En la teoría de anillos , una rama del álgebra abstracta , un anillo conmutativo es un anillo en el que la operación de multiplicación es conmutativa . El estudio de los anillos conmutativos se denomina álgebra conmutativa . De manera complementaria, el álgebra no conmutativa es el estudio de anillos no conmutativos donde no se requiere que la multiplicación sea conmutativa.
Definición y primeros ejemplos
Definición
Un anillo es un conjunto equipado con dos operaciones binarias , es decir, operaciones que combinan dos elementos cualesquiera del anillo en un tercero. Se llaman suma y multiplicación y comúnmente se denotan por "" y ""; p.ej y . Para formar un anillo, estas dos operaciones deben satisfacer una serie de propiedades: el anillo debe ser un grupo abeliano en la suma y un monoide en la multiplicación, donde la multiplicación se distribuye sobre la suma; es decir,. Los elementos de identidad para la suma y la multiplicación se indican y , respectivamente.
Si la multiplicación es conmutativa, es decir
Primeros ejemplos
Un ejemplo importante, y en cierto sentido crucial, es el anillo de números enteros con las dos operaciones de suma y multiplicación. Como la multiplicación de números enteros es una operación conmutativa, este es un anillo conmutativo. Por lo general se denotacomo abreviatura de la palabra alemana Zahlen (números).
Un campo es un anillo conmutativo dondey cada elemento distinto de ceroes invertible; es decir, tiene un inverso multiplicativo tal que . Por tanto, por definición, cualquier campo es un anillo conmutativo. Los números racionales , reales y complejos forman campos.
Si es un anillo conmutativo dado, entonces el conjunto de todos los polinomios en la variable cuyos coeficientes están en forma el anillo polinomial , denotado. Lo mismo es válido para varias variables.
Si es un espacio topológico , por ejemplo, un subconjunto de algunos, funciones continuas de valor real o complejo enforman un anillo conmutativo. Lo mismo es cierto para las funciones diferenciables u holomorfas , cuando los dos conceptos están definidos, como parauna variedad compleja .
Divisibilidad
En contraste con los campos, donde cada elemento distinto de cero es multiplicativamente invertible, el concepto de divisibilidad para anillos es más rico. Un elemento de anillo se llama unidad si posee un inverso multiplicativo. Otro tipo particular de elemento son los divisores cero , es decir, un elemento tal que exista un elemento distinto de cero del anillo tal que . Sino posee divisores de cero distintos de cero, se le llama dominio integral (o dominio). Un elemento satisfactorio para algún entero positivo se llama nilpotente .
Localizaciones
La localización de un anillo es un proceso en el que algunos elementos se vuelven invertibles, es decir, se añaden inversos multiplicativos al anillo. Concretamente, sies un subconjunto multiplicativamente cerrado de (es decir, cuando entonces asi es ) luego la localización de a , o anillo de fracciones con denominadores en, generalmente denotado consta de símbolos
sujeto a ciertas reglas que imitan la cancelación familiar de los números racionales. De hecho, en este idioma es la localización de en todos los enteros distintos de cero. Esta construcción funciona para cualquier dominio integral. en vez de . La localizaciónes un campo, llamado campo cociente de.
Ideales y módulos
Muchas de las siguientes nociones también existen para anillos no necesariamente conmutativos, pero las definiciones y propiedades suelen ser más complicadas. Por ejemplo, todos los ideales en un anillo conmutativo son automáticamente de dos caras , lo que simplifica considerablemente la situación.
Módulos e ideales
Por un anillo , un - módulo es como lo que es un espacio vectorial para un campo. Es decir, se pueden agregar elementos en un módulo; se pueden multiplicar por elementos desujeto a los mismos axiomas que para un espacio vectorial. El estudio de módulos es significativamente más complicado que el de espacios vectoriales en álgebra lineal , ya que varias características de los espacios vectoriales fallan para los módulos en general: los módulos no necesitan ser libres , es decir, de la forma
Ideales
Ideales de un anilloson los submódulos de, es decir, los módulos contenidos en . Más detalladamente, un ideal es un subconjunto no vacío de tal que para todos en , y en , ambas cosas y estan en . Para diversas aplicaciones, comprender los ideales de un anillo es de particular importancia, pero a menudo se procede estudiando módulos en general.
Cualquier anillo tiene dos ideales, a saber, el ideal cero. y , todo el anillo. Estos dos ideales son los únicos precisamente sies un campo. Dado cualquier subconjunto de (dónde es un conjunto de índices), el ideal generado por es el ideal más pequeño que contiene . De manera equivalente, está dado por combinaciones lineales finitas
Dominios ideales principales
Si consta de un solo elemento , el ideal generado por consta de los múltiplos de , es decir, los elementos de la forma para elementos arbitrarios . Tal ideal se llama ideal principal . Si todo ideal es un ideal principal,se llama anillo ideal principal ; dos casos importantes son y , el anillo polinomial sobre un campo . Estos dos son además dominios, por lo que se denominan dominios ideales principales .
A diferencia de los anillos generales, para un dominio ideal principal, las propiedades de los elementos individuales están fuertemente ligadas a las propiedades del anillo como un todo. Por ejemplo, cualquier dominio ideal principales un dominio de factorización único (UFD) lo que significa que cualquier elemento es producto de elementos irreductibles, de una manera única (hasta el reordenamiento de factores). Aquí, un elemento a en un dominio se llama irreducible si la única forma de expresarlo como un producto
Un elemento es un elemento primordial si siempre divide un producto , divide o . En un dominio, ser primo implica ser irreductible. Lo contrario es cierto en un dominio de factorización único, pero es falso en general.
El anillo de factor
La definición de ideales es tal que "dividir" "out" da otro timbre, el factor ring / : es el conjunto de clases laterales de junto con las operaciones
Un ideal es apropiado si es estrictamente más pequeño que todo el anillo. Un ideal que no está estrictamente contenido en ningún ideal adecuado se llama máximo . Un ideales máxima si y solo si / es un campo. A excepción del anillo cero , cualquier anillo (con identidad) posee al menos un ideal máximo; esto se sigue del lema de Zorn .
Anillos noetherianos
Un anillo se llama Noetherian (en honor a Emmy Noether , quien desarrolló este concepto) si cada cadena ascendente de ideales
Ser noetheriano es una condición de finitud muy importante, y la condición se conserva en muchas operaciones que ocurren con frecuencia en geometría. Por ejemplo, si es noetheriano, entonces también lo es el anillo polinomial (por el teorema de la base de Hilbert ), cualquier localización, y también cualquier anillo de factor / .
Cualquier anillo que no sea noetheriano es la unión de sus subanillos noetherianos. Este hecho, conocido como aproximación noetheriana , permite la extensión de ciertos teoremas a anillos no noetherianos.
Anillos artinianos
Un anillo se llama Artiniano (en honor a Emil Artin ), si cada cadena descendente de ideales
El espectro de un anillo conmutativo
Ideales primordiales
Como se mencionó anteriormente, es un dominio de factorización único . Esto no es cierto para los anillos más generales, como se dieron cuenta los algebristas en el siglo XIX. Por ejemplo, en
Cualquier ideal máximo es un ideal primordial o, más brevemente, es primordial. Además, un ideal es primo si y solo si el factor anillo / es un dominio integral. Demostrar que un ideal es primo, o lo que es lo mismo, que un anillo no tiene divisores de cero puede ser muy difícil. Sin embargo, otra forma de expresar lo mismo es decir que el complemento es multiplicativamente cerrado. La localización( R \ p ) −1 R es lo suficientemente importante como para tener su propia notación:. Este anillo tiene solo un ideal máximo, a saber. Tales anillos se llaman locales .
El espectro
El espectro de un anillo, [nb 1] denotado por, es el conjunto de todos los ideales primordiales de . Está equipado con una topología, la topología de Zariski , que refleja las propiedades algebraicas de: una base de subconjuntos abiertos viene dada por
El espectro contiene el conjunto de ideales máximos, que ocasionalmente se denota mSpec ( R ). Para un campo algebraicamente cerrado k , mSpec (k [ T 1 , ..., T n ] / ( f 1 , ..., f m )) está en biyección con el conjunto
Por tanto, los ideales máximos reflejan las propiedades geométricas de los conjuntos solución de polinomios, lo que constituye una motivación inicial para el estudio de los anillos conmutativos. Sin embargo, la consideración de ideales no máximos como parte de las propiedades geométricas de un anillo es útil por varias razones. Por ejemplo, los ideales primos mínimas (es decir, los que no contiene estrictamente más pequeños) corresponden a los componentes irreducibles de Spec R . Para un anillo noetheriano R , Spec R tiene solo un número finito de componentes irreducibles. Se trata de una reformulación geométrica de la descomposición primaria , según la cual cualquier ideal puede descomponerse como producto de un número finito de ideales primarios . Este hecho es la generalización final de la descomposición en ideales primarios en los anillos de Dedekind.
Esquemas afines
La noción de espectro es la base común del álgebra conmutativa y la geometría algebraica . La geometría algebraica procede dotando a Spec R con una gavilla (una entidad que recopila funciones definidas localmente, es decir, en diversos subconjuntos abiertos). El dato del espacio y la gavilla se llama esquema afín . Dado un esquema afín, el anillo subyacente R se puede recuperar como las secciones globales de. Además, esta correspondencia uno a uno entre anillos y esquemas afines también es compatible con homomorfismos de anillo: cualquier f : R → S da lugar a un mapa continuo en la dirección opuesta
La equivalencia resultante de las dos categorías mencionadas refleja adecuadamente las propiedades algebraicas de los anillos de una manera geométrica.
De manera similar al hecho de que las variedades están dadas localmente por subconjuntos abiertos de R n , los esquemas afines son modelos locales para esquemas , que son objeto de estudio en geometría algebraica. Por lo tanto, varias nociones relativas a los anillos conmutativos se derivan de la intuición geométrica.
Dimensión
La dimensión Krull (o dimensión) dim R de un anillo R medidas el "tamaño" de un anillo por, en términos generales, contando elementos independientes en R . La dimensión de las álgebras sobre un campo k se puede axiomatizar mediante cuatro propiedades:
- La dimensión es una propiedad local: dim R = sup p ∊ Spec R dim R p .
- La dimensión es independiente de elementos nilpotentes: si I ⊆ R es nilpotent entonces dim R = dim R / I .
- La dimensión permanece constante bajo una extensión finita: si S es un R -algebra que se genera un número finito como un R -módulo, entonces dim S = dim R .
- La dimensión está calibrada por dim k [ X 1 , ..., X n ] = n . Este axioma está motivado por considerar el anillo polinomial en n variables como un análogo algebraico del espacio n -dimensional .
La dimensión se define, para cualquier anillo R , como el supremo de longitudes n de cadenas de ideales primos
Por ejemplo, un campo es de dimensión cero, ya que el único ideal primo es el ideal cero. Los enteros son unidimensionales, ya que las cadenas tienen la forma (0) ⊊ ( p ), donde p es un número primo . Para los anillos que no son noetherianos y también los anillos no locales, la dimensión puede ser infinita, pero los anillos locales noetherianos tienen una dimensión finita. Entre los cuatro axiomas anteriores, los dos primeros son consecuencias elementales de la definición, mientras que los dos restantes dependen de hechos importantes del álgebra conmutativa , el teorema de la subida y el teorema del ideal principal de Krull .
Homomorfismos de anillo
Un homomorfismo de anillo o, más coloquialmente, simplemente un mapa , es un mapa f : R → S tal que
Estas condiciones aseguran que f (0) = 0. De manera similar a otras estructuras algebraicas, un homomorfismo de anillo es, por tanto, un mapa que es compatible con la estructura de los objetos algebraicos en cuestión. En tal situación, S también se llama R -álgebra, al comprender que s en S puede multiplicarse por alguna r de R , estableciendo
El núcleo y la imagen de f están definidos por ker ( f ) = { r ∈ R , f ( r ) = 0} e im ( f ) = f ( R ) = { f ( r ), r ∈ R }. El núcleo es un ideales de R , y la imagen es un subanillo de S .
Un homomorfismo de anillo se denomina isomorfismo si es biyectivo. Un ejemplo de un isomorfismo de anillo, conocido como el teorema del resto chino , es
Los anillos conmutativos, junto con los homomorfismos de anillo, forman una categoría . El anillo Z es el objeto inicial en esta categoría, lo que significa que para cualquier anillo conmutativo R , hay un único anillo homomorfismo Z → R . Por medio de este mapa, un número entero n puede ser considerado como un elemento de R . Por ejemplo, la fórmula binomial
Dadas dos R -álgebras S y T , su producto tensorial
es de nuevo un álgebra R conmutativa. En algunos casos, el producto tensorial puede servir para encontrar un T -algebra que se relaciona con Z como S se refiere a R . Por ejemplo,
Generación finita
Una R -álgebra S se llama generada finitamente (como álgebra) si hay un número finito de elementos s 1 , ..., s n tales que cualquier elemento de s se puede expresar como un polinomio en s i . De manera equivalente, S es isomorfo a
Una condición mucho más fuerte es que S se genera de forma finita como un módulo R , lo que significa que cualquier s puede expresarse como una combinación lineal R de algún conjunto finito s 1 , ..., s n .
Anillos locales
Un anillo se llama local si solo tiene un único ideal máximo, denotado por m . Para cualquier anillo R (no necesariamente local) , la localización
en un primo ideal p es local. Esta localización refleja las propiedades geométricas de Spec R "alrededor de p ". Varias nociones y problemas en álgebra conmutativa pueden reducirse al caso en el que R es local, lo que convierte a los anillos locales en una clase de anillos particularmente estudiada. El campo de residuos de R se define como
Cualquier módulo R M produce un espacio de vector k dado por M / mM . El lema de Nakayama muestra que este pasaje conserva información importante: un módulo M generado de forma finita es cero si y solo si M / mM es cero.
Anillos locales regulares
El espacio de k -vectores m / m 2 es una encarnación algebraica del espacio cotangente . De manera informal, los elementos de m se pueden considerar como funciones que se desvanecen en el punto p , mientras que m 2 contiene las que se desvanecen con orden al menos 2. Para cualquier anillo local noetheriano R , la desigualdad
es verdad, lo que refleja la idea de que el espacio cotangente (o equivalentemente la tangente) tiene al menos la dimensión del espacio Spec R . Si la igualdad es cierta en esta estimación, R se denomina anillo local regular . Un anillo local noetheriano es regular si y solo si el anillo (que es el anillo de funciones en el cono tangente )
Los anillos de valoración discretos están equipados con una función que asigna un número entero a cualquier elemento r . Este número, llamado valoración de r, puede considerarse informalmente como un orden cero o de polos de r . Los anillos de valoración discretos son precisamente los anillos locales regulares unidimensionales. Por ejemplo, el anillo de gérmenes de funciones holomórficas en una superficie de Riemann es un anillo de valoración discreto.
Intersecciones completas
Según el principal teorema ideal de Krull , un resultado fundamental en la teoría de la dimensión de los anillos , la dimensión de
es al menos r - n . Un anillo R se denomina anillo de intersección completo si se puede presentar de una manera que logre este límite mínimo. Esta noción también se estudia principalmente para los anillos locales. Cualquier anillo local regular es un anillo de intersección completo, pero no a la inversa.
Un anillo R es una intersección completa de la teoría de conjuntos si el anillo reducido asociado a R , es decir, el que se obtiene al dividir todos los elementos nilpotentes, es una intersección completa. A partir de 2017, en general se desconoce si las curvas en el espacio tridimensional son intersecciones completas de la teoría de conjuntos. [3]
Anillos de Cohen-Macaulay
La profundidad de un anillo local R es el número de elementos en alguna (o, como puede mostrarse, cualquier) secuencia regular máxima, es decir, una secuencia a 1 , ..., a n ∈ m tal que todos a i no son -cero divisores en
Para cualquier anillo noetheriano local, la desigualdad
sostiene. Un anillo local en el que tiene lugar la igualdad se llama anillo Cohen-Macaulay . Los anillos locales de intersección completos y, a fortiori, los anillos locales regulares son Cohen-Macaulay, pero no a la inversa. Cohen-Macaulay combinan propiedades deseables de anillos regulares (como la propiedad de ser anillos de catenaria universal , lo que significa que la (co) dimensión de los números primos se comporta bien), pero también son más robustos al tomar cocientes que los anillos locales regulares. [4]
Construyendo anillos conmutativos
Hay varias formas de construir nuevos anillos a partir de unos determinados. El objetivo de tales construcciones es a menudo mejorar ciertas propiedades del anillo para hacerlo más fácilmente comprensible. Por ejemplo, un dominio integral que está integralmente cerrado en su campo de fracciones se llama normal . Ésta es una propiedad deseable, por ejemplo, cualquier anillo unidimensional normal es necesariamente regular . La interpretación [ aclaración necesaria ] de un anillo normal se conoce como normalización .
Terminaciones
Si I es un ideal en un anillo conmutativo R , las potencias de I forman vecindarios topológicos de 0 que permiten que R sea visto como un anillo topológico . Esta topología se denomina topología I -ádica . Entonces se puede completar R con respecto a esta topología. Formalmente, la terminación I -ádica es el límite inverso de los anillos R / I n . Por ejemplo, si k es un campo, k [[ X ]], el formal de serie de potencias anillo en una variable sobre k , es la I finalización -adic de k [ X ] donde I es el ideal director generada por X . Este anillo sirve como análogo algebraico del disco. De manera análoga, el anillo de p -enteros ádicos es la terminación de Z con respecto al ideal principal ( p ). Cualquier anillo que sea isomorfo a su propia terminación, se llama completo .
Anillos local completa satisfacer el lema de Hensel , que en términos generales permite extender soluciones (de diversos problemas) sobre el campo residuo k para R .
Nociones homológicas
Se han estudiado varios aspectos más profundos de los anillos conmutativos utilizando métodos del álgebra homológica . Hochster (2007) enumera algunas preguntas abiertas en esta área de investigación activa.
Módulos proyectivos y functores externos
Los módulos proyectivos se pueden definir como sumandos directos de módulos libres. Si R es local, cualquier módulo proyectivo generado de forma finita es realmente gratuito, lo que da contenido a una analogía entre módulos proyectivos y paquetes vectoriales . [5] El teorema de Quillen-Suslin afirma que cualquier módulo proyectivo finitamente generado sobre k [ T 1 , ..., T n ] ( k un campo) es libre, pero en general estos dos conceptos difieren. Un anillo noetheriano local es regular si y solo si su dimensión global es finita, digamos n , lo que significa que cualquier módulo R generado de forma finita tiene una resolución por módulos proyectivos de longitud como máximo n .
La prueba de esta y otras declaraciones relacionadas se basa en el uso de métodos homológicos, como el functor Ext . Este functor es el functor derivado del functor
Este último funtor es exacta si M es proyectivo, pero no de otro modo: para un mapa sobreyectiva E → F de R -modules, un mapa M → M no necesita extenderse a un mapa M → E . Los functores Ext superiores miden la inexactitud del functor Hom. La importancia de esta construcción estándar en las raíces del álgebra homológica se puede ver en el hecho de que un anillo local noetheriano R con un campo de residuos k es regular si y solo si
desaparece para todo lo suficientemente grande n . Además, las dimensiones de estos grupos Ext, conocidos como números de Betti , crecen polinomialmente en n si y solo si R es un anillo de intersección completo local . [6] Un argumento clave en tales consideraciones es el complejo de Koszul , que proporciona una resolución libre explícita del campo de residuos k de un anillo local R en términos de una secuencia regular.
Llanura
El producto tensorial es otro functor no exacto relevante en el contexto de anillos conmutativos: para un módulo R general M , el functor
es solo correcto exacto. Si es exacto, M se llama plano . Si R es local, cualquier módulo plano presentado de forma finita está libre de rango finito, por lo tanto proyectivo. A pesar de estar definida en términos de álgebra homológica, la planitud tiene profundas implicaciones geométricas. Por ejemplo, si una R -algebra S es plana, las dimensiones de las fibras
(para los ideales primos p en R ) tienen la dimensión "esperada", a saber, dim S - dim R + dim ( R / p ).
Propiedades
Según el teorema de Wedderburn , todo anillo de división finita es conmutativo y, por tanto, un campo finito . Otra condición que asegura la conmutatividad de un anillo, debida a Jacobson , es la siguiente: para cada elemento r de R existe un número entero n > 1 tal que r n = r . [7] Si r 2 = r para cada r , el anillo se llama anillo booleano . También se conocen condiciones más generales que garantizan la conmutatividad de un anillo. [8]
Generalizaciones
Anillos conmutativos escalonados
Un anillo graduado R = ⨁ i ∊ Z R i se llama graduado-conmutativo si
Si los R i están conectados por diferenciales ∂ tales que se cumple una forma abstracta de la regla del producto , es decir,
R se llama álgebra graduada diferencial conmutativa (cdga). Un ejemplo es el complejo de formas diferenciales en una variedad , con la multiplicación dada por el producto exterior , es un cdga. La cohomología de un cdga es un anillo conmutativo escalonado, a veces denominado anillo de cohomología . De esta manera surge una amplia gama de ejemplos de anillos graduados. Por ejemplo, el anillo de Lazard es el anillo de clases de cobordismo de variedades complejas.
Un anillo conmutativo graduado con respecto a una clasificación por Z / 2 (en oposición a Z ) se llama superalgebra .
Una noción relacionada es un anillo casi conmutativo , lo que significa que R se filtra de tal manera que el anillo graduado asociado
es conmutativo. Un ejemplo es el álgebra de Weyl y anillos más generales de operadores diferenciales .
Anillos conmutativos simples
Un anillo conmutativo simplicial es un objeto simplicial en la categoría de anillos conmutativos. Son bloques de construcción para la geometría algebraica derivada (conectiva) . Una noción estrechamente relacionada pero más general es la de anillo E ∞ .
Ver también
- Casi anillo , cierta generalización de un anillo conmutativo.
- Divisibilidad (teoría del anillo) : elemento nilpotente , ejemplo: números duales
- Ideales y módulos: Radical de un ideal , equivalencia Morita
- Homomorfismos de timbre: elemento integral : Cayley-Hamilton teorema , dominio Integralmente cerrado , anillo Krull , Krull-Akizuki teorema
- Primos: Primer evitar lema , radical Jacobson , nilradical de un anillo , Spectrum: el espacio compacto , anillo conectado , Cálculo diferencial sobre álgebra conmutativa , Banach teorema de Piedra
- Anillos locales: Anillo de Gorenstein : Dualidad (matemáticas) , Eben Matlis ; Dualizing módulo , el teorema de Popescu , Artin aproximación teorema .
- "Aplicaciones" (anillos conmutativos que surge en matemáticas): funciones holomorfas , Algebraic K-teoría , topológica K-teoría , estructuras de poder dividido , vectores Witt , Hecke álgebra , anillos período de Fontaine , álgebra Cluster , Convolución álgebra (de un grupo conmutativo), ver también álgebra de Fréchet
Notas
- ^ Esta noción se puede relacionar con el espectro de un operador lineal, ver Espectro de un álgebra C * y representación de Gelfand .
Citas
- ^ Matsumura (1989 , p. 143, §7, Comentarios)
- ^ Matsumura (1989 , §19, Teorema 48)
- ↑ Lyubeznik (1989)
- ↑ Eisenbud (1995 , Corolario 18.10, Proposición 18.13)
- ^ Véase también el teorema de Serre-Swan .
- ^ Christensen, Striuli y Veliche (2010)
- ↑ Jacobson, 1945
- ^ Pinter-Lucke 2007
Referencias
- Christensen, Lars Winther; Striuli, Janet; Veliche, Oana (2010), "Crecimiento en la resolución inyectiva mínima de un anillo local", Journal of the London Mathematical Society , Segunda serie, 81 (1): 24–44, arXiv : 0812.4672 , doi : 10.1112 / jlms / jdp058
- Eisenbud, David (1995), álgebra conmutativa. Con miras a la geometría algebraica. , Textos de Posgrado en Matemáticas , 150 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
- Hochster, Melvin (2007), "Conjeturas homológicas, viejas y nuevas" (PDF) , Illinois J. Math. , 51 (1): 151–169, doi : 10.1215 / ijm / 1258735330 , archivado desde el original (PDF) el 2019-10-29 , consultado el 2017-08-01
- Jacobson, Nathan (1945), "Teoría de estructuras de álgebras algebraicas de grado acotado", Annals of Mathematics , 46 (4): 695–707, doi : 10.2307 / 1969205 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969205
- Lyubeznik, Gennady (1989), "Un estudio de problemas y resultados sobre el número de ecuaciones definitorias", Representaciones, resoluciones y números entrelazados , págs. 375–390, Zbl 0753.14001
- Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría del anillo conmutativo , Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2a ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6
- Pinter-Lucke, James (2007), "Condiciones de conmutatividad para anillos: 1950-2005", Expositiones Mathematicae , 25 (2): 165-174, doi : 10.1016 / j.exmath.2006.07.001 , ISSN 0723-0869
Otras lecturas
- Atiyah, Michael ; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Addison-Wesley Publishing Co.
- Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), anillos conmutativos de Noetherian y Krull , Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155615-7
- Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Dimensión, multiplicidad y métodos homológicos , Serie Ellis Horwood: Matemáticas y sus aplicaciones., Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155623-2
- Kaplansky, Irving (1974), Anillos conmutativos (edición revisada), University of Chicago Press , MR 0345945
- Nagata, Masayoshi (1975) [1962], Anillos locales , Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 13 , Interscience Publishers, págs. Xiii + 234, ISBN 978-0-88275-228-0, MR 0155856
- Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre (1958–60), Álgebra conmutativa I, II , Serie universitaria en matemáticas superiores, Princeton, Nueva Jersey: D. van Nostrand, Inc. (Reimpreso de 1975 a 1976 por Springer como volúmenes 28-29 de Textos de posgrado en matemáticas).