cerca de x cuya órbita pasa a través de V . Esto implica que es imposible descomponer el sistema en dos conjuntos abiertos. ^[34]${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle U,V\subset X}$${\displaystyle k>0}$${\displaystyle f^{k}(U)\cap V\neq \emptyset }$

Un teorema relacionado importante es el teorema de la transitividad de Birkhoff. Es fácil ver que la existencia de una órbita densa implica una transitividad topológica. El Teorema de la Transitividad de Birkhoff establece que si X es un segundo espacio métrico completo contable , entonces la transitividad topológica implica la existencia de un conjunto denso de puntos en X que tienen órbitas densas. ^[35]

Densidad de órbitas periódicas

El hecho de que un sistema caótico tenga órbitas periódicas densas significa que cada punto del espacio se aproxima de forma arbitraria y cercana mediante órbitas periódicas. ^[34] El mapa logístico unidimensional definido por x → 4 x (1 - x ) es uno de los sistemas más simples con densidad de órbitas periódicas. Por ejemplo,  →  → (o aproximadamente 0.3454915 → 0.9045085 → 0.3454915) es una órbita (inestable) del período 2, y existen órbitas similares para los períodos 4, 8, 16, etc. (de hecho, para todos los períodos especificados por el teorema de Sharkovskii ) . ^[36]${\displaystyle {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}$${\displaystyle {\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}}$${\displaystyle {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}$

El teorema de Sharkovskii es la base de la prueba de Li y Yorke ^[37] (1975) de que cualquier sistema unidimensional continuo que exhiba un ciclo regular de período tres también mostrará ciclos regulares de cada dos longitudes, así como órbitas completamente caóticas.

Atractores extraños

El atractor de Lorenz muestra un comportamiento caótico. Estos dos gráficos demuestran una dependencia sensible de las condiciones iniciales dentro de la región del espacio de fase ocupada por el atractor.

Algunos sistemas dinámicos, como el mapa logístico unidimensional definido por x → 4 x (1 - x ), son caóticos en todas partes, pero en muchos casos el comportamiento caótico se encuentra solo en un subconjunto del espacio de fase. Los casos de mayor interés surgen cuando el comportamiento caótico tiene lugar en un atractor , ya que entonces un gran conjunto de condiciones iniciales conduce a órbitas que convergen a esta región caótica. ^[38]

Una manera fácil de visualizar un atractor caótico es comenzar con un punto en la cuenca de atracción del atractor y luego simplemente trazar su órbita posterior. Debido a la condición de transitividad topológica, es probable que esto produzca una imagen de todo el atractor final y, de hecho, ambas órbitas que se muestran en la figura de la derecha dan una imagen de la forma general del atractor de Lorenz. Este atractor resulta de un modelo tridimensional simple del sistema meteorológico de Lorenz . El atractor de Lorenz es quizás uno de los diagramas de sistemas caóticos más conocidos, probablemente porque no solo es uno de los primeros, sino que también es uno de los más complejos, y como tal da lugar a un patrón muy interesante que, con un poca imaginación, parece las alas de una mariposa.

A diferencia de los atractores de punto fijo y los ciclos límite , los atractores que surgen de los sistemas caóticos, conocidos como atractores extraños , tienen gran detalle y complejidad. Los atractores extraños ocurren tanto en sistemas dinámicos continuos (como el sistema de Lorenz) como en algunos sistemas discretos (como el mapa de Hénon ). Otros sistemas dinámicos discretos tienen una estructura repelente llamada conjunto de Julia , que se forma en el límite entre cuencas de atracción de puntos fijos. Los sets de Julia pueden considerarse extraños repelentes. Tanto los atractores extraños como los conjuntos de Julia suelen tener una estructura fractal , y la dimensión fractal se puede calcular para ellos.

Complejidad mínima de un sistema caótico

Diagrama de bifurcación del mapa logístico x → r x (1 - x ). Cada corte vertical muestra el atractor para un valor específico de r . El diagrama muestra la duplicación del período a medida que aumenta r , lo que eventualmente produce caos.

Los sistemas caóticos discretos, como el mapa logístico, pueden exhibir atractores extraños cualquiera que sea su dimensionalidad . La universalidad de los mapas unidimensionales con máximos parabólicos y constantes de Feigenbaum , ^{[39] [40]} es bien visible con el mapa propuesto como un modelo de juguete para la dinámica de láser discreta:, donde representa la amplitud del campo eléctrico, ^[41] es la ganancia del láser como bifurcación parámetro. El aumento gradual de un intervalo cambia la dinámica de regular a caótica ^[42] con cualitativamente el mismo diagrama de bifurcación que los del mapa logístico .${\displaystyle \delta =4.664201...}$${\displaystyle \alpha =2.502907...}$${\displaystyle x\rightarrow Gx(1-\mathrm {tanh} (x))}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle [0,\infty )}$

Por el contrario, para los sistemas dinámicos continuos , el teorema de Poincaré-Bendixson muestra que un atractor extraño solo puede surgir en tres o más dimensiones. Los sistemas lineales de dimensión finita nunca son caóticos; para que un sistema dinámico muestre un comportamiento caótico, debe ser no lineal o de dimensión infinita.

El teorema de Poincaré-Bendixson establece que una ecuación diferencial bidimensional tiene un comportamiento muy regular. El atractor de Lorenz que se analiza a continuación se genera mediante un sistema de tres ecuaciones diferenciales como:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma y-\sigma x,\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=\rho x-xz-y,\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}}$

donde , y recuperar el estado del sistema , es el tiempo, y , , son los sistemas de parámetros . Cinco de los términos del lado derecho son lineales, mientras que dos son cuadráticos; un total de siete términos. Otro atractor caótico conocido es el generado por las ecuaciones de Rössler , que tienen solo un término no lineal de siete. Sprott ^[43] encontró un sistema tridimensional con solo cinco términos, que tenía solo un término no lineal, que exhibe caos para ciertos valores de parámetros. Zhang y Heidel ^{[44] [45]}${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \beta }$mostró que, al menos para los sistemas cuadráticos disipativos y conservadores, los sistemas cuadráticos tridimensionales con solo tres o cuatro términos en el lado derecho no pueden exhibir un comportamiento caótico. La razón es, en pocas palabras, que las soluciones para tales sistemas son asintóticas a una superficie bidimensional y, por lo tanto, las soluciones se comportan bien.

Mientras que el teorema de Poincaré-Bendixson muestra que un sistema dinámico continuo en el plano euclidiano no puede ser caótico, los sistemas continuos bidimensionales con geometría no euclidiana pueden exhibir un comportamiento caótico. ^{[46] [ fuente autoeditada? ]} Quizás sorprendentemente, el caos puede ocurrir también en sistemas lineales, siempre que sean de dimensión infinita. ^[47] Se está desarrollando una teoría del caos lineal en una rama del análisis matemático conocida como análisis funcional .

Mapas de dimensiones infinitas

La generalización directa de mapas discretos acoplados ^[48] se basa en la integral de convolución que media en la interacción entre los mapas distribuidos espacialmente: ,${\displaystyle \psi _{n+1}({\vec {r}},t)=\int K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)f[\psi _{n}({\vec {r}}^{,},t)]d{\vec {r}}^{,}}$

donde el kernel es un propagador derivado como una función verde de un sistema físico relevante, ^[49] podría ser un mapa logístico similar o un mapa complejo . Para ejemplos de mapas complejos, el conjunto de Julia o el mapa de Ikeda pueden servir. Cuando se consideran los problemas de propagación de ondas a distancia con la longitud de onda , el núcleo puede tener una forma de función de Green para la ecuación de Schrödinger :. ^{[50] [51]}${\displaystyle K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)}$ ${\displaystyle f[\psi _{n}({\vec {r}},t)]}$${\displaystyle \psi \rightarrow G\psi [1-\tanh(\psi )]}$ ${\displaystyle f[\psi ]=\psi ^{2}}$ ${\displaystyle \psi _{n+1}=A+B\psi _{n}e^{i(|\psi _{n}|^{2}+C)}}$${\displaystyle L=ct}$${\displaystyle \lambda =2\pi /k}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},L)={\frac {ik\exp[ikL]}{2\pi L}}\exp[{\frac {ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{,}|^{2}}{2L}}]}$.

Jerk systems

En física , el tirón es la tercera derivada de la posición , con respecto al tiempo. Como tal, las ecuaciones diferenciales de la forma

${\displaystyle J\left({\overset {...}{x}},{\ddot {x}},{\dot {x}},x\right)=0}$

a veces se denominan ecuaciones Jerk . Se ha demostrado que una ecuación jerk, que es equivalente a un sistema de tres ecuaciones diferenciales no lineales ordinarias de primer orden, es en cierto sentido la configuración mínima para las soluciones que muestran un comportamiento caótico. Esto motiva el interés matemático en los sistemas jerk. Los sistemas que implican una derivada cuarta o superior se denominan en consecuencia sistemas de hiperinterrupción. ^[52]

El comportamiento de un sistema jerk se describe mediante una ecuación jerk, y para ciertas ecuaciones jerk, los circuitos electrónicos simples pueden modelar soluciones. Estos circuitos se conocen como circuitos jerk.

Una de las propiedades más interesantes de los circuitos jerk es la posibilidad de un comportamiento caótico. De hecho, ciertos sistemas caóticos bien conocidos, como el atractor de Lorenz y el mapa de Rössler , se describen convencionalmente como un sistema de tres ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden combinar en una sola (aunque bastante complicada) ecuación jerk. Los sistemas jerk no lineales son, en cierto sentido, sistemas mínimamente complejos para mostrar un comportamiento caótico; No existe un sistema caótico que involucre solo dos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (el sistema resulta en una ecuación de solo segundo orden).

Un ejemplo de una ecuación jerk con no linealidad en la magnitud de es:${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{3}x}{\mathrm {d} t^{3}}}+A{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}-|x|+1=0.}$

Aquí, A es un parámetro ajustable. Esta ecuación tiene una solución caótica para A = 3/5 y se puede implementar con el siguiente circuito jerk; la no linealidad requerida es provocada por los dos diodos:

En el circuito anterior, todas las resistencias tienen el mismo valor, excepto , y todos los condensadores son del mismo tamaño. La frecuencia dominante es . La salida del amplificador operacional 0 corresponderá a la variable x, la salida de 1 corresponde a la primera derivada de x y la salida de 2 corresponde a la segunda derivada.${\displaystyle R_{A}=R/A=5R/3}$${\displaystyle 1/2\pi RC}$

Los circuitos similares solo requieren un diodo ^[53] o ningún diodo. ^[54]

Véase también el conocido circuito de Chua , una de las bases de los caóticos generadores de números aleatorios verdaderos. ^[55] La facilidad de construcción del circuito lo ha convertido en un ejemplo omnipresente del mundo real de un sistema caótico.

Orden espontáneo

En las condiciones adecuadas, el caos se convierte espontáneamente en un patrón de pasos. En el modelo de Kuramoto , cuatro condiciones son suficientes para producir sincronización en un sistema caótico. Los ejemplos incluyen la oscilación acoplada de péndulos, luciérnagas, neuronas de Christiaan Huygens , la resonancia del Puente del Milenio de Londres y grandes conjuntos de uniones de Josephson . ^[56]

Historia

Helecho de Barnsley creado usando el juego del caos . Las formas naturales (helechos, nubes, montañas, etc.) pueden recrearse a través de un sistema de funciones iteradas (IFS).

Uno de los primeros defensores de la teoría del caos fue Henri Poincaré . En la década de 1880, mientras estudiaba el problema de los tres cuerpos , descubrió que puede haber órbitas que no sean periódicas y, sin embargo, no aumenten ni se acerquen a un punto fijo para siempre. ^{[57] [58] [59]} En 1898, Jacques Hadamard publicó un influyente estudio del movimiento caótico de una partícula libre que se desliza sin fricción sobre una superficie de curvatura negativa constante, llamada " billar de Hadamard ". ^[60] Hadamard pudo demostrar que todas las trayectorias son inestables, en el sentido de que todas las trayectorias de partículas divergen exponencialmente entre sí, con un exponente de Lyapunov positivo .

La teoría del caos se inició en el campo de la teoría ergódica . Estudios posteriores, también sobre el tema de las ecuaciones diferenciales no lineales , fueron realizados por George David Birkhoff , ^[61] Andrey Nikolaevich Kolmogorov , ^{[62] [63] [64]} Mary Lucy Cartwright y John Edensor Littlewood , ^[65] y Stephen Smale . ^[66] A excepción de Smale, todos estos estudios se inspiraron directamente en la física: el problema de los tres cuerpos en el caso de Birkhoff, la turbulencia y los problemas astronómicos en el caso de Kolmogorov y la ingeniería de radio en el caso de Cartwright y Littlewood. ^{[[cita requerida ]}Aunque no se había observado un movimiento planetario caótico, los experimentadores habían encontrado turbulencias en el movimiento de fluidos y oscilaciones no periódicas en circuitos de radio sin el beneficio de una teoría para explicar lo que estaban viendo.

A pesar de los conocimientos iniciales en la primera mitad del siglo XX, la teoría del caos se formalizó como tal sólo después de mediados de siglo, cuando algunos científicos se hicieron evidentes por primera vez que la teoría lineal , la teoría de sistemas predominante en ese momento, simplemente no podía explicar la situación observada. comportamiento de ciertos experimentos como el del mapa logístico . Lo que se había atribuido a la imprecisión de la medición y al simple " ruido " fue considerado por los teóricos del caos como un componente completo de los sistemas estudiados.

El principal catalizador para el desarrollo de la teoría del caos fue la computadora electrónica. Gran parte de las matemáticas de la teoría del caos implica la repetición repetida de fórmulas matemáticas simples, lo que sería poco práctico de hacer a mano. Las computadoras electrónicas hicieron prácticos estos cálculos repetidos, mientras que las figuras y las imágenes permitieron visualizar estos sistemas. Como estudiante de posgrado en el laboratorio de Chihiro Hayashi en la Universidad de Kyoto, Yoshisuke Ueda estaba experimentando con computadoras analógicas y notó, el 27 de noviembre de 1961, lo que llamó "fenómenos de transición aleatoria". Sin embargo, su asesor no estuvo de acuerdo con sus conclusiones en ese momento y no le permitió informar sobre sus hallazgos hasta 1970. ^{[67] [68]}

Turbulencia en el vórtice de la punta del ala de un avión . Los estudios del punto crítico más allá del cual un sistema crea turbulencias fueron importantes para la teoría del caos, analizados por ejemplo por el físico soviético Lev Landau , quien desarrolló la teoría de la turbulencia de Landau-Hopf . David Ruelle y Floris Takens predijeron más tarde, contra Landau, que la turbulencia fluida podría desarrollarse a través de un atractor extraño , un concepto principal de la teoría del caos.

Edward Lorenz fue uno de los pioneros de la teoría. Su interés en el caos surgió accidentalmente a través de su trabajo en la predicción del tiempo en 1961. ^[12] Lorenz estaba usando una computadora digital simple, una Royal McBee LGP-30., para ejecutar su simulación meteorológica. Quería volver a ver una secuencia de datos y, para ahorrar tiempo, inició la simulación en medio de su curso. Lo hizo ingresando una copia impresa de los datos que correspondían a las condiciones en el medio de la simulación original. Para su sorpresa, el clima que la máquina comenzó a predecir era completamente diferente al cálculo anterior. Lorenz rastreó esto hasta la impresión de la computadora. La computadora funcionó con precisión de 6 dígitos, pero la impresión redondeó las variables a un número de 3 dígitos, por lo que un valor como 0.506127 se imprimió como 0.506. Esta diferencia es mínima, y ​​el consenso en ese momento habría sido que no debería tener ningún efecto práctico. Sin embargo, Lorenz descubrió que pequeños cambios en las condiciones iniciales producían grandes cambios en el resultado a largo plazo. ^[69]El descubrimiento de Lorenz, que dio su nombre a los atractores de Lorenz , mostró que incluso el modelado atmosférico detallado no puede, en general, realizar predicciones meteorológicas precisas a largo plazo.

En 1963, Benoit Mandelbrot encontró patrones recurrentes en todas las escalas en los datos sobre los precios del algodón. ^{[70] De} antemano había estudiado la teoría de la información y concluyó que el ruido estaba estructurado como un conjunto de Cantor : en cualquier escala, la proporción de períodos que contienen ruido con respecto a los períodos libres de errores era una constante; por lo tanto, los errores eran inevitables y deben planificarse incorporando redundancia. . ^[71] Mandelbrot describió tanto el "efecto Noé" (en el que pueden ocurrir cambios discontinuos repentinos) como el "efecto Joseph" (en el que la persistencia de un valor puede ocurrir por un tiempo, pero luego cambiar repentinamente). ^{[72] [73]} Esto cuestionó la idea de que los cambios en el precio se distribuían normalmente. En 1967, publicó " ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? Autoseimilitud estadística y dimensión fraccionaria ", que muestra que la longitud de una línea costera varía con la escala del instrumento de medición, se parece a sí misma en todas las escalas y tiene una longitud infinita para un dispositivo de medición infinitesimalmente pequeño. ^[74] Argumentando que una bola de hilo aparece como un punto cuando se ve desde lejos (0-dimensional), una bola cuando se ve desde bastante cerca (tridimensional) o una hebra curva (unidimensional), argumentó que las dimensiones de un objeto son relativas al observador y pueden ser fraccionarias. Un objeto cuya irregularidad es constante en diferentes escalas ("auto-similitud") es un fractal (los ejemplos incluyen la esponja Menger, la junta de Sierpiński y la curva de Koch o copo de nieve , que es infinitamente largo pero encierra un espacio finito y tiene una dimensión fractal de alrededor de 1,2619). En 1982, Mandelbrot publicó The Fractal Geometry of Nature , que se convirtió en un clásico de la teoría del caos. ^[75] Los sistemas biológicos como la ramificación de los sistemas circulatorio y bronquial demostraron ajustarse a un modelo fractal. ^[76]

En diciembre de 1977, la Academia de Ciencias de Nueva York organizó el primer simposio sobre el caos, al que asistieron David Ruelle, Robert May , James A. Yorke (acuñador del término "caos" utilizado en matemáticas), Robert Shaw y el meteorólogo Edward Lorenz. Al año siguiente, Pierre Coullet y Charles Tresser publicaron "Iterations d'endomorphismes et groupe de renormalisation", y el artículo de Mitchell Feigenbaum "La universalidad cuantitativa para una clase de transformaciones no lineales" apareció finalmente en una revista, después de 3 años de rechazos de los árbitros. ^{[40] [77]} Así Feigenbaum (1975) y Coullet & Tresser (1978) descubrieron la universalidad en el caos, permitiendo la aplicación de la teoría del caos a muchos fenómenos diferentes.

En 1979, Albert J. Libchaber , durante un simposio organizado en Aspen por Pierre Hohenberg , presentó su observación experimental de la cascada de bifurcaciones que conduce al caos y la turbulencia en los sistemas de convección Rayleigh-Bénard . Fue galardonado con el Premio Wolf de Física en 1986 junto con Mitchell J. Feigenbaum por sus inspiradores logros. ^[78]

En 1986, la Academia de Ciencias de Nueva York coorganizó con el Instituto Nacional de Salud Mental y la Oficina de Investigación Naval la primera conferencia importante sobre el caos en biología y medicina. Allí, Bernardo Huberman presentó un modelo matemático del trastorno de seguimiento ocular entre los esquizofrénicos . ^[79] Esto llevó a una renovación de la fisiología en la década de 1980 mediante la aplicación de la teoría del caos, por ejemplo, en el estudio de los ciclos cardíacos patológicos .

En 1987, Per Bak , Chao Tang y Kurt Wiesenfeld publicaron un artículo en Physical Review Letters ^[80] describiendo por primera vez la criticidad autoorganizada (SOC), considerada uno de los mecanismos por los que surge la complejidad en la naturaleza.

Junto con los enfoques basados ​​en gran parte en el laboratorio, como el montón de arena de Bak-Tang-Wiesenfeld , muchas otras investigaciones se han centrado en sistemas naturales o sociales a gran escala que se sabe (o se sospecha) que muestran un comportamiento invariante de escala . Aunque estos enfoques no siempre fueron bienvenidos (al menos inicialmente) por los especialistas en los temas examinados, SOC se ha establecido como un fuerte candidato para explicar una serie de fenómenos naturales, incluidos los terremotos , (que, mucho antes de que se descubriera el SOC, eran conocidos). como una fuente de comportamiento invariante de escala, como la ley de Gutenberg-Richter que describe la distribución estadística de los tamaños de los terremotos, y la ley de Omori ^[81]describiendo la frecuencia de las réplicas), las erupciones solares , las fluctuaciones en los sistemas económicos como los mercados financieros (las referencias al COS son comunes en la economía ), la formación del paisaje, los incendios forestales , los deslizamientos de tierra , las epidemias y la evolución biológica (donde se ha invocado el COS, por ejemplo). , como el mecanismo dinámico detrás de la teoría de los " equilibrios puntuados " presentada por Niles Eldredge y Stephen Jay Gould). Dadas las implicaciones de una distribución libre de escala de los tamaños de los eventos, algunos investigadores han sugerido que otro fenómeno que debería considerarse un ejemplo de COS es la aparición de guerras . Estas investigaciones de SOC han incluido tanto intentos de modelado (ya sea desarrollando nuevos modelos o adaptando los existentes a las características específicas de un sistema natural dado) como un extenso análisis de datos para determinar la existencia y / o características de leyes de escala natural.

En el mismo año, James Gleick publicó Chaos: Making a New Science , que se convirtió en un éxito de ventas e introdujo los principios generales de la teoría del caos, así como su historia, al público en general, aunque su historia subestimó las importantes contribuciones soviéticas. ^{[ cita requerida ] [82]} Inicialmente el dominio de unos pocos individuos aislados, la teoría del caos emergió progresivamente como una disciplina institucional y transdisciplinaria, principalmente bajo el nombre de análisis de sistemas no lineales . Aludiendo al concepto de Thomas Kuhn de un cambio de paradigma expuesto en La estructura de las revoluciones científicas(1962), muchos "caólogos" (como algunos se describieron a sí mismos) afirmaron que esta nueva teoría era un ejemplo de tal cambio, una tesis sostenida por Gleick.

La disponibilidad de computadoras más baratas y potentes amplía la aplicabilidad de la teoría del caos. Actualmente, la teoría del caos sigue siendo un área activa de investigación, ^{[83] que} involucra muchas disciplinas diferentes como matemáticas , topología , física , ^[84] sistemas sociales , ^[85] modelado de población , biología , meteorología , astrofísica , teoría de la información , neurociencia computacional , gestión de crisis pandémicas , ^{[17] [18]} etc.

Aplicaciones

Una cáscara textil conus , similar en apariencia a la Regla 30 , un autómata celular con comportamiento caótico. ^[86]

Aunque la teoría del caos nació de la observación de patrones climáticos, se ha vuelto aplicable a una variedad de otras situaciones. Algunas áreas que se benefician hoy de la teoría del caos son geología , matemáticas , microbiología , biología , informática , economía , ^{[87] [88] [89]} ingeniería , ^{[90] [91]} finanzas , ^{[92] [93]} comercio algorítmico , ^{[ 94] [95] [96]} meteorología , filosofía , antropología , ^[15] física, ^{[97] [98] [99]} política , ^{[100] [101]} dinámica de población , ^[102] psicología , ^[14] y robótica . A continuación se enumeran algunas categorías con ejemplos, pero esta no es de ninguna manera una lista completa ya que están apareciendo nuevas aplicaciones.

Criptografía

La teoría del caos se ha utilizado durante muchos años en criptografía . En las últimas décadas, el caos y la dinámica no lineal se han utilizado en el diseño de cientos de primitivas criptográficas . Estos algoritmos incluyen algoritmos de cifrado de imágenes , funciones hash , generadores de números pseudoaleatorios seguros , cifrados de flujo , marcas de agua y esteganografía . ^[103] La mayoría de estos algoritmos se basan en mapas caóticos unimodales y una gran parte de estos algoritmos utilizan los parámetros de control y la condición inicial de los mapas caóticos como claves. ^[104]Desde una perspectiva más amplia, sin pérdida de generalidad, las similitudes entre los mapas caóticos y los sistemas criptográficos es la principal motivación para el diseño de algoritmos criptográficos basados ​​en el caos. ^[103] Un tipo de cifrado, clave secreta o clave simétrica , se basa en la difusión y la confusión , que está bien modelada por la teoría del caos. ^[105] Otro tipo de computación, la computación del ADN , cuando se combina con la teoría del caos, ofrece una forma de cifrar imágenes y otra información. ^[106] Se ha demostrado que muchos de los algoritmos criptográficos DNA-Chaos no son seguros o se sugiere que la técnica aplicada no es eficiente. ^{[107] [108] [109]}

Robótica

La robótica es otra área que se ha beneficiado recientemente de la teoría del caos. En lugar de que los robots actúen en un tipo de refinamiento de prueba y error para interactuar con su entorno, se ha utilizado la teoría del caos para construir un modelo predictivo . ^{[110] La} dinámica caótica ha sido exhibida por robots bípedos que caminan pasivamente . ^[111]

Biología

Durante más de cien años, los biólogos han realizado un seguimiento de las poblaciones de diferentes especies con modelos de población . La mayoría de los modelos son continuos , pero recientemente los científicos han podido implementar modelos caóticos en ciertas poblaciones. ^[112] Por ejemplo, un estudio sobre modelos de lince canadiense mostró que había un comportamiento caótico en el crecimiento de la población. ^{[113] El} caos también se puede encontrar en sistemas ecológicos, como la hidrología . Si bien un modelo caótico para la hidrología tiene sus deficiencias, todavía hay mucho que aprender al observar los datos a través de la lente de la teoría del caos. ^[114] Otra aplicación biológica se encuentra en la cardiotocografía.. La vigilancia fetal es un delicado equilibrio para obtener información precisa y, al mismo tiempo, ser lo menos invasiva posible. Se pueden obtener mejores modelos de señales de advertencia de hipoxia fetal mediante modelos caóticos. ^[115]

Economía

Es posible que los modelos económicos también se puedan mejorar mediante la aplicación de la teoría del caos, pero predecir la salud de un sistema económico y los factores que más influyen en él es una tarea extremadamente compleja. ^[116] Los sistemas económicos y financieros son fundamentalmente diferentes de los de las ciencias naturales clásicas, ya que los primeros son de naturaleza intrínsecamente estocástica, ya que resultan de las interacciones de las personas y, por lo tanto, es poco probable que los modelos deterministas puros proporcionen representaciones precisas de los datos. La literatura empírica que prueba el caos en economía y finanzas presenta resultados muy variados, en parte debido a la confusión entre pruebas específicas para el caos y pruebas más generales para relaciones no lineales. ^[117]

El caos se puede encontrar en economía mediante el análisis de cuantificación de recurrencia . De hecho, Orlando et al. ^[118] mediante el denominado índice de correlación de cuantificación de recurrencia fueron capaces de detectar cambios ocultos en series de tiempo. Luego, se empleó la misma técnica para detectar transiciones de fases laminares (es decir, regulares) a turbulentas (es decir, caóticas), así como diferencias entre variables macroeconómicas y resaltar características ocultas de la dinámica económica. ^[119] Finalmente, el caos podría ayudar a modelar cómo opera la economía, así como a incorporar los choques debidos a eventos externos como COVID-19. ^[120]

Otras áreas

En química, predecir la solubilidad del gas es esencial para la fabricación de polímeros , pero los modelos que utilizan la optimización del enjambre de partículas (PSO) tienden a converger en los puntos equivocados. Se ha creado una versión mejorada de PSO introduciendo el caos, lo que evita que las simulaciones se atasquen. ^[121] En mecánica celeste , especialmente cuando se observan asteroides, la aplicación de la teoría del caos conduce a mejores predicciones sobre cuándo estos objetos se acercarán a la Tierra ya otros planetas. ^[122] Cuatro de las cinco lunas de Plutón giran caóticamente. En física cuántica e ingeniería eléctrica , el estudio de grandes conjuntos de uniones de Josephsonse benefició enormemente de la teoría del caos. ^[123] Más cerca de casa, las minas de carbón siempre han sido lugares peligrosos donde las frecuentes fugas de gas natural causan muchas muertes. Hasta hace poco, no existía una forma confiable de predecir cuándo ocurrirían. Pero estas fugas de gas tienen tendencias caóticas que, cuando se modelan adecuadamente, se pueden predecir con bastante precisión. ^[124]

La teoría del caos se puede aplicar fuera de las ciencias naturales, pero históricamente casi todos estos estudios han adolecido de falta de reproducibilidad; escasa validez externa; y / o falta de atención a la validación cruzada, lo que da como resultado una precisión predictiva deficiente (si incluso se ha intentado una predicción fuera de la muestra). Glass ^[125] y Mandell y Selz ^[126] han descubierto que ningún estudio EEG ha indicado hasta ahora la presencia de atractores extraños u otros signos de comportamiento caótico.

Los investigadores han seguido aplicando la teoría del caos a la psicología. Por ejemplo, al modelar el comportamiento de grupo en el que miembros heterogéneos pueden comportarse como si compartieran en diferentes grados lo que en la teoría de Wilfred Bion es un supuesto básico, los investigadores han encontrado que la dinámica de grupo es el resultado de la dinámica individual de los miembros: cada El individuo reproduce la dinámica del grupo en una escala diferente, y el comportamiento caótico del grupo se refleja en cada miembro. ^[127]

Redington y Reidbord (1992) intentaron demostrar que el corazón humano podía mostrar rasgos caóticos. Monitorearon los cambios en los intervalos entre latidos del corazón para una sola paciente de psicoterapia a medida que pasaba por períodos de intensidad emocional variable durante una sesión de terapia. Es cierto que los resultados no fueron concluyentes. No solo hubo ambigüedades en las diversas gráficas que los autores produjeron para supuestamente mostrar evidencia de dinámica caótica (análisis espectral, trayectoria de fase y gráficas de autocorrelación), sino también cuando intentaron calcular un exponente de Lyapunov como una confirmación más definitiva del comportamiento caótico, el los autores encontraron que no podían hacerlo de manera confiable. ^[128]

En su artículo de 1995, Metcalf y Allen ^[129] sostuvieron que descubrieron en el comportamiento animal un patrón de duplicación del período que conduce al caos. Los autores examinaron una respuesta conocida llamada polidipsia inducida por horario, por la cual un animal privado de alimento durante cierto tiempo beberá cantidades inusuales de agua cuando por fin se le presente el alimento. El parámetro de control (r) que opera aquí fue la duración del intervalo entre alimentaciones, una vez que se reanudó. Los autores tuvieron cuidado de probar una gran cantidad de animales e incluir muchas réplicas, y diseñaron su experimento para descartar la probabilidad de que los cambios en los patrones de respuesta fueran causados ​​por diferentes lugares de inicio para r.

Las series de tiempo y las gráficas del primer retraso proporcionan el mejor soporte para las afirmaciones realizadas, mostrando una marcha bastante clara de la periodicidad a la irregularidad a medida que aumentaban los tiempos de alimentación. Los diversos gráficos de trayectoria de fase y análisis espectrales, por otro lado, no coinciden lo suficientemente bien con los otros gráficos o con la teoría general como para conducir inexorablemente a un diagnóstico caótico. Por ejemplo, las trayectorias de fase no muestran una progresión definida hacia una complejidad cada vez mayor (y lejos de la periodicidad); el proceso parece bastante confuso. Además, donde Metcalf y Allen vieron períodos de dos y seis en sus gráficos espectrales, hay espacio para interpretaciones alternativas. Toda esta ambigüedad requiere una explicación serpenteante y post-hoc para mostrar que los resultados se ajustan a un modelo caótico.

Al adaptar un modelo de asesoramiento profesional para incluir una interpretación caótica de la relación entre los empleados y el mercado laboral, Aniundson y Bright descubrieron que se pueden hacer mejores sugerencias a las personas que luchan con decisiones profesionales. ^[130] Las organizaciones modernas se ven cada vez más como sistemas adaptativos complejos abiertos con estructuras no lineales naturales fundamentales, sujetas a fuerzas internas y externas que pueden contribuir al caos. Por ejemplo, la formación de equipos y el desarrollo de grupos se están investigando cada vez más como un sistema intrínsecamente impredecible, ya que la incertidumbre de las diferentes personas que se encuentran por primera vez hace que la trayectoria del equipo sea incognoscible. ^[131]

Algunos dicen que la metáfora del caos, utilizada en las teorías verbales, basada en modelos matemáticos y aspectos psicológicos del comportamiento humano, proporciona ideas útiles para describir la complejidad de los pequeños grupos de trabajo, que van más allá de la metáfora en sí. ^[132]

La predicción del tráfico puede beneficiarse de las aplicaciones de la teoría del caos. Mejores predicciones de cuándo se producirá el tráfico permitirían tomar medidas para dispersarlo antes de que hubiera ocurrido. La combinación de los principios de la teoría del caos con algunos otros métodos ha dado lugar a un modelo de predicción a corto plazo más preciso (consulte el gráfico del modelo de tráfico BML a la derecha). ^[133]

La teoría del caos se ha aplicado a los datos del ciclo del agua ambiental (también conocidos como datos hidrológicos), como la lluvia y el caudal de los arroyos. ^[134] Estos estudios han arrojado resultados controvertidos, porque los métodos para detectar una firma caótica son a menudo relativamente subjetivos. Los primeros estudios tendían a "tener éxito" en encontrar el caos, mientras que los estudios y metanálisis posteriores cuestionaron esos estudios y proporcionaron explicaciones de por qué estos conjuntos de datos probablemente no tengan una dinámica caótica de baja dimensión. ^[135]

Ver también

Ejemplos de sistemas caóticos

• Contornos advectados
• Mapa del gato de Arnold
• Dinámica de la pelota que rebota
• Circuito de Chua
• Cliodinámica
• Celosía de mapa acoplada
• Péndulo doble
• Ecuación de Duffing
• Billar dinámico
• Burbuja económica
• Sistema Gaspard-Rice
• Mapa de Hénon
• Mapa de herradura
• Lista de mapas caóticos
• Atractor de Rössler
• Mapa estándar
• Balanceando la máquina de Atwood
• Inclinar un remolino

Otros temas relacionados

• Muerte de amplitud
• Difeomorfismo anosov
• Teoría de la catástrofe
• Causalidad
• Teoría del caos en el desarrollo organizacional
• Máquina del caos
• Mezcla caótica
• Dispersión caótica
• Control del caos
• Determinismo
• Borde del caos
• Aparición
• Conjunto de Mandelbrot
• Teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser
• Mal acondicionamiento
• Mala postura
• Sistema no lineal
• Patrones en la naturaleza
• Previsibilidad
• Caos cuántico
• Instituto Santa Fe
• Sincronización del caos
• Consecuencia involuntaria

Personas

• Ralph Abraham
• Michael Berry
• León O. Chua
• Ivar Ekeland
• Granjero de Doyne
• Martín Gutzwiller
• Brosl Hasslacher
• Michel Hénon
• Aleksandr Lyapunov
• Norman Packard
• Otto Rössler
• David Ruelle
• Oleksandr Mikolaiovich Sharkovsky
• Robert Shaw
• Floris Takens
• James A. Yorke
• George M. Zaslavsky

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Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la teoría del caos .

Recursos de la biblioteca sobre la teoría del caos

Recursos en su biblioteca Recursos en otras bibliotecas

• "Caos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Grupo de Investigación de Dinámica No Lineal con Animaciones en Flash
• El grupo del Caos en la Universidad de Maryland
• El hipertexto del caos . Introducción al caos y los fractales
• ChaosBook.org Un libro de texto avanzado para graduados sobre el caos (sin fractales)
• Sociedad para la Teoría del Caos en Psicología y Ciencias de la Vida
• Grupo de Investigación de Dinámica No Lineal en CSDC , Florencia Italia
• Experimento interactivo de péndulo caótico en vivo , que permite a los usuarios interactuar y muestrear datos de un péndulo caótico accionado amortiguado en funcionamiento real
• Dinámica no lineal: cómo la ciencia comprende el caos , charla presentada por Sunny Auyang, 1998.
• Dinámica no lineal . Modelos de bifurcación y caos por Elmer G. Wiens
• Caos de Gleick (extracto)
• Grupo de análisis, modelado y predicción de sistemas de la Universidad de Oxford
• Una página sobre la ecuación de Mackey-Glass
• High Anxieties - The Mathematics of Chaos (2008) Documental de la BBC dirigido por David Malone
• La teoría del caos de la evolución : artículo publicado en Newscientist que presenta similitudes de evolución y sistemas no lineales, incluida la naturaleza fractal de la vida y el caos.
• Jos Leys, Étienne Ghys y Aurélien Alvarez, Chaos, A Mathematical Adventure . Nueve películas sobre sistemas dinámicos, el efecto mariposa y la teoría del caos, destinadas a un público amplio.
• "Chaos Theory" , discusión de BBC Radio 4 con Susan Greenfield, David Papineau y Neil Johnson ( In Our Time , 16 de mayo de 2002)