En la mecánica del continuo , una compatible deformación (o cepa ) campo tensor en un cuerpo es que único campo tensor que se obtiene cuando el cuerpo está sometido a un continuo , de un solo valor , campo de desplazamiento . La compatibilidad es el estudio de las condiciones en las que se puede garantizar dicho campo de desplazamiento. Las condiciones de compatibilidad son casos particulares de condiciones de integrabilidad y fueron derivadas por primera vez para la elasticidad lineal por Barré de Saint-Venant en 1864 y probadas rigurosamente por Beltrami.en 1886. [1]
En la descripción del continuo de un cuerpo sólido, imaginamos que el cuerpo está compuesto por un conjunto de volúmenes infinitesimales o puntos materiales. Se supone que cada volumen está conectado a sus vecinos sin espacios ni superposiciones. Deben cumplirse ciertas condiciones matemáticas para garantizar que no se desarrollen huecos / superposiciones cuando se deforma un cuerpo continuo. Un cuerpo que se deforma sin desarrollar espacios o superposiciones se denomina cuerpo compatible . Las condiciones de compatibilidad son condiciones matemáticas que determinan si una deformación particular dejará un cuerpo en un estado compatible. [2]
En el contexto de la teoría de la deformación infinitesimal , estas condiciones equivalen a afirmar que los desplazamientos en un cuerpo se pueden obtener integrando las deformaciones . Tal integración es posible si el tensor de Saint-Venant (o tensor de incompatibilidad)desaparece en un cuerpo simplemente conectado [3] dondees el tensor de deformación infinitesimal y
Para deformaciones finitas, las condiciones de compatibilidad toman la forma
dónde es el gradiente de deformación .
Condiciones de compatibilidad para cepas infinitesimalesLas condiciones de compatibilidad en elasticidad lineal se obtienen observando que hay seis relaciones deformación-desplazamiento que son funciones de sólo tres desplazamientos desconocidos. Esto sugiere que los tres desplazamientos pueden eliminarse del sistema de ecuaciones sin pérdida de información. Las expresiones resultantes en términos de solo las deformaciones proporcionan restricciones sobre las posibles formas de un campo de deformación.
2 dimensiones
Para problemas de deformación plana bidimensionales, las relaciones deformación-desplazamiento son
Diferenciación repetida de estas relaciones, con el fin de eliminar los desplazamientos y , nos da la condición de compatibilidad bidimensional para cepas
El único campo de desplazamiento permitido por un campo de deformación plano compatible es un campo de desplazamiento plano , es decir,.
3 dimensiones
En tres dimensiones, además de dos ecuaciones más de la forma vista para dos dimensiones, hay tres ecuaciones más de la forma
Por lo tanto, hay 3 4 = 81 ecuaciones diferenciales parciales; sin embargo, debido a condiciones de simetría, este número se reduce a seis condiciones de compatibilidad diferentes. Podemos escribir estas condiciones en notación de índice como [4]
dónde es el símbolo de permutación . En notación tensorial directa
donde el operador de rizo se puede expresar en un sistema de coordenadas ortonormal como .
El tensor de segundo orden
se conoce como tensor de incompatibilidad y es equivalente al tensor de compatibilidad de Saint-Venant
Condiciones de compatibilidad para cepas finitasPara sólidos en los que no se requiere que las deformaciones sean pequeñas, las condiciones de compatibilidad toman la forma
dónde es el gradiente de deformación . En términos de componentes con respecto a un sistema de coordenadas cartesiano, podemos escribir estas relaciones de compatibilidad como
Esta condición es necesaria si la deformación debe ser continua y derivada del mapeo.(ver Teoría de la deformación finita ). La misma condición también es suficiente para garantizar la compatibilidad en un cuerpo simplemente conectado .
Condición de compatibilidad para el tensor de deformación de Cauchy-Green correcto
La condición de compatibilidad para el tensor de deformación de Cauchy-Green derecho se puede expresar como
dónde es el símbolo de Christoffel del segundo tipo . La cantidadrepresenta los componentes mixtos del tensor de curvatura de Riemann-Christoffel .
El problema general de compatibilidadEl problema de la compatibilidad en la mecánica del continuo implica la determinación de campos continuos de valor único admisibles en cuerpos simplemente conectados. Más precisamente, el problema se puede plantear de la siguiente manera. [5]
Figura 1. Movimiento de un cuerpo continuo.
Considere la deformación de un cuerpo que se muestra en la Figura 1. Si expresamos todos los vectores en términos del sistema de coordenadas de referencia , el desplazamiento de un punto del cuerpo viene dado por
También
¿Qué condiciones en un campo tensorial de segundo orden dado en un cuerpo son necesarios y suficientes para que exista un campo vectorial único que satisface
Condiciones necesarias
Para las condiciones necesarias asumimos que el campo existe y satisface . Luego
Dado que cambiar el orden de diferenciación no afecta el resultado, tenemos
Por eso
De la conocida identidad para el rizo de un tensor obtenemos la condición necesaria
Condiciones suficientes
Figura 2. Rutas de integración utilizadas para probar las condiciones de suficiencia para la compatibilidad.
Para demostrar que esta condición es suficiente para garantizar la existencia de un campo tensorial de segundo orden compatible, partimos del supuesto de que un campo existe tal que . Integraremos este campo para encontrar el campo vectorial a lo largo de una línea entre puntos y (ver Figura 2), es decir,
Si el campo vectorial debe ser de un solo valor, entonces el valor de la integral debe ser independiente del camino tomado para ir desde a .
Según el teorema de Stokes , la integral de un tensor de segundo orden a lo largo de una trayectoria cerrada está dada por
Usando el supuesto de que el rizo de es cero, obtenemos
Por lo tanto, la integral es independiente de la ruta y la condición de compatibilidad es suficiente para garantizar una campo, siempre que el cuerpo esté simplemente conectado.
Compatibilidad del gradiente de deformaciónLa condición de compatibilidad para el gradiente de deformación se obtiene directamente de la prueba anterior observando que
Entonces las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de un compatible campo sobre un cuerpo simplemente conectado son
Compatibilidad de cepas infinitesimalesEl problema de compatibilidad para cepas pequeñas se puede enunciar de la siguiente manera.
Dado un campo tensorial simétrico de segundo orden ¿Cuándo es posible construir un campo vectorial? tal que
Condiciones necesarias
Supongamos que existe tal que la expresión para sostiene. Ahora
dónde
Por lo tanto, en notación de índice,
Si es continuamente diferenciable tenemos . Por eso,
En notación tensorial directa
Las anteriores son condiciones necesarias. Sies el vector de rotación infinitesimal entonces. Por tanto, la condición necesaria también puede escribirse como.
Condiciones suficientes
Supongamos ahora que la condición se satisface en una porción de un cuerpo. ¿Es esta condición suficiente para garantizar la existencia de un campo de desplazamiento continuo de un solo valor??
El primer paso en el proceso es mostrar que esta condición implica que el tensor de rotación infinitesimal está definido de forma única. Para hacer eso integramos a lo largo del camino a , es decir,
Tenga en cuenta que necesitamos conocer una referencia para fijar la rotación del cuerpo rígido. El campo se determina unívocamente sólo si la integral del contorno a lo largo de un contorno cerrado entre y es cero, es decir,
Pero del teorema de Stokes para un cuerpo simplemente conectado y la condición necesaria para la compatibilidad
Por tanto, el campo está definido de forma única, lo que implica que el tensor de rotación infinitesimal también se define de forma única, siempre que el cuerpo esté simplemente conectado.
En el siguiente paso del proceso, consideraremos la singularidad del campo de desplazamiento. . Como antes, integramos el gradiente de desplazamiento.
Del teorema de Stokes y usando las relaciones tenemos
De ahí el campo de desplazamiento también se determina de forma única. Por tanto, las condiciones de compatibilidad son suficientes para garantizar la existencia de un campo de desplazamiento único. en un cuerpo simplemente conectado.
Compatibilidad para el campo derecho de deformación Cauchy-GreenEl problema de compatibilidad para el campo de deformación de Cauchy-Green derecho se puede plantear de la siguiente manera.
Problema: dejaser un campo tensor simétrico definido positivo definido en la configuración de referencia. ¿En qué condiciones en ¿Existe una configuración deformada marcada por el campo de posición? tal que
Condiciones necesarias
Supongamos que un campo existe que satisface la condición (1). En términos de componentes con respecto a una base cartesiana rectangular
De la teoría de la deformación finita sabemos que. Por tanto, podemos escribir
Para dos campos tensoriales simétricos de segundo orden que están mapeados uno a uno, también tenemos la relación
De la relación entre de y que , tenemos
Entonces, de la relación
tenemos
De la teoría de la deformación finita también tenemos
Por lo tanto,
y tenemos
Nuevamente, usando la naturaleza conmutativa del orden de diferenciación, tenemos
o
Después de recopilar los términos obtenemos
De la definición de observamos que es invertible y, por tanto, no puede ser cero. Por lo tanto,
Podemos mostrar que estos son los componentes mixtos del tensor de curvatura de Riemann-Christoffel . Por tanto, las condiciones necesarias para-compatibilidad son que la curvatura de Riemann-Christoffel de la deformación es cero.
Condiciones suficientes
La prueba de suficiencia es un poco más complicada. [5] [6] Partimos de la suposición de que
Tenemos que demostrar que existen y tal que
A partir de un teorema de TYThomas [7] sabemos que el sistema de ecuaciones
tiene soluciones únicas sobre dominios simplemente conectados si
El primero de ellos es cierto a partir de la definición de y se supone el segundo. Por tanto, la condicin asumida nos da un nico es decir continuo.
A continuación, considere el sistema de ecuaciones
Desde es y el cuerpo simplemente está conectado, existe alguna solución a las ecuaciones anteriores. Podemos demostrar que el también satisfacen la propiedad que
También podemos mostrar que la relación
implica que
Si asociamos estas cantidades con campos tensoriales podemos mostrar que es invertible y el campo tensorial construido satisface la expresión para .
Ver tambiénReferencias- ^ C Amrouche, PG Ciarlet , L Gratie, S Kesavan, Sobre las condiciones de compatibilidad de Saint Venant y el lema de Poincaré, CR Acad. Sci. París, Ser. Yo, 342 (2006), 887-891. doi : 10.1016 / j.crma.2006.03.026
- ^ Barber, JR, 2002, Elasticity - 2nd Ed., Publicaciones académicas de Kluwer.
- ^ NI Muskhelishvili, Algunos problemas básicos de la teoría matemática de la elasticidad. Leyden: Pasante de Noordhoff. Publ., 1975.
- ^ Slaughter, WS, 2003, La teoría linealizada de la elasticidad , Birkhauser
- ^ a b Acharya, A., 1999, Sobre las condiciones de compatibilidad para el campo de deformación de Cauchy-Green izquierdo en tres dimensiones , Journal of Elasticity, Volumen 56, Número 2, 95-105
- ^ Blume, JA, 1989, "Condiciones de compatibilidad para un campo de deformación Cauchy-Green izquierdo", J. Elasticity, v. 21, p. 271-308.
- ^ Thomas, TY, 1934, "Sistemas de ecuaciones diferenciales totales definidos sobre dominios simplemente conectados", Annals of Mathematics, 35 (4), p. 930-734
enlaces externos- Notas de Amit Acharya sobre compatibilidad en iMechanica
- Plasticidad por J. Lubliner, sec. 1.2.4 p. 35