s -plane

En matemáticas e ingeniería , el plano s es el plano complejo en el que se grafican las transformadas de Laplace . Es un dominio matemático donde, en lugar de ver los procesos en el dominio del tiempo modelados con funciones basadas en el tiempo , se ven como ecuaciones en el dominio de la frecuencia . Se utiliza como herramienta de análisis gráfico en ingeniería y física.

Una función real ${\ Displaystyle f}$ a tiempo ${\ Displaystyle t}$ se traduce al plano s tomando la integral de la función multiplicada por ${\ displaystyle e ^ {- st}}$ de ${\ Displaystyle 0}$ a ${\ Displaystyle \ infty}$ donde s es un número complejo con la forma ${\ Displaystyle s = \ sigma + i \ omega}$ .

{\ Displaystyle F (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- st} \, dt \; | \; s \; \ in \ mathbb {C}}

Esta transformación del dominio t al dominio s se conoce como transformada de Laplace y la función ${\ Displaystyle F (s)}$ se llama la transformada de Laplace de ${\ Displaystyle f}$ . La transformada de Laplace es análoga al proceso del análisis de Fourier ; de hecho, las series de Fourier son un caso especial de la transformada de Laplace. En el análisis de Fourier , las ondas armónicas seno y coseno se multiplican en la señal, y la integración resultante proporciona una indicación de una señal presente en esa frecuencia (es decir, la energía de la señal en un punto en el dominio de la frecuencia). La transformada de Laplace hace lo mismo, pero de manera más general. La ${\ displaystyle e ^ {- st}}$ no solo captura la respuesta de frecuencia a través de su imaginario ${\ Displaystyle e ^ {- i \ omega t}}$ componente, sino también efectos de descomposición a través de su real ${\ Displaystyle e ^ {- \ sigma t}}$ componente. Por ejemplo, una onda sinusoidal amortiguada se puede modelar correctamente utilizando transformadas de Laplace.

Una función en el plano s se puede traducir de nuevo a una función de tiempo usando la transformada inversa de Laplace

{\ Displaystyle f (t) = {1 \ over 2 \ pi i} \ lim _ {T \ to \ infty} \ int _ {\ gamma -iT} ^ {\ gamma + iT} F (s) e ^ { st} \, ds}

donde el numero real ${\ Displaystyle \ gamma}$ se elige para que la ruta de integración esté dentro de la región de convergencia de ${\ Displaystyle F (s)}$ . Sin embargo, en lugar de utilizar esta integral complicada, la mayoría de las funciones de interés se traducen utilizando tablas de pares de transformadas de Laplace y el teorema del residuo de Cauchy .

Analizar las raíces complejas de una ecuación en el plano s y graficarlas en un diagrama de Argand puede revelar información sobre la respuesta de frecuencia y la estabilidad de un sistema en tiempo real. Este proceso se denomina análisis del lugar de las raíces .

Ver también

enlaces externos

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Kevin Brown (2015) Transformaciones de Laplace en Math Pages.

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