En matemáticas , geometría compleja es el estudio de variedades complejas , variedades algebraicas complejas , y las funciones de varias variables complejas . La aplicación de métodos trascendentales a la geometría algebraica cae en esta categoría, junto con los aspectos más geométricos del análisis complejo .
Ocurrencia
En términos generales, la geometría compleja se ocupa de espacios y objetos geométricos que se modelan, en cierto sentido, en el plano complejo . Características del plano complejo y análisis complejo de una sola variable, como una noción intrínseca de orientabilidad (es decir, poder rotar consistentemente 90 grados en sentido antihorario en cada punto del plano complejo) y la rigidez de las funciones holomórficas (es decir , la existencia de una única derivada compleja implica una diferenciación compleja para todos los órdenes) se manifiestan en todas las formas del estudio de la geometría compleja. Como ejemplo, cada variedad compleja es canónicamente orientable, y una forma del teorema de Liouville se mantiene en variedades complejas compactas o variedades algebraicas complejas proyectivas .
La geometría compleja tiene un sabor diferente a lo que podría llamarse geometría real , el estudio de espacios basado en las propiedades geométricas y analíticas de la recta numérica real . Por ejemplo, mientras que las variedades suaves admiten particiones de unidad , colecciones de funciones suaves que pueden ser idénticamente iguales a una en algún conjunto abierto , e idénticamente cero en otros lugares, las variedades complejas no admiten tales colecciones de funciones holomórficas. De hecho, esta es la manifestación del teorema de la identidad , un resultado típico en el análisis complejo de una sola variable. En cierto sentido, la novedad de la geometría compleja se remonta a esta observación fundamental.
Es cierto que cada variedad compleja es, en particular, una verdadera variedad suave. Esto se debe a que el plano complejo es, después de olvidar su compleja estructura, isomorfa al plano real . Sin embargo, la geometría compleja no se considera típicamente como un subcampo particular de la geometría diferencial , el estudio de variedades suaves. En particular, el teorema GAGA de Serre dice que cada variedad analítica proyectiva es en realidad una variedad algebraica , y el estudio de datos holomórficos en una variedad analítica es equivalente al estudio de datos algebraicos.
Esta equivalencia indica que la geometría compleja está en cierto sentido más cerca de la geometría algebraica que de la geometría diferencial . Otro ejemplo de esto que se vincula con la naturaleza del plano complejo es que, en el análisis complejo de una sola variable, las singularidades de las funciones meromórficas se pueden describir fácilmente. Por el contrario, el posible comportamiento singular de una función continua de valor real es mucho más difícil de caracterizar. Como resultado de esto, uno puede estudiar fácilmente espacios singulares en geometría compleja, como variedades analíticas complejas singulares o variedades algebraicas complejas singulares, mientras que en geometría diferencial a menudo se evita el estudio de espacios singulares.
En la práctica, la geometría compleja se encuentra en la intersección de la geometría diferencial, la geometría algebraica y el análisis de varias variables complejas , y un geómetro complejo utiliza herramientas de los tres campos para estudiar espacios complejos. Las direcciones típicas de interés en geometría compleja implican la clasificación de espacios complejos, el estudio de objetos holomórficos adjuntos a ellos (como haces de vectores holomórficos y haces coherentes ) y las relaciones íntimas entre objetos geométricos complejos y otras áreas de las matemáticas y la física.
Definiciones
La geometría compleja se ocupa del estudio de variedades complejas , y algebraica compleja y variedades analíticas complejas . En esta sección se definen estos tipos de espacios y se presentan las relaciones entre ellos.
Una variedad compleja es un espacio topológico tal que:
- es Hausdorff y segundo contable .
- es localmente homeomorfo a un subconjunto abierto de para algunos . Es decir, por cada punto, hay un barrio abierto de y un homeomorfismo a un subconjunto abierto . Estos conjuntos abiertos se denominan gráficos .
- Si y son dos gráficos superpuestos que se asignan a conjuntos abiertos de respectivamente, entonces la función de transición es un biholomorfismo .
Observe que dado que todo biholomorfismo es un difeomorfismo , yes el isomorfismo como un espacio vectorial real para, cada complejo complejo de dimensiones es en particular una variedad suave de dimensiones , que siempre es un número par.
En contraste con las variedades complejas que siempre son suaves, la geometría compleja también se ocupa de espacios posiblemente singulares. Una variedad analítica compleja afín es un subconjunto tal que sobre cada punto , hay un barrio abierto de y una colección de un número finito de funciones holomórficas tal que . Por convención también requerimos el conjuntoser irreductible . Un puntoes singular si la matriz jacobiana del vector de funciones holomorfas no tiene rango completo en y no singular de lo contrario. Una variedad analítica compleja proyectiva es un subconjuntodel espacio proyectivo complejo que es, de la misma manera, da a nivel local por los ceros de una colección finita de funciones holomorfas en subconjuntos abiertos de.
De manera similar, se puede definir una variedad algebraica compleja afín como un subconjunto que se da localmente como el conjunto cero de un número finito de polinomios en variables complejas. Para definir una variedad algebraica compleja proyectiva , se requiere el subconjuntoa estar dado localmente por el conjunto cero de un número finito de polinomios homogéneos .
Para definir una variedad analítica compleja o algebraica compleja general, se requiere la noción de un espacio anillado localmente . Una variedad algebraica / analítica compleja es un espacio anillado localmenteque es localmente isomorfo como un espacio anillado localmente a una variedad algebraica / analítica compleja afín. En el caso analítico, normalmente se permite tener una topología que sea localmente equivalente a la topología subespacial debido a la identificación con subconjuntos abiertos de , mientras que en el caso algebraico a menudo está equipado con una topología Zariski . Nuevamente, también por convención requerimos que este espacio anillado localmente sea irreducible.
Dado que la definición de un punto singular es local, la definición dada para una variedad analítica / algebraica afín se aplica a los puntos de cualquier variedad analítica o algebraica compleja. El conjunto de puntos de una variedad.que son singulares se llama el locus singular , denotado, y el complemento es el locus no singular o liso , denotado. Decimos que una variedad compleja es suave o no singular si su locus singular está vacío. Es decir, si es igual a su locus no singular.
Según el teorema de la función implícita para funciones holomórficas, cada variedad compleja es en particular una variedad analítica compleja no singular, pero no es en general afín o proyectiva. Según el teorema de GAGA de Serre, toda variedad analítica compleja proyectiva es en realidad una variedad algebraica compleja proyectiva. Cuando una variedad compleja no es singular, es una variedad compleja. De manera más general, el locus no singular de cualquier variedad compleja es una variedad compleja.
Tipos de espacios complejos
Colectores Kähler
Las variedades complejas pueden estudiarse desde la perspectiva de la geometría diferencial, por lo que están equipadas con estructuras geométricas adicionales, como una forma métrica o simpléctica de Riemann . Para que esta estructura adicional sea relevante para la geometría compleja, se debe pedir que sea compatible con la estructura compleja en un sentido adecuado. Una variedad de Kähler es una variedad compleja con una estructura métrica y simpléctica de Riemann compatible con la estructura compleja. Cada subvariedad compleja de una variedad de Kähler es Kähler, y así, en particular, cada variedad compleja no singular afín o proyectiva es Kähler, después de restringir la métrica hermitiana estándar eno la métrica de Fubini-Study en respectivamente.
Otros ejemplos importantes de colectores Kähler incluyen superficies Riemann, superficies K3 y colectores Calabi-Yau .
Colectores Stein
El teorema GAGA de Serre afirma que las variedades analíticas complejas proyectivas son en realidad algebraicas. Si bien esto no es estrictamente cierto para las variedades afines, existe una clase de variedades complejas que actúan de manera muy similar a las variedades algebraicas complejas afines, llamadas variedades de Stein . Un colectores Stein si es holomórfica convexa y holomórfica separable (ver el artículo sobre variedades de Stein para las definiciones técnicas). Sin embargo, se puede demostrar que esto es equivalente a siendo una subvariedad compleja de para algunos . Otra forma en que las variedades de Stein son similares a las variedades algebraicas complejas afines es que los teoremas A y B de Cartan son válidos para las variedades de Stein.
Ejemplos de variedades de Stein incluyen superficies de Riemann no compactas y variedades algebraicas complejas afines no singulares.
Colectores Hyper-Kähler
Una clase especial de variedades complejas son las variedades hiper-Kähler , que son variedades de Riemann que admiten tres estructuras integrables casi complejas distintas compatibles que satisfacen las relaciones cuaterniónicas . Así, las variedades hiper-Kähler son variedades Kähler de tres formas diferentes y, por consiguiente, tienen una rica estructura geométrica.
Ejemplos de variedades hiper-Kähler incluyen espacios ALE , superficies K3, espacios de módulos de haz de Higgs , variedades de carcaj y muchos otros espacios de módulos que surgen de la teoría de gauge y la teoría de la representación .
Colectores Calabi-Yau
Como se mencionó, las variedades Calabi-Yau dan una clase particular de variedades de Kähler. Estos son dados por variedades de Kähler con paquete canónico trivial. Típicamente, la definición de una variedad Calabi-Yau también requiereser compacto. En este caso, la prueba de Yau de la conjetura de Calabi implica queadmite una métrica de Kähler con curvatura de Ricci que se desvanece , y esto puede tomarse como una definición equivalente de Calabi-Yau.
Las variedades de Calabi-Yau han encontrado uso en la teoría de cuerdas y la simetría especular , donde se utilizan para modelar las 6 dimensiones adicionales del espacio-tiempo en modelos de 10 dimensiones de la teoría de cuerdas. Los ejemplos de variedades de Calabi-Yau se dan mediante curvas elípticas , superficies K3 y variedades abelianas complejas .
Variedades complejas de Fano
Una variedad Fano compleja es una variedad algebraica compleja con un amplio paquete de líneas anti-canónicas (es decir,es amplio). Las variedades de Fano son de considerable interés en la geometría algebraica compleja y, en particular, en la geometría biracional , donde a menudo surgen en el programa de modelo mínimo . Los ejemplos fundamentales de las variedades Fano vienen dados por el espacio proyectivo. dónde e hipersuperficies lisas de de grado menor que .
Variedades tóricas
Las variedades tóricas son variedades algebraicas complejas de dimensión.que contiene un subconjunto denso abierto biholomorfo a, equipado con una acción de que extiende la acción en el subconjunto denso abierto. Una variedad tórica puede describirse combinatoriamente por su abanico tórico , y al menos cuando no es singular, por un momento politopo . Este es un polígono encon la propiedad de que cualquier vértice puede colocarse en la forma estándar del vértice del orto positivo por la acción de. La variedad tórica se puede obtener como un espacio adecuado que se enrolla sobre el politopo.
Muchas construcciones que se realizan sobre variedades tóricas admiten descripciones alternas en términos de combinatoria y geometría del politopo de momento o su abanico tórico asociado. Esto hace que las variedades tóricas sean un caso de prueba particularmente atractivo para muchas construcciones en geometría compleja. Los ejemplos de variedades tóricas incluyen espacios proyectivos complejos y paquetes sobre ellos.
Técnicas en geometría compleja
Debido a la rigidez de las funciones holomórficas y las variedades complejas, las técnicas que se utilizan típicamente para estudiar las variedades complejas y las variedades complejas difieren de las que se utilizan en la geometría diferencial regular y están más cerca de las técnicas utilizadas en la geometría algebraica. Por ejemplo, en geometría diferencial, muchos problemas se abordan tomando construcciones locales y uniéndolas globalmente usando particiones de unidad. Las particiones de unidad no existen en geometría compleja, por lo que el problema de cuándo se pueden pegar los datos locales en los datos globales es más sutil. Precisamente cuando los datos locales se pueden unir se mide mediante la cohomología de gavillas , y las gavillas y sus grupos de cohomología son herramientas importantes.
Por ejemplo, problemas famosos en el análisis de varias variables complejas que preceden a la introducción de definiciones modernas son los problemas de Cousin , que preguntan precisamente cuándo se pueden pegar los datos meromórficos locales para obtener una función meromórfica global. Estos viejos problemas pueden resolverse simplemente después de la introducción de poleas y grupos de cohomología.
Ejemplos especiales de las poleas utilizadas en geometría compleja incluyen holomórficas línea paquetes (y los divisores asociados a ellos), paquetes del vector holomorfas , y gavillas coherentes . Dado que la cohomología de gavillas mide obstrucciones en geometría compleja, una técnica que se utiliza es probar teoremas de desaparición. Ejemplos de teoremas de desaparición en geometría compleja incluyen el teorema de desaparición de Kodaira para la cohomología de haces de líneas en variedades compactas de Kähler, y los teoremas A y B de Cartan para la cohomología de haces coherentes en variedades complejas afines.
La geometría compleja también hace uso de técnicas que surgen de la geometría diferencial y el análisis. Por ejemplo, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , un caso especial del teorema del índice de Atiyah-Singer , calcula la característica de Euler holomórfica de un conjunto de vectores holomórficos en términos de clases características del conjunto de vectores complejos lisos subyacente.
Clasificación en geometría compleja
Un tema importante en la geometría compleja es la clasificación . Debido a la naturaleza rígida de las variedades y variedades complejas, el problema de clasificar estos espacios a menudo es manejable. La clasificación en geometría compleja y algebraica a menudo ocurre a través del estudio de espacios de módulos , que en sí mismos son variedades o variedades complejas cuyos puntos clasifican otros objetos geométricos que surgen en geometría compleja.
Superficies Riemann
El término módulos fue acuñado por Bernhard Riemann durante su trabajo original sobre superficies de Riemann. La teoría de la clasificación es más conocida para las superficies compactas de Riemann. Según la clasificación de superficies orientadas cerradas, las superficies compactas de Riemann vienen en un número contable de tipos discretos, medidos por su género. , que es un número entero no negativo que cuenta el número de agujeros en la superficie compacta de Riemann dada.
La clasificación se deriva esencialmente del teorema de uniformización y es la siguiente: [1] [2] [3]
- g = 0 :
- g = 1 : Existe una variedad compleja unidimensional que clasifica las posibles superficies compactas de Riemann del género 1, las llamadas curvas elípticas , la curva modular . Según el teorema de uniformización, cualquier curva elíptica se puede escribir como cociente dónde es un número complejo con parte imaginaria estrictamente positiva. El espacio de módulos está dado por el cociente del grupoactuando en el semiplano superior por transformaciones de Möbius .
- g> 1 : Para cada género mayor que uno, hay un espacio de módulos de género g superficies de Riemann compactas, de dimensión . Al igual que en el caso de las curvas elípticas, este espacio puede obtenerse mediante un cociente adecuado del semiespacio superior de Siegel por la acción del grupo.
Paquetes de líneas holomórficas
La geometría compleja se ocupa no solo de los espacios complejos, sino de otros objetos holomórficos adjuntos a ellos. La clasificación de paquetes de líneas holomórficas en una variedad compleja.está dado por la variedad Picard de .
La variedad picard se puede describir fácilmente en el caso en que es una superficie compacta de Riemann del género g. Es decir, en este caso la variedad Picard es una unión disjunta de variedades abelianas complejas , cada una de las cuales es isomorfa a la variedad jacobiana de la curva, clasificando divisores de grado cero hasta equivalencia lineal. En términos geométricos diferenciales, estas variedades abelianas son toros complejos, variedades complejas difeomórficas de, posiblemente con una de las muchas estructuras complejas diferentes.
Por el teorema de Torelli , una superficie de Riemann compacta está determinada por su variedad jacobiana, y esto demuestra una razón por la que el estudio de estructuras en espacios complejos puede ser útil, ya que puede permitir resolver clasificar los espacios en sí.
Ver también
- Bivector (complejo)
- Colector Calabi – Yau
- Teoremas A y B de Cartan
- Espacio analítico complejo
- Grupo de mentiras complejo
- Politopo complejo
- Espacio proyectivo complejo
- Problemas de primos
- Teoría de la deformación # Deformaciones de variedades complejas
- Clasificación de Enriques-Kodaira
- GAGÁ
- Teorema de la extensión de Hartogs
- Espacio simétrico hermitiano
- Descomposición de Hodge
- Colector Hopf
- Línea imaginaria (matemáticas)
- Métrica de Kobayashi
- Correspondencia de Kobayashi-Hitchin
- Colector Kähler
- Número largo
- Lista de superficies complejas y algebraicas
- Simetría de espejo
- Ideal multiplicador
- Variedad proyectiva
- Pseudoconvexidad
- Varias variables complejas
- Colector de Stein
Referencias
- ^ Forster, O. (2012). Conferencias sobre superficies de Riemann (Vol. 81). Springer Science & Business Media.
- ^ Miranda, R. (1995). Curvas algebraicas y superficies de Riemann (Vol. 5). American Mathematical Soc.
- ^ Donaldson, S. (2011). Superficies de Riemann. Prensa de la Universidad de Oxford.
- Huybrechts, Daniel (2005). Geometría compleja: una introducción . Saltador. ISBN 3-540-21290-6.
- Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523
- Hörmander, Lars (1990) [1966], Introducción al análisis complejo en varias variables , North-Holland Mathematical Library, 7 (3ª edición (revisada)), Amsterdam-London-New York-Tokyo: North-Holland , ISBN 0-444-88446-7, MR 1045639 , Zbl 0.685,32001
- S. Kobayashi, K. Nomizu. Fundamentos de la geometría diferencial (Biblioteca de clásicos de Wiley) Volumen 1, 2.
- EH Neville (1922) Prolegómenos a la geometría analítica en el espacio euclidiano anisotrópico de tres dimensiones , Cambridge University Press .