Órbita circular

Una órbita circular es una órbita con una distancia fija alrededor del baricentro ; es decir, en forma de círculo .

Se representa una órbita circular en el cuadrante superior izquierdo de este diagrama, donde el pozo de potencial gravitacional de la masa central muestra energía potencial y la energía cinética de la velocidad orbital se muestra en rojo. La altura de la energía cinética permanece constante a lo largo de la órbita circular de velocidad constante.

En la parte superior del diagrama, un satélite en una órbita circular en el sentido de las agujas del reloj (punto amarillo) lanza objetos de masa insignificante:
(1 - azul) hacia la Tierra,
(2 - rojo) lejos de la Tierra,
(3 - gris) en la dirección de viajar, y
(4 - negro) al revés de la dirección de viaje.

Las elipses punteadas son órbitas relativas a la Tierra. Las curvas sólidas son perturbaciones relativas al satélite: en una órbita, (1) y (2) regresan al satélite habiendo hecho un bucle en el sentido de las agujas del reloj a cada lado del satélite. De manera poco intuitiva, (3) gira en espiral cada vez más atrás mientras que (4) gira en espiral hacia adelante.

A continuación se enumera una órbita circular en astrodinámica o mecánica celeste bajo supuestos estándar. Aquí la fuerza centrípeta es la fuerza gravitacional y el eje mencionado anteriormente es la línea que pasa por el centro de la masa central perpendicular al plano de movimiento.

En este caso, no solo la distancia, sino también la velocidad, la velocidad angular , la energía potencial y cinética son constantes. No hay periapsis ni apoapsis. Esta órbita no tiene versión radial.

Aceleración circular

La aceleración transversal ( perpendicular a la velocidad) provoca un cambio de dirección. Si es constante en magnitud y cambia de dirección con la velocidad, se produce un movimiento circular . Tomar dos derivadas de las coordenadas de la partícula con respecto al tiempo da la aceleración centrípeta

${\displaystyle a\,={\frac {v^{2}}{r}}\,={\omega ^{2}}{r}}$

dónde:

• ${\displaystyle v\,}$es la velocidad orbital del cuerpo en órbita,
• ${\displaystyle r\,}$es el radio del círculo
• ${\displaystyle \omega \ }$es la velocidad angular , medida en radianes por unidad de tiempo.

La fórmula no tiene dimensiones y describe una razón verdadera para todas las unidades de medida aplicadas uniformemente en la fórmula. Si el valor numérico de${\displaystyle \mathbf {a} }$ se mide en metros por segundo por segundo, luego los valores numéricos para ${\displaystyle v\,}$ estará en metros por segundo, ${\displaystyle r\,}$ en metros, y ${\displaystyle \omega \ }$ en radianes por segundo.

Velocidad

La rapidez (o la magnitud de la velocidad) relativa al objeto central es constante: ^{[1] : 30}

${\displaystyle v={\sqrt {GM\! \over {r}}}={\sqrt {\mu \over {r}}}}$

dónde:

• ${\displaystyle G}$, es la constante gravitacional
• ${\displaystyle M}$, es la masa de ambos cuerpos en órbita${\displaystyle (M_{1}+M_{2})}$, aunque en la práctica común, si la masa mayor es significativamente mayor, la masa menor a menudo se descuida, con un cambio mínimo en el resultado.
• ${\displaystyle \mu =GM}$, es el parámetro gravitacional estándar .

Ecuación de movimiento

La ecuación de la órbita en coordenadas polares, que en general da r en términos de θ , se reduce a: ^{[ aclaración necesaria ] [ cita requerida ]}

${\displaystyle r={{h^{2}} \over {\mu }}}$

dónde:

• ${\displaystyle h=rv}$es el momento angular específico del cuerpo en órbita.

Esto es porque ${\displaystyle \mu =rv^{2}}$

Velocidad angular y período orbital

${\displaystyle \omega ^{2}r^{3}=\mu }$

De ahí el período orbital (${\displaystyle T\,\!}$) se puede calcular como: ^{[1] : 28}

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$

Compare dos cantidades proporcionales, el tiempo de caída libre (tiempo para caer a una masa puntual desde el reposo)

${\displaystyle T_{ff}={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$ (17,7% del período orbital en una órbita circular)

y el tiempo para caer a una masa puntual en una órbita parabólica radial

${\displaystyle T_{par}={\frac {\sqrt {2}}{3}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$ (7.5% del período orbital en una órbita circular)

El hecho de que las fórmulas solo difieran en un factor constante queda claro a priori en el análisis dimensional . ^{[ cita requerida ]}

Energía

La energía orbital específica (${\displaystyle \epsilon \,}$) es negativo, y

${\displaystyle \epsilon =-{v^{2} \over {2}}}$

${\displaystyle \epsilon =-{\mu \over {2r}}}$

Por lo tanto, el teorema virial ^{[1] : 72 se} aplica incluso sin tomar un promedio de tiempo: ^{[ cita requerida ]}

• la energía cinética del sistema es igual al valor absoluto de la energía total
• la energía potencial del sistema es igual al doble de la energía total

La velocidad de escape desde cualquier distancia es √ 2 veces la velocidad en una órbita circular a esa distancia: la energía cinética es el doble, por lo tanto, la energía total es cero. ^{[ cita requerida ]}

Delta-v para alcanzar una órbita circular

Maniobrar hacia una gran órbita circular, por ejemplo, una órbita geoestacionaria , requiere un delta-v mayor que una órbita de escape , aunque esto último implica alejarse arbitrariamente y tener más energía de la necesaria para la velocidad orbital de la órbita circular. También es cuestión de maniobrar hacia la órbita. Véase también la órbita de transferencia de Hohmann .

Velocidad orbital en relatividad general

En la métrica de Schwarzschild , la velocidad orbital para una órbita circular con radio${\displaystyle r}$ viene dada por la siguiente fórmula:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}}$

dónde ${\displaystyle \scriptstyle r_{S}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$ es el radio de Schwarzschild del cuerpo central.

Derivación

Por conveniencia, la derivación se escribirá en unidades en las que ${\displaystyle \scriptstyle c=G=1}$.

La cuatro velocidades de un cuerpo en una órbita circular viene dada por:

${\displaystyle u^{\mu }=({\dot {t}},0,0,{\dot {\phi }})}$

(${\displaystyle \scriptstyle r}$ es constante en una órbita circular, y las coordenadas se pueden elegir de modo que ${\displaystyle \scriptstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$). El punto encima de una variable denota derivación con respecto al tiempo adecuado${\displaystyle \scriptstyle \tau }$.

Para una partícula masiva, los componentes de las cuatro velocidades satisfacen la siguiente ecuación:

${\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r^{2}{\dot {\phi }}^{2}=1}$

Usamos la ecuación geodésica:

${\displaystyle {\ddot {x}}^{\mu }+\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}^{\sigma }=0}$

La única ecuación no trivial es la de ${\displaystyle \scriptstyle \mu =r}$. Da:

${\displaystyle {\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {\phi }}^{2}=0}$

De esto, obtenemos:

${\displaystyle {\dot {\phi }}^{2}={\frac {M}{r^{3}}}{\dot {t}}^{2}}$

Sustituyendo esto en la ecuación de una partícula masiva da:

${\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-{\frac {M}{r}}{\dot {t}}^{2}=1}$

Por eso:

${\displaystyle {\dot {t}}^{2}={\frac {r}{r-3M}}}$

Suponga que tenemos un observador en el radio ${\displaystyle \scriptstyle r}$, que no se mueve con respecto al cuerpo central, es decir, su cuatro velocidades es proporcional al vector${\displaystyle \scriptstyle \partial _{t}}$. La condición de normalización implica que es igual a:

${\displaystyle v^{\mu }=\left({\sqrt {\frac {r}{r-2M}}},0,0,0\right)}$

El producto escalar de las cuatro velocidades del observador y el cuerpo en órbita es igual al factor gamma para el cuerpo en órbita en relación con el observador, por lo tanto:

${\displaystyle \gamma =g_{\mu \nu }u^{\mu }v^{\nu }=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\sqrt {\frac {r}{r-3M}}}{\sqrt {\frac {r}{r-2M}}}={\sqrt {\frac {r-2M}{r-3M}}}}$

Esto da la velocidad :

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {M}{r-2M}}}}$

O, en unidades SI:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}}$

Ver también

• Órbita elíptica
• Lista de órbitas
• Problema de dos cuerpos

Referencias

1. Lissauer, Jack J .; de Pater, Imke (2019). Ciencias planetarias fundamentales: física, química y habitabilidad . Nueva York, NY, EE.UU .: Cambridge University Press. pag. 604. ISBN 9781108411981.