Propiedad conmutativa

Propiedad que permite cambiar el orden de los operandos de una operación

Para otros usos, consulte Conmutar (desambiguación) .

Una operación es conmutativa si y solo si para cada y . Esta imagen ilustra esta propiedad con el concepto de una operación como una "máquina de cálculo". No importa el resultado o, respectivamente, qué orden tienen los argumentos y el resultado final es el mismo.${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle x\circ y=y\circ x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\circ y}$${\displaystyle y\circ x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

En matemáticas , una operación binaria es conmutativa si cambiar el orden de los operandos no cambia el resultado. Es una propiedad fundamental de muchas operaciones binarias y muchas pruebas matemáticas dependen de ella. Más familiar como el nombre de la propiedad que dice "3 + 4 = 4 + 3" o "2 × 5 = 5 × 2" , la propiedad también se puede utilizar en configuraciones más avanzadas. El nombre es necesario porque hay operaciones, como división y resta , que no lo tienen (por ejemplo, "3 - 5 ≠ 5 - 3" ); tales operaciones no son conmutativas, por lo que se denominanoperaciones no conmutativas . Durante muchos años se asumió implícitamente la idea de que las operaciones simples, como la multiplicación y la suma de números, son conmutativas. Así, esta propiedad no fue nombrada hasta el siglo XIX, cuando las matemáticas comenzaron a formalizarse. ^{[1] [2]} Existe una propiedad correspondiente para las relaciones binarias ; se dice que una relación binaria es simétrica si la relación se aplica independientemente del orden de sus operandos; por ejemplo, la igualdad es simétrica ya que dos objetos matemáticos iguales son iguales independientemente de su orden. ^[3]

Usos comunes

La propiedad conmutativa (o ley conmutativa ) es una propiedad generalmente asociada con operaciones y funciones binarias . Si la propiedad conmutativa es válida para un par de elementos en una determinada operación binaria, se dice que los dos elementos se conmutan en esa operación.

Definiciones matemáticas

Más información: función simétrica

El término "conmutativo" se utiliza en varios sentidos relacionados. ^{[4] [5]}

1. Una operación binaria en un conjunto S se llama conmutativa si:${\displaystyle *}$

   ${\displaystyle x*y=y*x\qquad {\mbox{for all }}x,y\in S}$

   Una operación que no satisface la propiedad anterior se llama no conmutativa .
2. Se dice que x conmuta con y bajo si:${\displaystyle *}$

   ${\displaystyle x*y=y*x}$

3. Una función binaria se llama conmutativa si:${\displaystyle f\colon A\times A\to B}$
   ${\displaystyle f(x,y)=f(y,x)\qquad {\mbox{for all }}x,y\in A}$

Ejemplos

Operaciones conmutativas en la vida cotidiana

La acumulación de manzanas, que puede verse como una suma de números naturales, es conmutativa.

• Ponerse los calcetines se asemeja a una operación conmutativa, ya que no es importante qué calcetín se pone primero. De cualquier manera, el resultado (con los dos calcetines puestos) es el mismo. Por el contrario, ponerse ropa interior y pantalones no es conmutativo.
• La conmutatividad de la suma se observa cuando se paga un artículo en efectivo. Independientemente del orden en que se entreguen las facturas, siempre dan el mismo total.

Operaciones conmutativas en matemáticas

La suma de vectores es conmutativa, porque .${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}}$

Dos ejemplos bien conocidos de operaciones binarias conmutativas: ^[4]

• La suma de números reales es conmutativa, ya que

${\displaystyle y+z=z+y\qquad {\mbox{for all }}y,z\in \mathbb {R} }$

Por ejemplo 4 + 5 = 5 + 4, ya que ambas expresiones son iguales a 9.

• La multiplicación de números reales es conmutativa, ya que

${\displaystyle yz=zy\qquad {\mbox{for all }}y,z\in \mathbb {R} }$

Por ejemplo, 3 × 5 = 5 × 3, ya que ambas expresiones son iguales a 15.

Como consecuencia directa de esto, también es cierto que las expresiones en la forma y% de zyz% de y son conmutativas para todos los números reales y y z. ^[6] Por ejemplo, 64% de 50 = 50% de 64, ya que ambas expresiones equivalen a 32, y 30% de 50% = 50% de 30%, ya que ambas expresiones equivalen a 15%.

• Algunas funciones de verdad binarias también son conmutativas, ya que las tablas de verdad para las funciones son las mismas cuando se cambia el orden de los operandos.

Por ejemplo, la función lógica bicondicional p ↔ q es equivalente a q ↔ p. Esta función también se escribe como p IFF q, o como p ≡ q, o como E pq .

La última forma es un ejemplo de la notación más concisa en el artículo sobre funciones de verdad, que enumera las dieciséis posibles funciones de verdad binarias de las cuales ocho son conmutativas: V pq = V qp ; A pq (OR) = A qp ; D pq (NAND) = D qp ; E pq (IFF) = E qp ; J pq = J qp ; K pq (Y) = K qp ; X pq (NOR) = X qp ; O pq = O qp .

• Otros ejemplos de operaciones binarias conmutativas incluyen la suma y multiplicación de números complejos , la suma y multiplicación escalar de vectores y la intersección y unión de conjuntos .

Operaciones no conmutativas en la vida diaria

• La concatenación , el acto de unir cadenas de caracteres, es una operación no conmutativa. Por ejemplo,

EA + T = COMER ≠ TEA = T + EA

• Lavar y secar la ropa se asemeja a una operación no conmutativa; lavar y luego secar produce un resultado marcadamente diferente al de secar y luego lavar.
• Girar un libro 90 ° alrededor de un eje vertical y luego 90 ° alrededor de un eje horizontal produce una orientación diferente que cuando las rotaciones se realizan en el orden opuesto.
• Los giros del cubo de Rubik no son conmutativos. Esto se puede estudiar utilizando la teoría de grupos .
• Los procesos de pensamiento no son conmutativos: una persona hizo una pregunta (A) y luego una pregunta (B) puede dar respuestas diferentes a cada pregunta que una persona hizo primero (B) y luego (A), porque hacer una pregunta puede cambiar el estado de la persona de la mente.
• El acto de vestirse es conmutativo o no conmutativo, según los elementos. Ponerse ropa interior y ropa normal no es conmutativo. Ponerse los calcetines izquierdo y derecho es conmutativo.
• Barajar una baraja de cartas no es conmutativo. Dadas dos formas, A y B, de barajar una baraja de cartas, hacer A primero y luego B en general no es lo mismo que hacer B primero y luego A.

Operaciones no conmutativas en matemáticas

Algunas operaciones binarias no conmutativas: ^[7]

División y resta

La división no es conmutativa, ya que .${\displaystyle 1\div 2\neq 2\div 1}$

La resta no es conmutativa, ya que . Sin embargo, se clasifica más precisamente como anti-conmutativo , ya que .${\displaystyle 0-1\neq 1-0}$${\displaystyle 0-1=-(1-0)}$

Funciones de la verdad

Algunas funciones de verdad no son conmutativas, ya que las tablas de verdad de las funciones son diferentes cuando se cambia el orden de los operandos. Por ejemplo, las tablas de verdad para (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) y (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) son

A	B	A ⇒ B	B ⇒ A
F	F	T	T
F	T	T	F
T	F	F	T
T	T	T	T

Composición de funciones de funciones lineales

La composición de funciones de funciones lineales de los números reales a los números reales es casi siempre no conmutativa. Por ejemplo, dejemos y . Luego${\displaystyle f(x)=2x+1}$${\displaystyle g(x)=3x+7}$

${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15}$

y

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10}$

Esto también se aplica de manera más general a las transformaciones lineales y afines de un espacio vectorial a sí mismo (ver más abajo la representación de Matrix).

Multiplicación de matrices

La multiplicación de matrices cuadradas casi siempre es no conmutativa, por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}}$

Producto vectorial

El producto vectorial (o producto cruzado ) de dos vectores en tres dimensiones es anti-conmutativo ; es decir, b × a = - ( a × b ).

Historia y etimología

El primer uso conocido del término fue en una revista francesa publicada en 1814.

Los registros del uso implícito de la propiedad conmutativa se remontan a la antigüedad. Los egipcios utilizaron la propiedad conmutativa de la multiplicación para simplificar los productos informáticos . ^{[8] [9]} Se sabe que Euclides asumió la propiedad conmutativa de la multiplicación en su libro Elements . ^[10] Los usos formales de la propiedad conmutativa surgieron a finales del siglo XVIII y principios del XIX, cuando los matemáticos comenzaron a trabajar en una teoría de funciones. Hoy en día, la propiedad conmutativa es una propiedad básica y bien conocida que se utiliza en la mayoría de las ramas de las matemáticas.

El primer uso registrado del término conmutativo fue en una memoria de François Servois en 1814, ^{[1] [11]} que usaba la palabra conmutativos al describir funciones que tienen lo que ahora se llama propiedad conmutativa. La palabra es una combinación de la palabra francesa commuter que significa "sustituir o cambiar" y el sufijo -nativo que significa "tender a", por lo que la palabra literalmente significa "tender a sustituir o cambiar". El término apareció entonces en inglés en 1838 ^[2] en el artículo de Duncan Farquharson Gregory titulado "Sobre la naturaleza real del álgebra simbólica" publicado en 1840 en elTransacciones de la Royal Society de Edimburgo . ^[12]

Lógica proposicional

Reglas de transformación
Cálculo proposicional
Reglas de inferencia
Introducción  / eliminación de implicaciones ( modus ponens ) Introducción  / eliminación bicondicional Introducción  / eliminación de conjunción Introducción  / eliminación de disyunción Silogismo disyuntivo  / hipotético Dilema constructivo  / destructivo Absorción  / modus tollens  / modus ponendo tollens
Reglas de reemplazo
Asociatividad Conmutatividad Distributividad Doble negación Leyes de de Morgan Transposición Implicación material Exportación Tautología Introducción a la negación
Lógica de predicados
Reglas de inferencia
Generalización  / instanciación universal Generalización existencial  / instanciación
v t mi

Regla de reemplazo

En la lógica proposicional funcional de verdad, la conmutación , ^{[13] [14]} o la conmutatividad ^{[15] se} refieren a dos reglas válidas de reemplazo . Las reglas permiten transponer variables proposicionales dentro de expresiones lógicas en demostraciones lógicas . Las reglas son:

${\displaystyle (P\lor Q)\Leftrightarrow (Q\lor P)}$

y

${\displaystyle (P\land Q)\Leftrightarrow (Q\land P)}$

donde " " es un símbolo metalológico que representa "se puede reemplazar en una prueba con".${\displaystyle \Leftrightarrow }$

Conectivos funcionales de verdad

La conmutatividad es una propiedad de algunos conectivos lógicos de la lógica proposicional funcional de verdad . Las siguientes equivalencias lógicas demuestran que la conmutatividad es una propiedad de conectivos particulares. Las siguientes son tautologías de función de la verdad .

Conmutatividad de conjunción

${\displaystyle (P\land Q)\leftrightarrow (Q\land P)}$

Conmutatividad de disyunción

${\displaystyle (P\lor Q)\leftrightarrow (Q\lor P)}$

Conmutatividad de implicación (también llamada ley de permutación)

${\displaystyle (P\to (Q\to R))\leftrightarrow (Q\to (P\to R))}$

Conmutatividad de equivalencia (también llamada ley conmutativa completa de equivalencia)

${\displaystyle (P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow (Q\leftrightarrow P)}$

Teoría de conjuntos

En la teoría de grupos y conjuntos , muchas estructuras algebraicas se denominan conmutativas cuando ciertos operandos satisfacen la propiedad conmutativa. En las ramas superiores de las matemáticas, como el análisis y el álgebra lineal, la conmutatividad de operaciones bien conocidas (como la suma y la multiplicación de números reales y complejos) se utiliza a menudo (o se asume implícitamente) en las demostraciones. ^{[16] [17] [18]}

Estructuras matemáticas y conmutatividad

• Un semigrupo conmutativo es un conjunto dotado de una operación total, asociativa y conmutativa.
• Si la operación tiene además un elemento de identidad , tenemos un monoide conmutativo
• Un grupo abeliano o grupo conmutativo es un grupo cuya operación grupal es conmutativa. ^[17]
• Un anillo conmutativo es un anillo cuya multiplicación es conmutativa. (La suma en un anillo es siempre conmutativa). ^[19]
• En un campo, tanto la suma como la multiplicación son conmutativas. ^[20]

Propiedades relacionadas

Asociatividad

Artículo principal: propiedad asociativa

La propiedad asociativa está estrechamente relacionada con la propiedad conmutativa. La propiedad asociativa de una expresión que contiene dos o más ocurrencias del mismo operador establece que las operaciones de orden en que se realizan no afecta el resultado final, siempre que el orden de los términos no cambie. Por el contrario, la propiedad conmutativa establece que el orden de los términos no afecta el resultado final.

La mayoría de las operaciones conmutativas encontradas en la práctica también son asociativas. Sin embargo, la conmutatividad no implica asociatividad. Un contraejemplo es la función

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x+y}{2}},}$

que es claramente conmutativa (intercambiando x y y no afecta el resultado), pero no es asociativa (ya que, por ejemplo, pero ). Se pueden encontrar más ejemplos de este tipo en magmas conmutativos no asociativos .${\displaystyle f(-4,f(0,+4))=-1}$${\displaystyle f(f(-4,0),+4)=+1}$

Distributivo

Artículo principal: propiedad distributiva

Simetría

Gráfico que muestra la simetría de la función de suma

Artículo principal: Simetría en matemáticas

Algunas formas de simetría pueden estar directamente relacionadas con la conmutatividad. Cuando un operador conmutativo se escribe como una función binaria, la función resultante es simétrica a lo largo de la línea . Como ejemplo, si dejamos que una función f represente la suma (una operación conmutativa), entonces es una función simétrica, que se puede ver en la imagen adyacente.${\displaystyle y=x}$${\displaystyle f(x,y)=x+y}$${\displaystyle f}$

Para las relaciones, una relación simétrica es análoga a una operación conmutativa, en el sentido de que si una relación R es simétrica, entonces .${\displaystyle aRb\Leftrightarrow bRa}$

Operadores que no viajan diariamente en mecánica cuántica

Artículo principal: relación de conmutación canónica

En la mecánica cuántica formulada por Schrödinger , las variables físicas están representadas por operadores lineales como (lo que significa multiplicar por ) y . Estos dos operadores no conmutan como puede verse al considerar el efecto de sus composiciones y (también llamados productos de operadores) en una función de onda unidimensional :${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle x{\frac {d}{dx}}}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x}$ ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle x\cdot {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\psi =x\cdot \psi '\ \neq \ \psi +x\cdot \psi '={\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left(x\cdot \psi \right)}$

De acuerdo con el principio de incertidumbre de Heisenberg , si los dos operadores que representan un par de variables no conmutan, entonces ese par de variables son mutuamente complementarias , lo que significa que no pueden medirse simultáneamente ni conocerse con precisión. Por ejemplo, la posición y el momento lineal en la dirección -de una partícula están representados por los operadores y , respectivamente (donde es la constante de Planck reducida ). Este es el mismo ejemplo excepto por la constante , por lo que nuevamente los operadores no conmutan y el significado físico es que la posición y el momento lineal en una dirección dada son complementarios.${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle -i\hbar }$

Ver también

Busque propiedad conmutativa en Wiktionary, el diccionario gratuito.

• Propiedad anticomutativa
• Centralizador y normalizador (también llamado conmutador)
• Diagrama conmutativo
• Conmutativa (neurofisiología)
• Conmutador
• Ley del paralelogramo
• Estadísticas de partículas (para conmutatividad en física )
• Propiedad cuasi conmutativa
• Seguimiento de monoide
• Probabilidad de desplazamiento

Notas

1. Cabillón y Miller, conmutativa y distributiva
2. Flood, Raymond; Rice, Adrian; Wilson, Robin , eds. (2011). Matemáticas en la Gran Bretaña victoriana . Prensa de la Universidad de Oxford . pag. 4. ISBN 9780191627941.
3. Weisstein, Eric W. "Relación simétrica" . MathWorld .
4. Krowne, p.1
5. Weisstein, Conmutar , p.1
6. "Números compatibles para simplificar problemas de porcentaje" . Consultado el 17 de julio de 2020 .
7. Yark, p.1.
8. Lumpkin, p.11
9. Gay y Shute, p.?
10. O'Conner y Robertson, Números reales
11. O'Conner y Robertson, Servois
12. DF Gregory (1840). "Sobre la naturaleza real del álgebra simbólica" . Transacciones de la Royal Society de Edimburgo . 14 : 208–216.
13. Moore y Parker
14. Copi, Irving M .; Cohen, Carl (2005). Introducción a la lógica . Prentice Hall.
15. Hurley, Patrick (1991). Una introducción concisa a la lógica 4ª edición . Publicación de Wadsworth.
16. Axler, p.2
17. Galian, p.34
18. p. 26,87
19. Galian p.236
20. Gallian p.250

Referencias

Libros

• Axler, Sheldon (1997). Álgebra lineal bien hecha, 2e . Saltador. ISBN 0-387-98258-2.

Teoría del álgebra abstracta. Cubre la conmutatividad en ese contexto. Utiliza la propiedad en todo el libro.

• Copi, Irving M .; Cohen, Carl (2005). Introducción a la lógica . Prentice Hall.
• Gallian, Joseph (2006). Álgebra abstracta contemporánea, 6e . Boston, Mass .: Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6.

Teoría del álgebra lineal. Explica la conmutatividad en el capítulo 1, la usa en todas partes.

• Goodman, Frederick (2003). Álgebra: abstracto y concreto, enfatizando la simetría, 2e . Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0.

Teoría del álgebra abstracta. Utiliza la propiedad de conmutatividad en todo el libro.

• Hurley, Patrick (1991). Una introducción concisa a la lógica 4ª edición . Publicación de Wadsworth.

Artículos

• https://web.archive.org/web/20070713072942/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). El legado matemático del antiguo Egipto: una respuesta a Robert Palter. Manuscrito inédito.

Artículo que describe la capacidad matemática de las civilizaciones antiguas.

• Robins, R. Gay y Charles CD Shute. 1987. El papiro matemático de Rhind: un texto egipcio antiguo . Londres: British Museum Publications Limited. ISBN 0-7141-0944-4 

Traducción e interpretación del Papiro matemático de Rhind .

Recursos en línea

• "Conmutatividad" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Krowne, Aaron, conmutativo en PlanetMath ., Consultado el 8 de agosto de 2007.

Definición de conmutatividad y ejemplos de operaciones conmutativas

• Weisstein, Eric W. "Conmutar" . MathWorld ., Consultado el 8 de agosto de 2007.

Explicación del término conmutar

• Yark . Ejemplos de operaciones no conmutativas en PlanetMath ., Consultado el 8 de agosto de 2007

Ejemplos que prueban algunas operaciones no conmutativas

• O'Conner, JJ y Robertson, E. F. MacTutor de la historia de los números reales , consultado el 8 de agosto de 2007

Artículo que da la historia de los números reales.

• Cabillón, Julio y Miller, Jeff. Primeros usos conocidos de términos matemáticos , consultado el 22 de noviembre de 2008

Página que cubre los primeros usos de términos matemáticos

• O'Conner, JJ y Robertson, E. F. MacTutor biografía de François Servois , consultado el 8 de agosto de 2007

Biografía de Francois Servois, quien utilizó por primera vez el término