En electromagnetismo , la densidad de carga es la cantidad de carga eléctrica por unidad de longitud , área de superficie o volumen . La densidad de carga volumétrica (simbolizada por la letra griega ρ) es la cantidad de carga por unidad de volumen, medida en el sistema SI en culombios por metro cúbico (C⋅m −3 ), en cualquier punto de un volumen. [1] [2] [3] La densidad de carga superficial (σ) es la cantidad de carga por unidad de área, medida en culombios por metro cuadrado (C⋅m −2 ), en cualquier punto de unDistribución de carga superficial en una superficie bidimensional. La densidad de carga lineal (λ) es la cantidad de carga por unidad de longitud, medida en culombios por metro (C⋅m −1 ), en cualquier punto de una distribución de carga lineal. La densidad de carga puede ser positiva o negativa, ya que la carga eléctrica puede ser positiva o negativa.
Al igual que la densidad de masa , la densidad de carga puede variar con la posición. En la teoría electromagnética clásica, la densidad de carga se idealiza como una función escalar continua de posición, como un fluido, y , , y generalmente se consideran distribuciones de carga continuas , aunque todas las distribuciones de carga reales están formadas por partículas cargadas discretas. Debido a la conservación de la carga eléctrica , la densidad de carga en cualquier volumen solo puede cambiar si una corriente eléctrica de carga fluye dentro o fuera del volumen. Esto se expresa mediante una ecuación de continuidad que vincula la tasa de cambio de la densidad de cargay la densidad actual .
Dado que toda la carga es transportada por partículas subatómicas , que pueden idealizarse como puntos, el concepto de una distribución de carga continua es una aproximación, que se vuelve inexacta a escalas de longitud pequeñas. Una distribución de carga se compone en última instancia de partículas cargadas individuales separadas por regiones que no contienen carga. [4] Por ejemplo, la carga en un objeto metálico cargado eléctricamente está formada por electrones de conducción que se mueven aleatoriamente en la red cristalina del metal . La electricidad estática es causada por cargas superficiales que consisten en iones en la superficie de los objetos, y la carga espacial en un tubo de vacío está compuesta por una nube de electrones libres que se mueven aleatoriamente en el espacio. La densidad de portadores de carga en un conductor es igual al número de portadores de carga móviles ( electrones , iones , etc.) por unidad de volumen. La densidad de carga en cualquier punto es igual a la densidad del portador de carga multiplicada por la carga elemental de las partículas. Sin embargo, debido a que la carga elemental de un electrón es tan pequeña (1.6⋅10 −19 C) y hay muchos de ellos en un volumen macroscópico (hay alrededor de 10 22 electrones de conducción en un centímetro cúbico de cobre), la aproximación continua es muy precisa cuando se aplica a volúmenes macroscópicos, e incluso a volúmenes microscópicos por encima del nivel nanométrico.
A escalas atómicas, debido al principio de incertidumbre de la mecánica cuántica , una partícula cargada no tiene una posición precisa, sino que está representada por una distribución de probabilidad , por lo que la carga de una partícula individual no se concentra en un punto sino que se 'difumina' en espacio y actúa como una verdadera distribución de carga continua. [4] Este es el significado de "distribución de carga" y "densidad de carga" que se utilizan en química y enlaces químicos . Un electrón está representado por una función de onda. cuyo cuadrado es proporcional a la probabilidad de encontrar el electrón en cualquier punto en el espacio, entonces es proporcional a la densidad de carga del electrón en cualquier punto. En átomos y moléculas, la carga de los electrones se distribuye en nubes llamadas orbitales que rodean al átomo o molécula y son responsables de los enlaces químicos .
Definiciones
Cargas continuas
A continuación se encuentran las definiciones de distribuciones de carga continuas. [5] [6]
La densidad de carga lineal es la relación entre una carga eléctrica infinitesimal d Q (unidad SI: C ) y un elemento lineal infinitesimal ,
De manera similar, la densidad de carga superficial usa un elemento de área superficial d S
y la densidad de carga de volumen utiliza un elemento de volumen d V
La integración de las definiciones da la carga total Q de una región según la integral de línea de la densidad de carga lineal λ q ( r ) sobre una línea o curva 1d C ,
de manera similar, una integral de superficie de la densidad de carga superficial σ q ( r ) sobre una superficie S ,
y una integral de volumen de la densidad de carga volumétrica ρ q ( r ) sobre un volumen V ,
donde el subíndice q es para aclarar que la densidad es para carga eléctrica, no otras densidades como densidad de masa , densidad numérica , densidad de probabilidad , y evitar conflictos con los muchos otros usos de λ, σ, ρ en electromagnetismo para longitud de onda , resistividad eléctrica y conductividad .
Dentro del contexto del electromagnetismo, los subíndices generalmente se eliminan por simplicidad: λ, σ, ρ. Otras notaciones pueden incluir: ρ ℓ , ρ s , ρ v , ρ L , ρ S , ρ V, etc.
La carga total dividida por la longitud, el área de la superficie o el volumen serán las densidades de carga promedio:
Carga gratuita, consolidada y total
En los materiales dieléctricos , la carga total de un objeto se puede separar en cargas "libres" y "ligadas".
Las cargas ligadas establecen dipolos eléctricos en respuesta a un campo eléctrico E aplicado , y polarizan otros dipolos cercanos que tienden a alinearlos, la acumulación neta de carga de la orientación de los dipolos es la carga ligada. Se les llama ligados porque no se pueden eliminar: en el material dieléctrico las cargas son los electrones ligados a los núcleos . [6]
Las cargas libres son las cargas en exceso que pueden moverse hacia el equilibrio electrostático , es decir, cuando las cargas no se mueven y el campo eléctrico resultante es independiente del tiempo o constituyen corrientes eléctricas . [5]
Densidades de carga totales
En términos de densidades de carga de volumen, la densidad de carga total es:
en cuanto a las densidades de carga superficial:
donde los subíndices "f" y "b" denotan "libre" y "limitado" respectivamente.
Carga consolidada
La carga superficial ligada es la carga acumulada en la superficie del dieléctrico , dada por el momento dipolar perpendicular a la superficie: [6]
donde s es la separación entre las cargas puntuales que constituyen el dipolo,es el momento dipolar eléctrico ,es el vector unitario normal a la superficie.
Tomando infinitesimales :
y dividiendo por el elemento de superficie diferencial dS se obtiene la densidad de carga de la superficie unida:
donde P es la densidad de polarización , es decir, la densidad de los momentos dipolares eléctricos dentro del material, y dV es el elemento de volumen diferencial .
Usando el teorema de la divergencia , la densidad de carga volumétrica ligada dentro del material es
por eso:
El signo negativo surge debido a los signos opuestos en las cargas en los dipolos, un extremo está dentro del volumen del objeto, el otro en la superficie.
A continuación se ofrece una derivación más rigurosa. [6]
Derivación de densidades de carga volumétricas y superficiales ligadas a partir de momentos dipolares internos (cargas ligadas) El potencial eléctrico debido a un momento dipolar d es: Para una distribución continua, el material se puede dividir en infinitos dipolos infinitesimales
donde dV = d 3 r ′ es el elemento de volumen, por lo que el potencial es la integral de volumen sobre el objeto:
Desde
donde ∇ ′ es el gradiente en las coordenadas r ′ ,
integrando por partes
usando el teorema de la divergencia:
que se separa en el potencial de la carga superficial ( integral de superficie ) y el potencial debido a la carga de volumen (integral de volumen):
es decir
Densidad de carga gratuita
La densidad de carga gratuita sirve como una simplificación útil en la ley de Gauss para la electricidad; su integral de volumen es la carga libre encerrada en un objeto cargado, igual al flujo neto del campo de desplazamiento eléctrico D que emerge del objeto:
Consulte las ecuaciones de Maxwell y la relación constitutiva para obtener más detalles.
Densidad de carga homogénea
Para el caso especial de una densidad de carga homogénea ρ 0 , independiente de la posición, es decir, constante en toda la región del material, la ecuación se simplifica a:
La prueba de esto es inmediata. Comience con la definición de la carga de cualquier volumen:
Entonces, por definición de homogeneidad, ρ q ( r ) es una constante denotada por ρ q , 0 (para diferir entre las densidades constante y no constante), por lo que las propiedades de una integral pueden extraerse de la integral resultante en:
entonces,
Las pruebas equivalentes para la densidad de carga lineal y la densidad de carga superficial siguen los mismos argumentos que antes.
Cargos discretos
Para una carga puntual q en la posición r 0 dentro de una región del espacio 3d R , como un electrón , la densidad de carga volumétrica se puede expresar mediante la función delta de Dirac :
donde r es la posición para calcular la carga.
Como siempre, la integral de la densidad de carga sobre una región del espacio es la carga contenida en esa región. La función delta tiene la propiedad de cribado para cualquier función f :
por lo que la función delta asegura que cuando la densidad de carga se integra sobre R , la carga total en R es q :
Esto se puede extender a N portadores de carga discretos en forma de puntos. La densidad de carga del sistema en un punto r es una suma de las densidades de carga para cada carga q i en la posición r i , donde i = 1, 2, ..., N :
La función delta para cada carga q i en la suma, δ ( r - r i ), asegura que la integral de la densidad de carga sobre R devuelve la carga total en R :
Si todos los portadores de carga tienen la misma carga q (para los electrones q = - e , la carga del electrón ), la densidad de carga se puede expresar a través del número de portadores de carga por unidad de volumen, n ( r ), por
Se utilizan ecuaciones similares para las densidades de carga lineal y superficial.
Densidad de carga en relatividad especial
En relatividad especial , la longitud de un segmento de cable depende de la velocidad del observador debido a la contracción de la longitud , por lo que la densidad de carga también dependerá de la velocidad. Anthony French [7] ha descrito cómo la fuerza del campo magnético de un cable portador de corriente surge de esta densidad de carga relativa. Usó (p. 260) un diagrama de Minkowski para mostrar "cómo un cable neutro portador de corriente parece tener una densidad de carga neta como se observa en un marco en movimiento". Cuando se mide una densidad de carga en un marco de referencia en movimiento , se denomina densidad de carga adecuada . [8] [9] [10]
Resulta que la densidad de carga ρ y la densidad de corriente J se transforman juntas como un vector de cuatro corrientes bajo las transformaciones de Lorentz .
Densidad de carga en mecánica cuántica
En mecánica cuántica , la densidad de carga ρ q está relacionada con la función de onda ψ ( r ) por la ecuación
donde q es la carga de la partícula y | ψ ( r ) | 2 = ψ * ( r ) ψ ( r ) es la función de densidad de probabilidad, es decir, la probabilidad por unidad de volumen de una partícula ubicada en r .
Cuando la función de onda está normalizada, la carga promedio en la región r ∈ R es
donde d 3 r es la medida de integración sobre el espacio de posición 3d.
Solicitud
La densidad de carga aparece en la ecuación de continuidad para la corriente eléctrica y también en las ecuaciones de Maxwell . Es el término fuente principal del campo electromagnético ; cuando la distribución de carga se mueve, esto corresponde a una densidad de corriente . La densidad de carga de las moléculas influye en los procesos químicos y de separación. Por ejemplo, la densidad de carga influye en el enlace metal-metal y el enlace de hidrógeno . [11] Para procesos de separación como la nanofiltración , la densidad de carga de los iones influye en su rechazo por la membrana. [12]
Ver también
- Ecuación de continuidad que relaciona la densidad de carga y la densidad de corriente
- Potencial iónico
- Onda de densidad de carga
Referencias
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enlaces externos
- [1] - Distribuciones de cargos espaciales