En matemáticas , un teorema de conmutación identifica explícitamente el commutant de un específico von Neumann álgebra que actúa sobre un espacio de Hilbert en la presencia de una traza . El primer resultado de este tipo fue probado por Francis Joseph Murray y John von Neumann en la década de 1930 y se aplica al álgebra de von Neumann generada por un grupo discreto o por el sistema dinámico asociado con una transformación medible que conserva una medida de probabilidad . Otra aplicación importante es la teoría de las representaciones unitarias de Grupos localmente compactos unimodulares , donde la teoría se ha aplicado a la representación regular y otras representaciones estrechamente relacionadas. En particular, este marco condujo a una versión abstracta del teorema de Plancherel para grupos localmente compactos unimodulares debido a Irving Segal y Forrest Stinespring y un teorema abstracto de Plancherel para funciones esféricas asociadas con un par Gelfand debido a Roger Godement . Su trabajo fue puesto en forma definitiva en la década de 1950 por Jacques Dixmier como parte de la teoría de las álgebras de Hilbert . No fue hasta finales de la década de 1960, impulsada en parte por los resultados de la teoría de campos cuánticos algebraicos y la mecánica estadística cuántica de la escuela de Rudolf Haag , que se desarrolló la teoría más general no tracial de Tomita-Takesaki , anunciando una nueva era en la teoría de las álgebras de von Neumann.
Teorema de conmutación para trazas finitas
Sea H un espacio de Hilbert y M un álgebra de von Neumann sobre H con un vector unitario Ω tal que
- M Ω es denso en H
- M 'Ω es denso en H , donde M ' denota el conmutador de M
- ( Ab Ω, Ω) = ( ba Ω, Ω) para todo un , b en M .
El vector Ω se denomina vector de trazas de separación cíclica . Se llama un vector de traza porque el último medio condición de que el coeficiente de la matriz correspondientes a Ω define un tracial estado en M . Se llama cíclico porque Ω genera H como un módulo M topológico . Se llama separación porque si a Ω = 0 para a en M , entonces aM ' Ω = (0), y por lo tanto a = 0.
De ello se deduce que el mapa
para una en M define una isometría conjugado lineal de H con el cuadrado de la identidad J 2 = I . El operador J generalmente se denomina operador de conjugación modular .
Inmediatamente se verifica que JMJ y M conmutan en el subespacio M Ω, de modo que
El teorema de conmutación de Murray y von Neumann establece que
Una de las maneras más fácil de ver esta [1] es introducir K , el cierre del subespacio verdadero M sa Ω, donde M sa denota los elementos autoadjuntos en M . Resulta que
una suma directa ortogonal para la parte real del producto interno. Esto es sólo el verdadero descomposición ortogonal para las ± 1 eigenspaces de J . Por otro lado, para a en M sa y b en M ' sa , el producto interno ( ab Ω, Ω) es real, porque ab es autoadjunto. Por tanto, K no se modifica si M se reemplaza por M '.
En particular, Ω es un vector de trazas para M ' y J no se modifica si M se reemplaza por M '. Entonces la inclusión opuesta
sigue invirtiendo los roles de M y M ' .
Ejemplos de
- Uno de los casos más simples del teorema de la conmutación, donde se puede ver fácilmente directamente, es el de un grupo finito Γ que actúa sobre el espacio de producto interno de dimensión finita. por las representaciones regulares izquierda y derecha λ y ρ. Estas representaciones unitarias vienen dadas por las fórmulas
- por f en y el teorema de la conmutación implica que
- El operador J viene dado por la fórmula
- Exactamente los mismos resultados siguen siendo verdaderos si se permite que Γ sea cualquier grupo discreto contable . [2] El álgebra de von Neumann λ (Γ) '' generalmente se denomina álgebra de grupo de von Neumann de Γ.
- Otro ejemplo importante lo proporciona un espacio de probabilidad ( X , μ). El álgebra de Abelian von Neumann A = L ∞ ( X , μ) actúa mediante operadores de multiplicación en H = L 2 ( X , μ) y la función constante 1 es un vector de trazas de separación cíclica. Resulta que
- de modo que A es un subálgebra abeliana maximal de B ( H ), el álgebra de von Neumann de todos los operadores delimitadas en H .
- La tercera clase de ejemplos combina los dos anteriores. Procedente de la teoría ergódica , fue una de las motivaciones originales de von Neumann para estudiar las álgebras de von Neumann. Sea ( X , μ) un espacio de probabilidad y sea Γ un grupo discreto contable de transformaciones que preservan la medida de ( X , μ). Por tanto, el grupo actúa unitariamente sobre el espacio de Hilbert H = L 2 ( X , μ) según la fórmula
- para f en H y normaliza el álgebra de Abelian von Neumann A = L ∞ ( X , μ). Dejar
- un producto tensorial de los espacios de Hilbert. [3] La construcción del espacio de medida grupal o el producto cruzado del álgebra de von Neumann
- se define como el álgebra de von Neumann en H 1 generada por el álgebra y los operadores normalizadores . [4]
- El vector es un vector de trazas de separación cíclica. Además, el operador de conjugación modular J y el conmutador M 'pueden identificarse explícitamente.
Uno de los casos más importantes de la construcción del espacio de medida de grupo es cuando Γ es el grupo de números enteros Z , es decir, el caso de una sola transformación T medible invertible . Aquí T debe preservar la medida de probabilidad μ. Se requieren trazas semifinitas para manejar el caso cuando T (o más generalmente Γ) solo conserva una medida equivalente infinita ; y se requiere toda la fuerza de la teoría de Tomita-Takesaki cuando no hay una medida invariante en la clase de equivalencia, aunque la clase de equivalencia de la medida se conserva mediante T (o Γ). [5] [6]
Teorema de conmutación para trazas semifinitas
Deje M un álgebra de von Neumann y M + el conjunto de los operadores positivos en M . Por definición, [2] una traza semifinita (oa veces simplemente traza ) en M es una τ funcional de M + en [0, ∞] tal que
- para a , b en M + y λ, μ ≥ 0 (semilinealidad );
- para una en M + y T un operador unitario en M ( invariancia unitaria );
- τ es completamente aditivo en familias ortogonales de proyecciones en M ( normalidad );
- cada proyección en M es como suma directa ortogonal de proyecciones con trazo finito ( semifinitud ).
Si además τ es distinto de cero en cada proyección distinta de cero, entonces τ se denomina traza fiel .
Si τ es una traza fiel en M , sea H = L 2 ( M , τ) la terminación del espacio de Hilbert del espacio interior del producto
con respecto al producto interior
El álgebra de von Neumann M actúa por multiplicación por la izquierda sobre H y puede identificarse con su imagen. Dejar
para a en M 0 . El operador J se llama nuevamente operador de conjugación modular y se extiende a una isometría lineal conjugada de H que satisface J 2 = I. El teorema de conmutación de Murray y von Neumann
vuelve a ser válido en este caso. Este resultado se puede probar directamente mediante una variedad de métodos, [2] pero se sigue inmediatamente del resultado para trazas finitas, mediante el uso repetido del siguiente hecho elemental:
- Si M 1 ⊇ M 2 son dos álgebras de von Neumann tales que p n M 1 = p n M 2 para una familia de proyecciones p n en el conmutador de M 1 aumentando a I en la topología de operador fuerte , entonces M 1 = M 2 .
Álgebras de Hilbert
La teoría de las álgebras de Hilbert fue introducida por Godement (bajo el nombre de "álgebras unitarias"), Segal y Dixmier para formalizar el método clásico de definir la traza para los operadores de clases de trazas a partir de los operadores de Hilbert-Schmidt . [7] Las aplicaciones en la teoría de la representación de grupos conducen naturalmente a ejemplos de álgebras de Hilbert. Cada álgebra de von Neumann dotada de una traza semifinita tiene asociada un álgebra de Hilbert canónica "completada" [8] o "completa"; ya la inversa, un álgebra de Hilbert completada exactamente de esta forma puede asociarse canónicamente con cada álgebra de Hilbert. La teoría de las álgebras de Hilbert se puede utilizar para deducir los teoremas de conmutación de Murray y von Neumann; igualmente bien, los principales resultados de las álgebras de Hilbert también pueden deducirse directamente de los teoremas de conmutación de trazas. La teoría de las álgebras de Hilbert fue generalizada por Takesaki [6] como una herramienta para demostrar teoremas de conmutación para pesos semifinitos en la teoría de Tomita-Takesaki ; se puede prescindir de ellos cuando se trata de estados. [1] [9] [10]
Definición
Un álgebra de Hilbert [2] [11] [12] es un álgebracon involución x → x * y un producto interno (,) tal que
- ( a , b ) = ( b *, a *) para a , b en;
- multiplicación izquierda por una fija una en es un operador acotado;
- * es el adjunto, en otras palabras ( xy , z ) = ( y , x * z );
- el intervalo lineal de todos los productos xy es denso en.
Ejemplos de
- Los operadores de Hilbert-Schmidt en un espacio de Hilbert de dimensión infinita forman un álgebra de Hilbert con producto interno ( a , b ) = Tr ( b * a ).
- Si ( X , μ) es un espacio de medida infinito, el álgebra L ∞ ( X ) L 2 ( X ) es un álgebra de Hilbert con el producto interno habitual de L 2 ( X ).
- Si M es un álgebra de von Neumann con una traza semifinita fiel τ, entonces la * -subálgebra M 0 definida anteriormente es un álgebra de Hilbert con el producto interno ( a , b ) = τ ( b * a ).
- Si G es un grupo localmente compacto unimodular , el álgebra de convolución L 1 ( G )L 2 ( G ) es un álgebra de Hilbert con el producto interno habitual de L 2 ( G ).
- Si ( G , K ) es un par Gelfand , el álgebra de convolución L 1 ( K \ G / K )L 2 ( K \ G / K ) es un álgebra de Hilbert con el producto interno habitual de L 2 ( G ); aquí L p ( K \ G / K ) denota el subespacio cerrado de K -bi funciones invariantes en L p ( G ).
- Cualquier subálgebra densa * de un álgebra de Hilbert es también un álgebra de Hilbert.
Propiedades
Sea H la terminación del espacio de Hilbert decon respecto al producto interior y dejar J denotan la extensión de la involución a una involución conjugado lineal de H . Definir una representación λ y una anti-representación ρ de sobre sí mismo por multiplicación de izquierda y derecha:
Estas acciones se extienden continuamente a las acciones de H . En este caso, el teorema de conmutación para álgebras de Hilbert establece que
Además si
el álgebra de von Neumann generada por los operadores λ ( a ), entonces
Estos resultados fueron demostrados de forma independiente por Godement (1954) y Segal (1953) .
La prueba se basa en la noción de "elementos acotados" en la terminación H del espacio de Hilbert .
Se dice que un elemento de x en H está acotado (relativo a) si el mapa a → xa deen H se extiende a un operador acotado en H , denotado por λ ( x ). En este caso, es sencillo demostrar que: [13]
- Jx también es un elemento acotado, denotado x *, y λ ( x *) = λ ( x ) *;
- a → ax está dado por el operador acotado ρ ( x ) = J λ ( x *) J en H ;
- M 'es generado por ρ ( x ) con x acotado;
- λ ( x ) y ρ ( y ) conmutan para x , y acotado.
El teorema de la conmutación se deriva inmediatamente de la última afirmación. En particular
- M = λ () ".
El espacio de todos los elementos delimitados. forma un álgebra de Hilbert que contiene como una densa * -subálgebra. Se dice que está completo o completo porque cualquier elemento en H acotado en relación conen realidad ya debe estar en . El funcional τ en M + definido por
si x = λ (a) * λ (a) y ∞ en caso contrario, produce una traza semifinita fiel en M con
Por lo tanto:
Existe una correspondencia de uno a uno entre las álgebras de von Neumann en H con trazo semifinito fiel y las álgebras de Hilbert completas con la terminación del espacio de Hilbert H.
Ver también
- álgebra de von Neumann
- Operador afiliado
- Teoría de Tomita-Takesaki
Notas
- ↑ a b Rieffel y van Daele, 1977
- ^ a b c d Dixmier, 1957
- ^ H 1 se puede identificar con el espacio de funciones cuadradas integrables en X x Γ con respecto a la medida del producto .
- ^ No debe confundirse con el álgebra de von Neumann sobre H generado por A y los operadores U g .
- ^ Connes 1979
- ↑ a b Takesaki 2002
- ^ Simon 1979
- ^ Dixmier usa los adjetivos achevée o maximale .
- ^ Pedersen 1979
- ^ Bratteli y Robinson 1987
- ^ Dixmier 1977 , Apéndice A54-A61.
- ^ Dieudonné 1976
- ^ Godement 1954 , págs. 52–53
Referencias
- Bratteli, O .; Robinson, DW (1987), Álgebras de operadores y mecánica estadística cuántica 1, segunda edición , Springer-Verlag, ISBN 3-540-17093-6
- Connes, A. (1979), Sur la théorie non commutative de l'integration , Lecture Notes in Mathematics, (Algèbres d'Opérateurs), Springer-Verlag, págs. 19–143, ISBN 978-3-540-09512-5
- Dieudonné, J. (1976), Tratado de análisis, vol. II , Prensa académica, ISBN 0-12-215502-5
- Dixmier, J. (1957), Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann , Gauthier-Villars
- Dixmier, J. (1981), álgebras de Von Neumann , Holanda Septentrional, ISBN 0-444-86308-7 (Traducción en inglés)
- Dixmier, J. (1969), Representaciones de Les C * -algèbres et leurs , Gauthier-Villars, ISBN 0-7204-0762-1
- Dixmier, J. (1977), C * álgebras , Holanda Septentrional, ISBN 0-7204-0762-1 (Traducción en inglés)
- Godement, R. (1951), "Mémoire sur la théorie des caractères dans les groupes localement compacts unimodulaires", J. Math. Pures Appl. , 30 : 1–110
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