Una ecuación diferencial compleja es una ecuación diferencial cuyas soluciones son funciones de una variable compleja .
La construcción de integrales implica la elección de qué camino tomar, lo que significa que es necesario estudiar las singularidades y los puntos de ramificación de la ecuación. La continuación analítica se utiliza para generar nuevas soluciones y esto significa que se deben tener en cuenta consideraciones topológicas como la monodromía , los revestimientos y la conectividad .
Los teoremas de existencia y unicidad implican el uso de mayores y menores .
El estudio de las EDO racionales de segundo orden en el plano complejo condujo al descubrimiento de nuevas funciones especiales trascendentales , que ahora se conocen como trascendentes Painlevé .
La teoría de Nevanlinna se puede utilizar para estudiar ecuaciones diferenciales complejas. Esto conduce a extensiones del teorema de Malmquist . [1]
Generalizaciones
Las generalizaciones incluyen ecuaciones diferenciales parciales en varias variables complejas o ecuaciones diferenciales en variedades complejas . [2] También hay al menos un par de formas de estudiar ecuaciones en diferencias complejas : estudiar funciones holomórficas [3] que satisfacen relaciones funcionales dadas por la ecuación en diferencias o estudiar análogos discretos [4] de holomorficidad como funciones monodiféricas . También se pueden estudiar ecuaciones integrales en el dominio complejo. [5]
Historia
Algunos de los primeros contribuyentes a la teoría de ecuaciones diferenciales complejas incluyen:
Ver también
- Método Frobenius
- Ecuación de Heun
- Ecuación diferencial hipergeométrica
- Ecuación diferencial de Riemann
- Problema de Riemann-Hilbert
- Correspondencia de Riemann-Hilbert
- Derivado de Schwarzian
- Ecuaciones de Knizhnik – Zamolodchikov
Referencias
- ^ Eremenko, A. (1982). "Soluciones meromórficas de ecuaciones diferenciales algebraicas" (PDF) . Encuestas matemáticas rusas . 37 (4): 61–94. CiteSeerX 10.1.1.139.8499 . doi : 10.1070 / RM1982v037n04ABEH003967 .
- ^ So-Chin Chen; Mei-Chi Shaw (2002). Ecuaciones diferenciales parciales en varias variables complejas . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-2961-5.
- ^ Ecuaciones en diferencias complejas del tipo Malmquist Archivado el 25 de agosto de 2005 en la Wayback Machine.
- ^ Una introducción a funciones complejas en el producto de dos escalas de tiempo
- ^ Soluciones analíticas a ecuaciones integrales en el dominio complejo
Otras lecturas
- Einar Hille (1976). Ecuaciones diferenciales ordinarias en el dominio complejo . Wiley. ISBN 978-0-471-39964-3., reimpreso por Dover, 1997.
- E. Ince (1926). Ecuaciones diferenciales ordinarias . Dover., reimpreso por Dover, 2003.
- Gromak, Laine, Shimomura (2002). Ecuaciones diferenciales de Painlevé en el plano complejo . de Gruyter. ISBN 978-3-11-017379-6.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- Ilpo Laine (1992). Teoría de Nevanlinna y ecuaciones diferenciales complejas . de Gruyter. ISBN 978-3-11-013422-3.
- Niels Erik Nörlund (1924). Vorlesungen uber Differenzenrechnung . Saltador., reimpreso por Chelsea 1954