En matemáticas , dos elementos x y Y de un conjunto P se dice que son comparables con respecto a una relación binaria ≤ si al menos uno de x ≤ y o y ≤ x es cierto. Se les llama incomparables si no son comparables.
Definición rigurosa
Una relación binaria en un conjunto es por definición cualquier subconjunto de Dado está escrito si y solo si en ese caso se dice que está relacionado con por Un elemento se ha dicho -comparable o comparable ( con respecto a), a un elemento Si o A menudo, un símbolo que indica comparación, como (o y muchos otros) se utiliza en lugar de en ese caso está escrito en lugar de por eso se utiliza el término "comparable".
Comparabilidad con respecto a induce una relación binaria canónica en ; específicamente, la relación de comparabilidad inducida por se define como el conjunto de todos los pares tal que es comparable a ; es decir, tal que al menos uno de y es verdad. Del mismo modo, la relación de incomparabilidad en Inducido por se define como el conjunto de todos los pares tal que es incomparable a es decir, tal que ni ni es verdad.
Si el símbolo se usa en lugar de luego comparabilidad con respecto a a veces se denota con el símbolo , e incomparabilidad por el símbolo . [1] Por lo tanto, para dos elementos cualesquiera y de un conjunto parcialmente ordenado, exactamente uno de y es verdad.
Ejemplo
Un conjunto totalmente ordenado es un conjunto parcialmente ordenado en el que dos elementos cualesquiera son comparables. El teorema de la extensión de Szpilrajn establece que todo orden parcial está contenido en un orden total. Intuitivamente, el teorema dice que cualquier método de comparación de elementos que deje algunos pares incomparables puede extenderse de tal manera que cada par se vuelva comparable.
Propiedades
Tanto la comparabilidad como la incomparabilidad de las relaciones son simétricas , es decir es comparable a si y solo si es comparable a e igualmente por la incomparabilidad.
Gráficos de comparabilidad
El gráfico de comparabilidad de un conjunto parcialmente ordenado tiene como vértices los elementos de y tiene como aristas precisamente esos pares de elementos para los cuales . [2]
Clasificación
Al clasificar objetos matemáticos (por ejemplo, espacios topológicos ), se dice que dos criterios son comparables cuando los objetos que obedecen a un criterio constituyen un subconjunto de los objetos que obedecen al otro, es decir, cuando son comparables bajo el orden parcial ⊂. Por ejemplo, los criterios T 1 y T 2 son comparables, mientras que los criterios T 1 y de sobriedad no lo son.
Ver también
- Ordenamiento estrictamente débil , un ordenamiento parcial en el que la incomparabilidad es una relación transitiva
Referencias
"PlanetMath: orden parcial" . Consultado el 6 de abril de 2010 .
- ^ Trotter, William T. (1992), Combinatoria y conjuntos parcialmente ordenados: teoría de la dimensión , Johns Hopkins Univ. Presione, p. 3
- ^ Gilmore, PC; Hoffman, AJ (1964), "Una caracterización de gráficos de comparabilidad y de gráficos de intervalo" , Canadian Journal of Mathematics , 16 : 539–548, doi : 10.4153 / CJM-1964-055-5.