En matemáticas , el conjugado complejo de un número complejo es el número con una parte real y una parte imaginaria iguales en magnitud pero de signo opuesto . Es decir, (si un y b son reales, entonces) el complejo conjugado de es igual a El complejo conjugado de a menudo se denota como .
En forma polar , el conjugado de es . Esto se puede demostrar usando la fórmula de Euler .
El producto de un número complejo y su conjugado es un número real: (o en coordenadas polares ).
Si una raíz de un polinomio univariado con coeficientes reales es compleja, entonces su conjugado complejo también es una raíz .
Notación
El complejo conjugado de un número complejo. está escrito como o . La primera notación, un vinculum , evita la confusión con la notación para la transposición conjugada de una matriz , que puede considerarse como una generalización del conjugado complejo. El segundo se prefiere en física , donde la daga (†) se usa para la transposición conjugada, mientras que la notación de barra es más común en matemáticas puras . Si un número complejo se representa como una matriz de 2 × 2 , las notaciones son idénticas. [ aclaración necesaria ]
Propiedades
Las siguientes propiedades se aplican para todos los números complejos z y w , a menos que se indique lo contrario, y pueden ser probados por escrito z y w en la forma de un + bi .
Para dos números complejos cualesquiera, la conjugación es distributiva sobre la suma, resta, multiplicación y división: [1]
Un número complejo es igual a su conjugado complejo si su parte imaginaria es cero, o equivalentemente, si el número es real. En otras palabras, los números reales son los únicos puntos fijos de conjugación.
La conjugación no cambia el módulo de un número complejo: .
La conjugación es una involución , es decir, el conjugado del conjugado de un número complejo z es z . En símbolos,. [1]
El producto de un número complejo con su conjugado es igual al cuadrado del módulo del número. Esto permite calcular fácilmente el inverso multiplicativo de un número complejo dado en coordenadas rectangulares.
La conjugación es conmutativa en composición con exponenciación a potencias enteras, con la función exponencial y con el logaritmo natural para argumentos distintos de cero:
- si z es distinto de cero
Si es un polinomio con coeficientes reales y, luego también. Por lo tanto, las raíces no reales de los polinomios reales ocurren en pares conjugados complejos ( consulte el teorema de la raíz conjugada compleja ).
En general, si es una función holomórfica cuya restricción a los números reales es de valor real, y y están definidos, entonces
El mapa de a es un homeomorfismo (donde la topología ense toma como la topología estándar) y antilineal , si se consideracomo un espacio vectorial complejo sobre sí mismo. Aunque parece ser una función de buen comportamiento , no es holomórfica ; invierte la orientación mientras que las funciones holomórficas conservan localmente la orientación. Es biyectivo y compatible con las operaciones aritméticas y, por tanto, es un automorfismo de campo . Como mantiene fijos los números reales, es un elemento del grupo de Galois de la extensión de campo . Este grupo de Galois tiene solo dos elementos: y la identidad en . Así, los únicos dos automorfismos de campo de que dejan fijos los números reales son el mapa de identidad y la conjugación compleja.
Usar como variable
Una vez un número complejo o se da, su conjugado es suficiente para reproducir las partes de la variable z :
- Parte real:
- Parte imaginaria:
- Módulo (o valor absoluto) :
- Argumento :, entonces
Además, se puede utilizar para especificar líneas en el plano: el conjunto
es una línea que pasa por el origen y es perpendicular a , ya que la parte real de es cero solo cuando el coseno del ángulo entre y es cero. Del mismo modo, para una unidad compleja fija, la ecuacion
determina la línea a través de paralelo a la línea que pasa por 0 y .
Estos usos del conjugado de como una variable se ilustran en Frank Morley 's libro inversiva Geometría (1933), escrito con su hijo Frank Morley Vigor.
Generalizaciones
Las otras álgebras reales planas, números duales y números complejos divididos también se analizan mediante conjugación compleja.
Para matrices de números complejos, , dónde representa la conjugación elemento por elemento de . [2] Compare esto con la propiedad, dónde representa la transposición conjugada de.
Tomar la transposición conjugada (o adjunta) de matrices complejas generaliza la conjugación compleja. Aún más general es el concepto de operador adjunto para operadores en espacios de Hilbert complejos (posiblemente de dimensión infinita) . Todo esto está subsumido por las * -operaciones de C * -álgebras .
También se puede definir una conjugación de cuaterniones y cuaterniones divididos : el conjugado de es .
Todas estas generalizaciones son multiplicativas solo si los factores se invierten:
Dado que la multiplicación de álgebras reales planas es conmutativa , esta inversión no es necesaria allí.
También existe una noción abstracta de conjugación para espacios vectoriales. sobre los números complejos . En este contexto, cualquier mapa antilineal que satisface
- , dónde y es el mapa de identidad en,
- para todos , , y
- para todos , ,
se llama conjugación compleja o estructura real . Como la involuciónes antilineal , no puede ser el mapa de identidad en.
Por supuesto, es un -transformación lineal de , si se nota que todo espacio complejo V tiene una forma real obtenida tomando los mismos vectores que en el espacio original y restringiendo los escalares para que sean reales. Las propiedades anteriores realmente definen una estructura real en el espacio vectorial complejo. [3]
Un ejemplo de esta noción es la operación de transposición conjugada de matrices complejas definidas anteriormente. Sin embargo, en los espacios vectoriales complejos genéricos, no existe una noción canónica de conjugación compleja.
Ver también
- Cuadrado absoluto
- Línea conjugada compleja
- Representación conjugada compleja
- Espacio vectorial conjugado complejo
- Álgebra de composición
- Conjugado (raíces cuadradas)
- Derivados de Wirtinger
Referencias
- ↑ a b Friedberg, Stephen; Insel, Arnold; Spence, Lawrence (2018), Álgebra lineal (5 ed.), ISBN 978-0134860244, Apéndice D
- ^ Arfken, Métodos matemáticos para físicos , 1985, pág. 201
- ^ Budinich, P. y Trautman, A. El tablero de ajedrez Spinorial . Springer-Verlag, 1988, pág. 29
Bibliografía
- Budinich, P. y Trautman, A. The Spinorial Chessboard . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (los mapas antilineales se analizan en la sección 3.3).