Ley de los gases ideales

La ecuación de estado de un gas ideal hipotético

Termodinámica
El motor térmico clásico de Carnot
Sucursales Clásico Estadístico Químico Termodinámica cuántica Equilibrio  / No equilibrio
Leyes Zeroth Primero Segundo Tercera
Sistemas Sistema cerrado Sistema aislado Expresar Ecuación de estado Gas ideal Gas real Estado de la materia Fase (materia) Equilibrio Control de volumen Instrumentos Procesos Isobárico Isocórico Isotermo Adiabático Isentrópico Isenthalpic Cuasiestático Politrópico Expansión libre Reversibilidad Irreversibilidad Endoreversibilidad Ciclos Motores térmicos Bombas de calor Eficiencia térmica
Propiedades del sistema Nota: Variables conjugadas en cursiva Diagramas de propiedades Propiedades intensivas y extensas Funciones de proceso Trabaja Calor Funciones del estado Temperatura  / Entropía  ( introducción ) Presión  / Volumen Potencial químico  / Número de partículas Calidad de vapor Propiedades reducidas
Propiedades materiales Bases de datos de propiedades Capacidad calorífica específica  ${\displaystyle c=}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \partial T}$ Compresibilidad  ${\displaystyle \beta =-}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \partial p}$ Expansión térmica  ${\displaystyle \alpha =}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \partial T}$
Ecuaciones Teorema de carnot Teorema de clausius Relación fundamental Ley de los gases ideales Relaciones de Maxwell Onsager relaciones recíprocas Ecuaciones de Bridgman Tabla de ecuaciones termodinámicas
Potenciales Energía gratis Entropía libre Energía interna ${\displaystyle U(S,V)}$ Entalpía ${\displaystyle H(S,p)=U+pV}$ Energía libre de Helmholtz ${\displaystyle A(T,V)=U-TS}$ Energía libre de Gibbs ${\displaystyle G(T,p)=H-TS}$
Historia Cultura Historia General Entropía Leyes de los gases Máquinas de "movimiento perpetuo" Filosofía Entropía y tiempo Entropía y vida Trinquete browniano Demonio de Maxwell Paradoja de la muerte por calor La paradoja de Loschmidt Sinergética Teorías Teoría calórica Teoría del calor Vis viva ("fuerza viva") Equivalente mecánico del calor Poder de motivación Publicaciones clave " Una investigación experimental sobre ... el calor " " Sobre el equilibrio de sustancias heterogéneas " " Reflexiones sobre la fuerza motriz del fuego " Líneas de tiempo Termodinámica Motores térmicos Arte Educación Superficie termodinámica de Maxwell Entropía como dispersión de energía
Científicos Bernoulli Boltzmann Carnot Clapeyron Clausius Carathéodory Duhem Gibbs von Helmholtz Joule Maxwell von Mayer Onsager Rankine Smeaton Stahl Thompson Thomson Van der Waals Waterston
Otro Nucleación Autoensamblaje Autoorganización Orden y desorden
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Isotermas de un gas ideal . Las líneas curvas representan la relación entre la presión (en el eje vertical) y el volumen (en el eje horizontal) para un gas ideal a diferentes temperaturas : líneas que están más lejos del origen (es decir, líneas que están más cerca de la parte superior derecha esquina de la mano del diagrama) representan temperaturas más altas.

La ley de los gases ideales , también llamada ecuación general de los gases , es la ecuación de estado de un gas ideal hipotético . Es una buena aproximación del comportamiento de muchos gases en muchas condiciones, aunque tiene varias limitaciones. Se dijo por primera vez por Émile Clapeyron en 1834 como una combinación de lo empírico ley de Boyle , la ley de Charles , la ley de Avogadro y la ley de Gay-Lussac . ^[1] La ley de los gases ideales a menudo se escribe de forma empírica:

${\displaystyle PV=nRT}$

donde , y son la presión , volumen y temperatura ; es la cantidad de sustancia ; y es la constante del gas ideal . Es igual para todos los gases. También se puede derivar de la teoría cinética microscópica , como se logró (aparentemente de forma independiente) por August Krönig en 1856 ^[2] y Rudolf Clausius en 1857. ^[3]${\displaystyle P}$${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$

Tenga en cuenta que esta ley no hace ningún comentario sobre si un gas se calienta o enfría durante la compresión o expansión. Es posible que un gas ideal no cambie de temperatura, pero la mayoría de los gases como el aire no son ideales y siguen el efecto Joule-Thomson . ^{[ dudoso - discutir ]}

Ecuación

Se muestran las colisiones moleculares dentro de un contenedor cerrado (el tanque de propano) (derecha). Las flechas representan los movimientos aleatorios y las colisiones de estas moléculas. La presión y la temperatura del gas son directamente proporcionales: a medida que aumenta la temperatura, la presión del propano aumenta en el mismo factor. Una simple consecuencia de esta proporcionalidad es que en un día caluroso de verano, la presión del tanque de propano se elevará y, por lo tanto, los tanques de propano deben estar clasificados para soportar tales aumentos de presión.

El estado de una cantidad de gas está determinado por su presión, volumen y temperatura. La forma moderna de la ecuación los relaciona simplemente en dos formas principales. La temperatura utilizada en la ecuación de estado es una temperatura absoluta: la unidad SI apropiada es el kelvin . ^[4]

Formas comunes

Las formas introducidas con más frecuencia son:

${\displaystyle pV=nRT=nk_{\text{B}}N_{\text{A}}T,}$

dónde:

• ${\displaystyle p}$es la presión del gas,
• ${\displaystyle V}$es el volumen del gas,
• ${\displaystyle n}$es la cantidad de sustancia de gas (también conocida como número de moles),
• ${\displaystyle R}$es la constante de gas ideal o universal, igual al producto de la constante de Boltzmann y la constante de Avogadro ,
• ${\displaystyle k_{\text{B}}}$es la constante de Boltzmann
• ${\displaystyle N_{A}}$es la constante de Avogadro
• ${\displaystyle T}$es la temperatura absoluta del gas.

En unidades SI , p se mide en pascales , V se mide en metros cúbicos , n se mide en moles y T en kelvin (la escala Kelvin es una escala Celsius desplazada, donde 0.00 K = −273.15 ° C, la temperatura más baja posible ). R tiene el valor 8.314 J / ( K · mol ) ≈ 2 cal / (K · mol), o 0.0821 l · atm / (mol · K).

Forma molar

La cantidad de gas presente podría especificarse dando la masa en lugar de la cantidad química de gas. Por tanto, puede resultar útil una forma alternativa de la ley de los gases ideales. La cantidad química ( n ) (en moles) es igual a la masa total del gas ( m ) (en kilogramos) dividida por la masa molar ( M ) (en kilogramos por mol):

${\displaystyle n={\frac {m}{M}}.}$

Reemplazando n con m / M y posteriormente introduciendo densidad ρ = m / V , obtenemos:

${\displaystyle pV={\frac {m}{M}}RT}$

${\displaystyle p={\frac {m}{V}}{\frac {RT}{M}}}$

${\displaystyle p=\rho {\frac {R}{M}}T}$

Definiendo la constante específica de gas R _{específico (r)} como la relación R / M ,

${\displaystyle p=\rho R_{\text{specific}}T}$

Esta forma de la ley de los gases ideales es muy útil porque vincula la presión, la densidad y la temperatura en una fórmula única independiente de la cantidad del gas considerado. Alternativamente, la ley puede escribirse en términos del volumen específico v , el recíproco de densidad, como

${\displaystyle pv=R_{\text{specific}}T.}$

Es común, especialmente en aplicaciones de ingeniería y meteorológicos, para representar la específica constante de los gases por el símbolo R . En tales casos, a la constante de gas universal se le suele asignar un símbolo diferente, como o para distinguirlo. En cualquier caso, el contexto y / o las unidades de la constante de gas deberían dejar claro si se hace referencia a la constante de gas universal o específica. ^[5]${\displaystyle {\bar {R}}}$${\displaystyle R^{*}}$

Mecánica estadística

En mecánica estadística, la siguiente ecuación molecular se deriva de la primera p

donde P es la presión absoluta del gas, n es la densidad numérica de las moléculas (dada por la relación n = N / V , en contraste con la formulación anterior en la que n es el número de moles ), T es la temperatura absoluta , y k _B es la constante de Boltzmann que relaciona la temperatura y la energía, dada por:

${\displaystyle k_{\text{B}}={\frac {R}{N_{\text{A}}}}}$

donde N _A es la constante de Avogadro .

A partir de esto, notamos que para un gas de masa m , con una masa de partículas promedio de μ veces la constante de masa atómica , m _u , (es decir, la masa es μ u ) el número de moléculas vendrá dado por

${\displaystyle N={\frac {m}{\mu m_{\text{u}}}},}$

y dado que ρ = m / V = nμm _u , encontramos que la ley de los gases ideales se puede reescribir como

${\displaystyle P={\frac {1}{V}}{\frac {m}{\mu m_{\text{u}}}}k_{\text{B}}T={\frac {k_{\text{B}}}{\mu m_{\text{u}}}}\rho T.}$

En unidades SI, P se mide en pascales , V en metros cúbicos, T en kelvin y k _B =1.38 × 10 ⁻²³  J⋅K ⁻¹ en unidades SI .

Ley combinada de los gases

La combinación de las leyes de Charles, Boyle y Gay-Lussac da la ley de los gases combinados , que toma la misma forma funcional que la ley de los gases ideales, salvo que el número de moles no está especificado y la relación de a se toma simplemente como una constante: ^{[ 6]}${\displaystyle PV}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k,}$

donde es la presión del gas, es el volumen del gas, es la temperatura absoluta del gas y es una constante. Al comparar la misma sustancia en dos conjuntos diferentes de condiciones, la ley se puede escribir como${\displaystyle P}$${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\frac {P_{1}V_{1}}{T_{1}}}={\frac {P_{2}V_{2}}{T_{2}}}.}$

Energía asociada a un gas

De acuerdo con los supuestos de la teoría cinética de los gases ideales, asumimos que no existen atracciones intermoleculares entre las moléculas de un gas ideal. En otras palabras, su energía potencial es cero. Por tanto, toda la energía que posee el gas está en la energía cinética de las moléculas del gas.

${\displaystyle E={\frac {3}{2}}nRT}$

Ésta es la energía cinética de n moles de un gas monoatómico que tiene 3 grados de libertad ; x , y , z .

Energía del gas	Expresión matemática
energía asociada con un mol de gas monoatómico	${\displaystyle E={\frac {3}{2}}RT}$
energía asociada con un gramo de un gas monoatómico	${\displaystyle E={\frac {3}{2}}rT}$
energía asociada con una molécula (o átomo) de un gas monoatómico	${\displaystyle E={\frac {3}{2}}k_{B}T}$

Aplicaciones a procesos termodinámicos

La siguiente tabla simplifica esencialmente la ecuación del gas ideal para un proceso en particular, lo que hace que esta ecuación sea más fácil de resolver utilizando métodos numéricos.

Un proceso termodinámico se define como un sistema que pasa del estado 1 al estado 2, donde el número de estado se indica mediante un subíndice. Como se muestra en la primera columna de la tabla, los procesos termodinámicos básicos se definen de manera que una de las propiedades del gas ( P , V , T , S o H ) sea constante durante todo el proceso.

Para un proceso termodinámico dado, para especificar el alcance de un proceso en particular, se debe especificar una de las relaciones de propiedades (que se enumeran en la columna denominada "relación conocida") (ya sea directa o indirectamente). Además, la propiedad para la que se conoce la relación debe ser distinta de la propiedad mantenida constante en la columna anterior (de lo contrario, la relación sería la unidad y no habría suficiente información disponible para simplificar la ecuación de la ley de los gases).

En las últimas tres columnas, las propiedades ( p , V o T ) en el estado 2 se pueden calcular a partir de las propiedades en el estado 1 utilizando las ecuaciones enumeradas.

Proceso	Constante	Razón conocida o delta	p 2	V 2	T 2
Proceso isobárico	Presión	V 2 / V 1	p 2 = p 1	V 2 = V 1 (V 2 / V 1 )	T 2 = T 1 (V 2 / V 1 )
		T 2 / T 1	p 2 = p 1	V 2 = V 1 (T 2 / T 1 )	T 2 = T 1 (T 2 / T 1 )
Proceso isocórico ( proceso isovolumétrico) (proceso isométrico)	Volumen	p 2 / p 1	p 2 = p 1 (p 2 / p 1 )	V 2 = V 1	T 2 = T 1 (p 2 / p 1 )
		T 2 / T 1	p 2 = p 1 (T 2 / T 1 )	V 2 = V 1	T 2 = T 1 (T 2 / T 1 )
Proceso isotermo	La temperatura	p 2 / p 1	p 2 = p 1 (p 2 / p 1 )	V 2 = V 1 / (p 2 / p 1 )	T 2 = T 1
		V 2 / V 1	p 2 = p 1 / (V 2 / V 1 )	V 2 = V 1 (V 2 / V 1 )	T 2 = T 1
Proceso isentrópico ( proceso adiabático reversible )	Entropía [a]	p 2 / p 1	p 2 = p 1 (p 2 / p 1 )	V 2 = V 1 (p 2 / p 1 ) (−1 / γ)	T 2 = T 1 (p 2 / p 1 ) (γ - 1) / γ
		V 2 / V 1	p 2 = p 1 (V 2 / V 1 ) −γ	V 2 = V 1 (V 2 / V 1 )	T 2 = T 1 (V 2 / V 1 ) (1 - γ)
		T 2 / T 1	p 2 = p 1 (T 2 / T 1 ) γ / (γ - 1)	V 2 = V 1 (T 2 / T 1 ) 1 / (1 - γ)	T 2 = T 1 (T 2 / T 1 )
Proceso politrópico	PV n	p 2 / p 1	p 2 = p 1 (p 2 / p 1 )	V 2 = V 1 (p 2 / p 1 ) (-1 / n)	T 2 = T 1 (p 2 / p 1 ) (n - 1) / n
		V 2 / V 1	p 2 = p 1 (V 2 / V 1 ) −n	V 2 = V 1 (V 2 / V 1 )	T 2 = T 1 (V 2 / V 1 ) (1 - n)
		T 2 / T 1	p 2 = p 1 (T 2 / T 1 ) n / (n - 1)	V 2 = V 1 (T 2 / T 1 ) 1 / (1 - n)	T 2 = T 1 (T 2 / T 1 )
Proceso isentálpico ( proceso adiabático irreversible )	Entalpía [b]	p 2 - p 1	p 2 = p 1 + (p 2 - p 1 )		T 2 = T 1 + μ JT (p 2 - p 1 )
		T 2 - T 1	p 2 = p 1 + (T 2 - T 1 ) / μ JT		T 2 = T 1 + (T 2 - T 1 )

^ a.En un proceso isentrópico, laentropía delsistema(S) es constante. En estas condiciones,p₁ V₁^γ=p₂ V₂^γ, dondeγse define como larelación de capacidad calorífica, que es constante para ungascalóricamenteperfecto. El valor usado paraγes típicamente 1.4 para gases diatómicos comonitrógeno(N₂) yoxígeno(O₂), (y aire, que es 99% diatómico). Tambiénγes típicamente 1,6 para gases monoatómicos como los gases nobles helio (He) y argón (Ar). En los motores de combustión interna γ varía entre 1,35 y 1,15, dependiendo de la constitución de los gases y la temperatura.

^ b. En un proceso isentálpico, laentalpía delsistema(H) es constante. En el caso dela expansión librede un gas ideal, no hay interacciones moleculares y la temperatura permanece constante. Para los gases reales, las moléculas interactúan mediante atracción o repulsión dependiendo de la temperatura y la presión, y se produce calentamiento o enfriamiento. Esto se conoce comoefecto Joule-Thomson. Como referencia, el coeficiente de Joule-Thomson μ_JTpara el aire a temperatura ambiente y al nivel del mar es 0.22 ° C /bar. ^[7]

Desviaciones del comportamiento ideal de gases reales

La ecuación de estado dada aquí ( PV = nRT ) se aplica solo a un gas ideal, o como una aproximación a un gas real que se comporta suficientemente como un gas ideal. De hecho, hay muchas formas diferentes de ecuación de estado. Dado que la ley de los gases ideales ignora tanto el tamaño molecular como las atracciones intermoleculares, es más precisa para gases monoatómicos a altas temperaturas y bajas presiones. El descuido del tamaño molecular se vuelve menos importante para densidades más bajas, es decir, para volúmenes más grandes a presiones más bajas, porque la distancia promedio entre moléculas adyacentes se vuelve mucho mayor que el tamaño molecular. La importancia relativa de las atracciones intermoleculares disminuye con el aumento de la energía cinética térmica., es decir, con temperaturas crecientes. Las ecuaciones de estado más detalladas , como la ecuación de van der Waals , explican las desviaciones de la idealidad causadas por el tamaño molecular y las fuerzas intermoleculares.

Una propiedad residual se define como la diferencia entre una propiedad de gas real y una propiedad de gas ideal, ambas consideradas a la misma presión, temperatura y composición.

Derivaciones

Empírico

Las leyes empíricas que llevaron a la derivación de la ley de los gases ideales se descubrieron con experimentos que cambiaron solo 2 variables de estado del gas y mantuvieron constantes todas las demás.

Todas las posibles leyes de los gases que podrían haberse descubierto con este tipo de configuración son:

${\displaystyle {PV}=C_{1}}$ o (1) conocida como ley de Boyle${\displaystyle P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}}$

${\displaystyle {\frac {V}{T}}=C_{2}}$ o (2) conocida como ley de Charles${\displaystyle {\frac {V_{1}}{T_{1}}}={\frac {V_{2}}{T_{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {V}{N}}=C_{3}}$o (3) conocida como ley de Avogadro${\displaystyle {\frac {V_{1}}{N_{1}}}={\frac {V_{2}}{N_{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {P}{T}}=C_{4}}$o (4) conocida como ley de Gay-Lussac${\displaystyle {\frac {P_{1}}{T_{1}}}={\frac {P_{2}}{T_{2}}}}$

${\displaystyle NT=C_{5}}$o (5)${\displaystyle N_{1}T_{1}=N_{2}T_{2}}$

${\displaystyle {\frac {P}{N}}=C_{6}}$o (6)${\displaystyle {\frac {P_{1}}{N_{1}}}={\frac {P_{2}}{N_{2}}}}$

Las relaciones entre Boyle , Charles de , Gay-Lussac de , de Avogadro , combinado y leyes de los gases ideales , con la constante de Boltzmann k _B =R/N _A = n R/norte (en cada ley, las propiedades encerradas en un círculo son variables y las propiedades que no están encerradas en un círculo se mantienen constantes)

donde "P" representa la presión , "V" el volumen , "N" el número de partículas en el gas y "T" la temperatura ; donde no son constantes reales pero están en este contexto debido a que cada ecuación requiere que solo cambien los parámetros anotados explícitamente en ella.${\displaystyle C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},C_{5},C_{6}}$

Para derivar la ley de los gases ideales no es necesario conocer las 6 fórmulas, solo se pueden conocer 3 y con ellas derivar el resto o solo una más para poder obtener la ley de los gases ideales, que necesita 4.

Dado que cada fórmula solo se cumple cuando solo cambian las variables de estado involucradas en dicha fórmula mientras que las demás permanecen constantes, no podemos simplemente usar álgebra y combinarlas todas directamente. Es decir, Boyle hizo sus experimentos manteniendo constantes N y T y esto debe tenerse en cuenta.

Teniendo esto en cuenta, para llevar a cabo la derivación correctamente, uno debe imaginar el gas siendo alterado por un proceso a la vez. La derivación con 4 fórmulas puede verse así:

al principio el gas tiene parámetros ${\displaystyle P_{1},V_{1},N_{1},T_{1}}$

Digamos, comenzando a cambiar solo la presión y el volumen , de acuerdo con la ley de Boyle , luego:

${\displaystyle P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}}$ (7) Después de este proceso, el gas tiene parámetros ${\displaystyle P_{2},V_{2},N_{1},T_{1}}$

Usando luego la Ec. (5) para cambiar el número de partículas en el gas y la temperatura ,

${\displaystyle N_{1}T_{1}=N_{2}T_{2}}$ (8) Después de este proceso, el gas tiene parámetros ${\displaystyle P_{2},V_{2},N_{2},T_{2}}$

Usando luego la Ec. (6) para cambiar la presión y el número de partículas,

${\displaystyle {\frac {P_{2}}{N_{2}}}={\frac {P_{3}}{N_{3}}}}$ (9) Después de este proceso, el gas tiene parámetros ${\displaystyle P_{3},V_{2},N_{3},T_{2}}$

Usando entonces la ley de Charles para cambiar el volumen y la temperatura del gas,

${\displaystyle {\frac {V_{2}}{T_{2}}}={\frac {V_{3}}{T_{3}}}}$ (10) Después de este proceso, el gas tiene parámetros ${\displaystyle P_{3},V_{3},N_{3},T_{3}}$

Usando álgebra simple en las ecuaciones (7), (8), (9) y (10) se obtiene el resultado:

${\displaystyle {\frac {P_{1}V_{1}}{N_{1}T_{1}}}={\frac {P_{3}V_{3}}{N_{3}T_{3}}}}$o , donde representa la constante de Boltzmann .${\displaystyle {\frac {PV}{NT}}=K_{B}}$${\displaystyle K_{B}}$

Otro resultado equivalente, usando el hecho de que , donde "n" es el número de moles en el gas y "R" es la constante universal del gas , es:${\displaystyle nR=NK_{B}}$

${\displaystyle PV=nRT,}$ que se conoce como la ley de los gases ideales.

Si conoce o ha encontrado con un experimento 3 de las 6 fórmulas, puede derivar fácilmente el resto utilizando el mismo método explicado anteriormente; pero debido a las propiedades de dichas ecuaciones, es decir, que solo tienen 2 variables en ellas, no pueden ser 3 fórmulas. Por ejemplo, si tuviera las Ecs. (1), (2) y (4) no podría obtener más porque combinar dos de ellos le dará el tercero; Pero si tuviera las ecuaciones. (1), (2) y (3) podría obtener las 6 ecuaciones sin tener que hacer el resto de los experimentos porque la combinación de (1) y (2) producirá (4), luego (1) y ( 3) producirá (6), luego (4) y (6) producirá (5), así como la combinación de (2) y (3) como se explica visualmente en la siguiente relación visual:

Relación entre las 6 leyes de los gases

donde los números representan las leyes de los gases enumeradas anteriormente.

Si usaras el mismo método usado anteriormente en 2 de las 3 leyes de los vértices de un triángulo que tiene una "O" en su interior, obtendrás la tercera.

Por ejemplo:

Primero cambie solo la presión y el volumen : (1´)${\displaystyle P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}}$

luego solo volumen y temperatura : (2´)${\displaystyle {\frac {V_{2}}{T_{1}}}={\frac {V_{3}}{T_{2}}}}$

entonces, como podemos elegir cualquier valor para , si establecemos , Eq. (2´) se convierte en: (3´)${\displaystyle V_{3}}$${\displaystyle V_{1}=V_{3}}$${\displaystyle {\frac {V_{2}}{T_{1}}}={\frac {V_{1}}{T_{2}}}}$

la combinación de las ecuaciones (1´) y (3´) produce , que es la Ec. (4), del cual no teníamos conocimiento previo hasta esta derivación.${\displaystyle {\frac {P_{1}}{T_{1}}}={\frac {P_{2}}{T_{2}}}}$

Teórico

Teoría cinética

Artículo principal: Teoría cinética de los gases.

La ley de los gases ideales también se puede derivar de los primeros principios utilizando la teoría cinética de los gases , en la que se hacen varias suposiciones simplificadoras, entre las cuales las principales son que las moléculas, o átomos, del gas son masas puntuales, que poseen masa pero no un volumen significativo. , y sufren solo colisiones elásticas entre sí y con los lados del contenedor en el que se conservan tanto el momento lineal como la energía cinética.

Los supuestos fundamentales de la teoría cinética de los gases implican que

${\displaystyle PV={\frac {1}{3}}Nmv_{\text{rms}}^{2}.}$

Usando la distribución de Maxwell-Boltzmann , la fracción de moléculas que tienen una velocidad en el rango de es , donde${\displaystyle v}$${\displaystyle v+dv}$${\displaystyle f(v)\,dv}$

${\displaystyle f(v)=4\pi \left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{\frac {3}{2}}v^{2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}}$

y denota la constante de Boltzmann. La velocidad cuadrática media se puede calcular mediante${\displaystyle k}$

${\displaystyle v_{\text{rms}}^{2}=\int _{0}^{\infty }v^{2}f(v)\,dv=4\pi \left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{\frac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }v^{4}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}\,dv.}$

Usando la fórmula de integración

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,{\frac {(2n)!}{n!}}\left({\frac {a}{2}}\right)^{2n+1},}$

resulta que

${\displaystyle v_{\text{rms}}^{2}=4\pi \left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {\pi }}\,{\frac {4!}{2!}}\left({\frac {\sqrt {\frac {2kT}{m}}}{2}}\right)^{5}={\frac {3kT}{m}},}$

de donde obtenemos la ley de los gases ideales:

${\displaystyle PV={\frac {1}{3}}Nm\left({\frac {3kT}{m}}\right)=NkT.}$

Mecánica estadística

Artículo principal: Mecánica estadística

Deje q = ( q _x , q _y , q _z ) y p = ( p _x , p _y , p _z ) denotar el vector de posición y el vector de momento de una partícula de un gas ideal, respectivamente. Sea F la fuerza neta sobre esa partícula. Entonces, la energía cinética promediada en el tiempo de la partícula es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {F} \rangle &={\Bigl \langle }q_{x}{\frac {dp_{x}}{dt}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {dp_{y}}{dt}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }q_{z}{\frac {dp_{z}}{dt}}{\Bigr \rangle }\\&=-{\Bigl \langle }q_{x}{\frac {\partial H}{\partial q_{x}}}{\Bigr \rangle }-{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {\partial H}{\partial q_{y}}}{\Bigr \rangle }-{\Bigl \langle }q_{z}{\frac {\partial H}{\partial q_{z}}}{\Bigr \rangle }=-3k_{B}T,\end{aligned}}}$

donde la primera igualdad es la segunda ley de Newton y la segunda línea usa las ecuaciones de Hamilton y el teorema de equipartición . Sumando un sistema de N partículas se obtiene

${\displaystyle 3Nk_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }.}$

Según la tercera ley de Newton y el supuesto de gas ideal, la fuerza neta del sistema es la fuerza aplicada por las paredes del recipiente, y esta fuerza está dada por la presión P del gas. Por eso

${\displaystyle -{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }=P\oint _{\mathrm {surface} }\mathbf {q} \cdot d\mathbf {S} ,}$

donde d S es el elemento de área infinitesimal a lo largo de las paredes del contenedor. Dado que la divergencia del vector de posición q es

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {q} ={\frac {\partial q_{x}}{\partial q_{x}}}+{\frac {\partial q_{y}}{\partial q_{y}}}+{\frac {\partial q_{z}}{\partial q_{z}}}=3,}$

el teorema de la divergencia implica que

${\displaystyle P\oint _{\mathrm {surface} }\mathbf {q} \cdot d\mathbf {S} =P\int _{\mathrm {volume} }\left(\nabla \cdot \mathbf {q} \right)dV=3PV,}$

donde dV es un volumen infinitesimal dentro del contenedor y V es el volumen total del contenedor.

Poner estas igualdades juntas produce

${\displaystyle 3Nk_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }=3PV,}$

lo que implica inmediatamente la ley de los gases ideales para N partículas:

${\displaystyle PV=Nk_{B}T=nRT,\,}$

donde n = N / N _A es el número de moles de gas y R = N _A k _B es la constante del gas .

Otras dimensiones

Para un sistema d- dimensional, la presión del gas ideal es: ^[8]

${\displaystyle P^{(d)}={\frac {Nk_{B}T}{L^{d}}},}$

donde es el volumen del dominio d- dimensional en el que existe el gas. Tenga en cuenta que las dimensiones de la presión cambian con la dimensionalidad.${\displaystyle L^{d}}$

Ver también

• Ecuación de Van der Waals  : ecuación de estado del gas que tiene en cuenta el comportamiento del gas no ideal
• Constante de Boltzmann: constante  física que relaciona la energía cinética de las partículas con la temperatura
• Integral de configuración  : función en termodinámica y física estadística
• Presión dinámica  : concepto en dinámica de fluidos
• Energía interna  : energía contenida en un sistema, excluida la energía debido a su posición como cuerpo en campos de fuerza externos o su movimiento general.

Referencias

1. John Hancel Siccuan (2001). "Mémoire sur la puissance motrice de la chaleur". Journal de l'École Polytechnique (en francés). XIV : 153–90. Facsímil en la Bibliothèque nationale de France (págs. 153–90) .
2. John Hancel Siccuan (2001). "Grundzüge einer Theorie der Gase" . Annalen der Physik und Chemie (en alemán). 99 (10): 315-22. Código Bibliográfico : 1856AnP ... 175..315K . doi : 10.1002 / yp.18561751008 . Facsímil en la Bibliothèque nationale de France (págs. 315-22) .
3. Clausius, R. (1857). "Ueber die Art der Bewegung, welche wir Wärme nennen" . Annalen der Physik und Chemie (en alemán). 176 (3): 353–79. Código Bibliográfico : 1857AnP ... 176..353C . doi : 10.1002 / yp.18571760302 . Facsímil en la Bibliothèque nationale de France (págs. 353–79) .
4. "Ecuación de estado" . Archivado desde el original el 23 de agosto de 2014 . Consultado el 29 de agosto de 2010 .
5. Moran; Shapiro (2000). Fundamentos de la ingeniería termodinámica (4ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-31713-6.
6. Raymond, Kenneth W. (2010). Química general, orgánica y biológica: un enfoque integrado (3ª ed.). John Wiley e hijos. pag. 186. ISBN 9780470504765. Consultado el 29 de enero de 2019 .
7. JR Roebuck (1926). "El efecto Joule-Thomson en el aire" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 12 (1): 55–58. Código Bibliográfico : 1926PNAS ... 12 ... 55R . doi : 10.1073 / pnas.12.1.55 . PMC 1084398 . PMID 16576959 .  
8. Khotimah, Siti Nurul; Viridi, Sparisoma (7 de junio de 2011). "Función de partición de gas ideal monoatómico 1, 2 y 3-D: una revisión simple y completa". Jurnal Pengajaran Fisika Sekolah Menengah . 2 (2): 15-18. arXiv : 1106.1273 . Código bibliográfico : 2011arXiv1106.1273N .

Lectura adicional

• Davis; Masten (2002). Principios de Ingeniería y Ciencia Ambientales . Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-235053-9.

Enlaces externos

• "Sitio web que da crédito a Benoît Paul Émile Clapeyron, (1799-1864) en 1834" . Archivado desde el original el 5 de julio de 2007.
• Integral de configuración (mecánica estadística) donde se proporciona una derivación de mecánica estadística alternativa de la ley del gas ideal, utilizando la relación entre la energía libre de Helmholtz y la función de partición , pero sin utilizar el teorema de equipartición. Vu-Quoc, L., Configuración integral (mecánica estadística) , 2008. este sitio wiki está inactivo; consulte este artículo en el archivo web el 28 de abril de 2012 .
• Ecuaciones de gases en detalle