En matemáticas , se dice que dos números reales distintos de cero a y b son conmensurables si su razón a/Bes un número racional ; de lo contrario un y b son llamados inconmensurable . (Recuerde que un número racional es equivalente a la razón de dos enteros ). Existe una noción más general de conmensurabilidad en la teoría de grupos .
Por ejemplo, los números 3 y 2 son conmensurables porque su razón, 3/2, es un número racional. Los números y también son conmensurables porque su razón,, es un número racional. Sin embargo, los números y 2 son inconmensurables porque su razón,, es un número irracional .
De manera más general, es inmediata a partir de la definición que si un y b son dos distintas de cero números racionales, a continuación, una y b son conmensurables; También es inmediato que si una es cualquier número irracional y b es cualquier número distinto de cero racional, entonces un y b son inconmensurables. Por otro lado, si tanto a como b son números irracionales, entonces a y b pueden ser conmensurables o no.
Historia del concepto [ editar ]
A los pitagóricos se les atribuye la prueba de la existencia de números irracionales . [1] [2] Cuando la razón de las longitudes de dos segmentos de línea es irracional, los segmentos de línea en sí mismos (no solo sus longitudes) también se describen como inconmensurables.
En el Libro V de los Elementos de Euclides se desarrolló una doctrina griega antigua separada, más general y tortuosa de la proporcionalidad para la magnitud geométrica para permitir pruebas que involucren longitudes inconmensurables, evitando así argumentos que se aplicaban solo a una definición históricamente restringida de número .
La noción de conmensurabilidad de Euclides se anticipa de pasada en la discusión entre Sócrates y el niño esclavo en el diálogo de Platón titulado Menón , en el que Sócrates usa las propias capacidades inherentes del niño para resolver un complejo problema geométrico a través del Método socrático. Desarrolla una prueba que es, a todos los efectos, de naturaleza muy euclidiana y habla del concepto de inconmensurabilidad. [3]
El uso proviene principalmente de las traducciones de Euclides 's Elementos , en la que dos segmentos de línea a y b son llamados conmensurables precisamente si hay algún tercero segmento c que se puede colocar de extremo a terminar un número entero de veces para producir una congruente segmento a a , y también, con un número entero diferente, un segmento congruente con b . Euclides no usó ningún concepto de número real, pero usó una noción de congruencia de segmentos de línea y de que uno de esos segmentos es más largo o más corto que otro.
Ese a/Bes racional es una condición necesaria y suficiente para la existencia de algún número real c , y los números enteros m y n , tal que
- a = mc y b = nc .
Suponiendo por simplicidad que un y b son positivos , se puede decir que una regla , marcada en unidades de longitud c , podría ser utilizado para medir a cabo tanto un segmento de línea de longitud una , y uno de longitud b . Es decir, hay una unidad común de longitud en términos de las cuales una y b tanto puede ser medido; este es el origen del término. De lo contrario el par un y b son inconmensurables .
En teoría de grupos [ editar ]
En la teoría de grupos , se dice que dos subgrupos Γ 1 y Γ 2 de un grupo G son conmensurables si la intersección Γ 1 ∩ Γ 2 es de índice finito tanto en Γ 1 como en Γ 2 .
Ejemplo: Supongamos una y B sea distinto de cero números reales. A continuación, el subgrupo de los números reales R que genera por un es conmensurable con el subgrupo generado por b si y sólo si los números reales a y b son conmensurables, en el sentido de que un / b es racional. Así, la noción de conmensurabilidad de la teoría de grupos generaliza el concepto de números reales.
Existe una noción similar para dos grupos que no se dan como subgrupos del mismo grupo. Dos grupos G 1 y G 2 son ( abstractamente ) conmensurables si hay subgrupos H 1 ⊂ G 1 y H 2 ⊂ G 2 de índice finito tal que H 1 es isomorfo a H 2 .
En topología [ editar ]
A veces se dice que dos espacios topológicos conectados por caminos son conmensurables si tienen espacios de cobertura homeomórficos de láminas finitas . Dependiendo del tipo de espacio que se esté considerando, es posible que desee utilizar equivalencias de homotopía o difeomorfismos en lugar de homeomorfismos en la definición. Si dos espacios son conmensurables, entonces sus grupos fundamentales son conmensurables.
Ejemplo: dos superficies cerradas cualesquiera del género al menos 2 son conmensurables entre sí.
Referencias [ editar ]
- ^ Kurt von Fritz (1945). "El descubrimiento de la inconmensurabilidad por Hippasus de Metapontum". Los anales de las matemáticas . 46 (2): 242–264. JSTOR 1969021 .Mantenimiento CS1: ref = harv ( enlace )
- ^ James R. Choike (1980). "El pentagrama y el descubrimiento de un número irracional". El diario universitario de matemáticas de dos años . 11 (5): 312–316. doi : 10.1080 / 00494925.1980.11972468 .Mantenimiento CS1: ref = harv ( enlace )
- ^ Meno de Platón. Traducido con anotaciones de George Anastaplo y Laurence Berns. Focus Publishing: Newburyport, MA. 2004. ISBN 0-941051-71-4
