La paradoja de la línea costera es la observación contradictoria de que la línea costera de una masa terrestre no tiene una longitud bien definida. Esto resulta de las propiedades de curvas fractales de las líneas costeras, es decir, el hecho de que una línea costera típicamente tiene una dimensión fractal (lo que de hecho hace que la noción de longitud sea inaplicable). La primera observación registrada de este fenómeno fue realizada por Lewis Fry Richardson [1] [2] y fue ampliada por Benoit Mandelbrot . [3] [4]
La longitud medida del litoral depende del método utilizado para medirlo y del grado de generalización cartográfica . Dado que una masa terrestre tiene características en todas las escalas, desde cientos de kilómetros de tamaño hasta pequeñas fracciones de milímetro o menos, no hay un tamaño obvio de la característica más pequeña que deba tenerse en cuenta al medir y, por lo tanto, no hay un perímetro único bien definido. a la masa continental. Existen varias aproximaciones cuando se hacen suposiciones específicas sobre el tamaño mínimo de la característica.
El problema es fundamentalmente diferente de la medición de otros bordes más simples. Es posible, por ejemplo, medir con precisión la longitud de una barra de metal idealizada recta utilizando un dispositivo de medición para determinar que la longitud es menor que una cierta cantidad y mayor que otra cantidad, es decir, medirla dentro de un cierto grado de incertidumbre . Cuanto más preciso sea el dispositivo de medición, más cerca estarán los resultados de la longitud real del borde. Sin embargo, cuando se mide una línea de costa, la medición más cercana no aumenta la precisión; la medición solo aumenta en longitud; a diferencia de la barra de metal, no hay forma de obtener un valor máximo para la longitud de la costa.
En el espacio tridimensional, la paradoja de la línea de costa se extiende fácilmente al concepto de superficies fractales en las que el área de una superficie varía, dependiendo de la resolución de la medición.
Aspectos matemáticos
El concepto básico de longitud se origina en la distancia euclidiana . En geometría euclidiana, una línea recta representa la distancia más corta entre dos puntos . Esta línea tiene una sola longitud. En la superficie de una esfera, esto se reemplaza por la longitud geodésica (también llamada longitud del gran círculo ), que se mide a lo largo de la curva de la superficie que existe en el plano que contiene ambos extremos y el centro de la esfera. La longitud de las curvas básicas es más complicada pero también se puede calcular. Midiendo con reglas, se puede aproximar la longitud de una curva sumando la suma de las líneas rectas que conectan los puntos:
El uso de algunas líneas rectas para aproximar la longitud de una curva producirá una estimación menor que la longitud real; cuando se utilizan líneas cada vez más cortas (y por tanto más numerosas), la suma se aproxima a la longitud real de la curva. Se puede encontrar un valor preciso para esta longitud utilizando el cálculo , la rama de las matemáticas que permite el cálculo de distancias infinitesimalmente pequeñas. La siguiente animación ilustra cómo se puede asignar significativamente una longitud precisa a una curva suave :
Sin embargo, no todas las curvas se pueden medir de esta forma. Un fractal es, por definición, una curva cuya complejidad cambia con la escala de medición. Mientras que las aproximaciones de una curva suave tienden a un solo valor a medida que aumenta la precisión de la medición, el valor medido para un fractal no converge.
Como la longitud de una curva fractal siempre diverge hasta el infinito, si se midiera una línea de costa con una resolución infinita o casi infinita, la longitud de los dobleces infinitamente cortos en la línea de costa se sumaría al infinito. [5] Sin embargo, esta figura se basa en el supuesto de que el espacio se puede subdividir en secciones infinitesimales. El valor de verdad de esta suposición, que subyace a la geometría euclidiana y sirve como modelo útil en la medición diaria, es una cuestión de especulación filosófica, y puede o no reflejar las realidades cambiantes del "espacio" y la "distancia" en el nivel atómico ( aproximadamente la escala de un nanómetro ). Por ejemplo, la longitud de Planck , muchos órdenes de magnitud menor que un átomo, se propone como la unidad medible más pequeña posible en el universo.
Las líneas costeras son menos definidas en su construcción que los fractales idealizados como el conjunto de Mandelbrot porque están formadas por varios eventos naturales que crean patrones de formas estadísticamente aleatorias , mientras que los fractales idealizados se forman a través de iteraciones repetidas de secuencias simples y formuladas. [6]
Ver también
- Disputa fronteriza de Alaska - Las reclamaciones de Alaska y Canadá sobre el Panhandle de Alaska diferían enormemente, basadas en interpretaciones contrapuestas de la frase ambigua que establece la frontera en "una línea paralela a los sinuosos de la costa", aplicada a la región densa de fiordos.
- Problema de la costa
- Dimensión fractal
- Cuerno de Gabriel , una figura geométrica con un área de superficie infinita pero un volumen finito
- " ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? Autoseimilitud estadística y dimensión fraccional ", artículo de Benoît Mandelbrot
- Paradoja del montón
- Las paradojas de Zenón
Referencias
Citas
- ^ Weisstein, Eric W. "Paradoja de la costa" . MathWorld .
- ^ Richardson, LF (1961). "El problema de la contigüidad: un apéndice a las estadísticas de las peleas mortales". Anuario de Sistemas Generales . 6 . págs. 139-187.
- ^ Mandelbrot, B. (1967). "¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? Auto-semejanza estadística y dimensión fraccional" . Ciencia . 156 (3775): 636–638. Código bibliográfico : 1967Sci ... 156..636M . doi : 10.1126 / science.156.3775.636 . PMID 17837158 . S2CID 15662830 .
- ^ Mandelbrot, Benoit (1983). La geometría fractal de la naturaleza . WH Freeman y Cía . 25–33 . ISBN 978-0-7167-1186-5.
- ^ Post y Eisen, p. 550. (ver más abajo)
- ^ Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe, Caos y fractales: nuevas fronteras de la ciencia ; Primavera de 2004; pag. 424 .
Fuentes
- Post, David G. y Michael Eisen . " ¿Cuánto mide la costa de la ley? Pensamientos sobre la naturaleza fractal de los sistemas legales ". Revista de Estudios Jurídicos XXIX (1), enero de 2000.
enlaces externos
- " Coastlines " en Fractal Geometry (ed. Michael Frame, Benoit Mandelbrot y Nial Neger; mantenido para Math 190a en la Universidad de Yale)
- El Atlas de Canadá - Costa y línea de costa
- Blog NOAA GeoZone en Digital Coast
- ¿Qué es la paradoja de la costa? - Video de YouTube de Veritasium
- Explicación de la paradoja de la costa - video de YouTube de RealLifeLore
