En matemáticas , la distancia de Chebyshev (o distancia de Tchebychev ), métrica máxima o L ∞ métrica [1] es una métrica definida en un espacio vectorial donde la distancia entre dos vectores es la mayor de sus diferencias a lo largo de cualquier dimensión de coordenadas. [2] Lleva el nombre de Pafnuty Chebyshev .
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También se conoce como distancia del tablero de ajedrez , ya que en el juego de ajedrez el número mínimo de movimientos que necesita un rey para ir de un cuadrado a otro en un tablero de ajedrez es igual a la distancia de Chebyshev entre los centros de los cuadrados, si los cuadrados tienen longitud de lado. uno, como se representa en coordenadas espaciales 2-D con ejes alineados con los bordes del tablero. [3] Por ejemplo, la distancia de Chebyshev entre f6 y e2 es 4.
Definición
La distancia Chebyshev entre dos vectores o puntos x y y , con coordenadas estándar y , respectivamente, es
Esto es igual al límite de las métricas L p :
por lo tanto, también se conoce como la métrica L ∞ .
Matemáticamente, la distancia de Chebyshev es una métrica inducida por la norma suprema o norma uniforme . Es un ejemplo de métrica inyectiva .
En dos dimensiones, es decir, la geometría plana , si los puntos p y q tienen coordenadas cartesianas y , su distancia Chebyshev es
Bajo esta métrica, un círculo de radio r , que es el conjunto de puntos con la distancia de Chebyshev r desde un punto central, es un cuadrado cuyos lados tienen la longitud 2 r y son paralelos a los ejes coordenados.
En un tablero de ajedrez, donde se usa una distancia de Chebyshev discreta , en lugar de una continua, el círculo de radio r es un cuadrado de lados de 2 r, que mide desde los centros de los cuadrados, y por lo tanto cada lado contiene 2 r +1 cuadrícula; por ejemplo, el círculo de radio 1 en un tablero de ajedrez es un cuadrado de 3 × 3.
Propiedades
En una dimensión, todas las métricas de L p son iguales: son solo el valor absoluto de la diferencia.
La distancia de Manhattan bidimensional tiene "círculos", es decir , conjuntos de niveles en forma de cuadrados, con lados de longitud √ 2 r , orientados en un ángulo de π / 4 (45 °) con respecto a los ejes de coordenadas, por lo que la distancia plana de Chebyshev puede ser visto como equivalente por rotación y escala (es decir, una transformación lineal de) la distancia plana de Manhattan.
Sin embargo, esta equivalencia geométrica entre las métricas L 1 y L ∞ no se generaliza a dimensiones superiores. Una esfera formada usando la distancia de Chebyshev como métrica es un cubo con cada cara perpendicular a uno de los ejes de coordenadas, pero una esfera formada usando la distancia de Manhattan es un octaedro : estos son poliedros duales , pero entre cubos, solo el cuadrado (y 1 -segmento de línea dimensional) son politopos auto-duales . No obstante, es cierto que en todos los espacios de dimensión finita las métricas L 1 y L ∞ son matemáticamente duales entre sí.
En una cuadrícula (como un tablero de ajedrez), los puntos a una distancia de Chebyshev de 1 de un punto son la vecindad de Moore de ese punto.
La distancia de Chebyshev es el caso límite de la orden- Distancia de Minkowski , cuandoalcanza el infinito .
Aplicaciones
La distancia de Chebyshev se usa a veces en la logística del almacén , [4] ya que mide efectivamente el tiempo que tarda una grúa aérea en mover un objeto (ya que la grúa puede moverse en los ejes xey al mismo tiempo pero a la misma velocidad a lo largo de cada eje). eje).
También se utiliza mucho en aplicaciones CAM electrónicas , en particular, en algoritmos de optimización para estas. Muchas herramientas, como máquinas de trazado o perforadoras, fotoplotter , etc. que operan en el plano, suelen estar controladas por dos motores en las direcciones xey, similares a los puentes grúa. [5]
Ver también
- Gráfico del rey
- Norma uniforme
- Geometría del taxi
Referencias
- ^ Cyrus. D. Cantrell (2000). Métodos matemáticos modernos para físicos e ingenieros . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-59827-3.
- ^ James M. Abello, Panos M. Pardalos y Mauricio GC Resende (editores) (2002). Manual de conjuntos de datos masivos . Saltador. ISBN 1-4020-0489-3.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace ) CS1 maint: texto adicional: lista de autores ( enlace )
- ^ David MJ Tax; Robert Duin; Dick De Ridder (2004). Clasificación, estimación de parámetros y estimación de estados: un enfoque de ingeniería con MATLAB . John Wiley e hijos. ISBN 0-470-09013-8.
- ^ André Langevin; Diane Riopel (2005). Sistemas logísticos . Saltador. ISBN 0-387-24971-0.
- ^ Seitz, Charles L. (1989). Investigación avanzada en VLSI: Actas de la Conferencia Decennial Caltech sobre VLSI, marzo de 1989 . ISBN 9780262192828.