Número complejo

Elemento de un sistema numérico en el que –1 tiene raíz cuadrada

Un número complejo se puede representar visualmente como un par de números ( a ,  b ) que forman un vector en un diagrama llamado diagrama de Argand , que representa el plano complejo . es el eje real, es el eje imaginario e i es la “ unidad imaginaria ” que satisface i ² = -1 .${\displaystyle {\mathcal {Re}}}$${\displaystyle {\mathcal {Im}}}$

En matemáticas , un número complejo es un número que se puede expresar en la forma a + bi , donde a y b son números reales e i es un símbolo llamado unidad imaginaria y que satisface la ecuación i ² = -1 . Debido a que no satisface números "reales" esta ecuación, i llamaron un número imaginario por René Descartes . Para el número complejo a + bi , a se llamaparte real y b se llama la parte imaginaria . El conjunto de los números complejos se denota por cualquiera de los símboloso C . A pesar de la nomenclatura histórica "imaginario", los números complejos se consideran en las ciencias matemáticas tan "reales" como los números reales y son fundamentales en muchos aspectos de la descripción científica del mundo natural. ^{[1] [2] [3] [4] [a]}${\displaystyle \mathbb {C} }$

Los números complejos permiten soluciones para todas las ecuaciones polinomiales , incluso aquellas que no tienen soluciones en números reales. Más precisamente, el teorema fundamental del álgebra afirma que toda ecuación polinomial con coeficientes reales o complejos tiene una solución que es un número complejo. Por ejemplo, la ecuación no tiene solución real, ya que el cuadrado de un número real no puede ser negativo, pero tiene las dos soluciones complejas no reales −1 + 3 i y −1 - 3 i .${\displaystyle (x+1)^{2}=-9}$

La suma, resta y multiplicación de números complejos se pueden definir naturalmente usando la regla i ² = −1 combinada con las leyes asociativas , conmutativas y distributivas . Todo número complejo distinto de cero tiene un inverso multiplicativo . Esto hace que los números complejos sean un campo que tiene los números reales como subcampo. Los números complejos también forman un espacio vectorial real de dimensión dos, con {1, i } como base estándar .

Esta base estándar hace que los números complejos sean un plano cartesiano , llamado plano complejo . Esto permite una interpretación geométrica de los números complejos y sus operaciones y, a la inversa, expresar en términos de números complejos algunas propiedades y construcciones geométricas. Por ejemplo, los números reales forman la línea real que se identifica con el eje horizontal del plano complejo. Los números complejos de valor absoluto uno forman el círculo unitario . La suma de un número complejo es una traslación en el plano complejo y la multiplicación por un número complejo es una similitud centrada en el origen. La conjugación compleja es lasimetría de reflexión con respecto al eje real. El valor absoluto complejo es una norma euclidiana .

En resumen, los números complejos forman una estructura rica que es simultáneamente un campo algebraicamente cerrado , un álgebra conmutativa sobre los reales y un espacio vectorial euclidiano de dimensión dos.

Definición

Una ilustración del número complejo z = x + iy en el plano complejo . La parte real es x y su parte imaginaria es y .

Un número complejo es un número de la forma de un + bi , donde un y b son números reales , y i es un indeterminado satisfacer i ² = -1 . Por ejemplo, 2 + 3 i es un número complejo. ^{[6] [3]}

De esta manera, un número complejo se define como un polinomio con coeficientes reales en el único indeterminado i , para lo cual se impone la relación i ² + 1 = 0 . Según esta definición, se pueden sumar y multiplicar números complejos, utilizando la suma y la multiplicación de polinomios. La relación I ² + 1 = 0 induce las igualdades i ^{4 k} = 1, i ^{4 k 1} = i , i ^{4 k 2} = -1, y i ^{4 k 3} = - i ,que se aplica a todos los números enteros k ; estos permiten la reducción de cualquier polinomio que resulte de la suma y multiplicación de números complejos a un polinomio lineal en i , nuevamente de la forma a + bi con coeficientes reales a, b.

El número real a se denomina parte real del número complejo a + bi ; el número real b se llama parte imaginaria . Para enfatizar, la parte imaginaria no incluye un factor i ; es decir, la parte imaginaria es b , no bi . ^{[7] [8] [3]}

Formalmente, los números complejos se definen como el anillo cociente del anillo de polinomios en el indeterminada i , por el ideales generada por el polinomio i ² + 1 (ver a continuación ). ^[9]

Notación

Un número real a puede considerarse como un número complejo a + 0 i , cuya parte imaginaria es 0. Un número puramente imaginario bi es un número complejo 0 + bi , cuya parte real es cero. Al igual que con los polinomios, es común escribir a para a + 0 i y bi para 0 + bi . Además, cuando la parte imaginaria es negativa, es decir, b = - | b | <0 , es común escribir a - | b | i en lugar de a + (- | b | ) i; por ejemplo, para b = −4 , 3 - 4 i se puede escribir en lugar de 3 + (−4) i .

Dado que la multiplicación del indeterminado iy un real es conmutativa en polinomios con coeficientes reales, el polinomio a + bi se puede escribir como a + ib . Esto suele ser conveniente para partes imaginarias denotadas por expresiones, por ejemplo, cuando b es un radical. ^[10]

La parte real de un número complejo z se denota por Re ( z ) , o ℜ ( z ) ; la parte imaginaria de un número complejo z se denota por Im ( z ) , o ℑ ( z ) . ^[2] Por ejemplo,${\displaystyle {\mathcal {Re}}(z)}$${\displaystyle {\mathcal {Im}}(z)}$

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {Re}} (2+3i)=2\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {\mathcal {Im}} (2+3i)=3~.}$

El conjunto de todos los números complejos se indica con ℂ ( negrita en la pizarra ) o C (negrita vertical). ^[2]

En algunas disciplinas, particularmente en electromagnetismo e ingeniería eléctrica , se usa j en lugar de i, ya que i se usa con frecuencia para representar la corriente eléctrica . ^[11] En estos casos, los números complejos se escriben como a + bj o a + jb .

Visualización

Artículo principal: plano complejo

Un número complejo z , como un punto (negro) y su vector de posición (azul)

Por tanto, un número complejo z puede identificarse con un par ordenado de números reales, que a su vez pueden interpretarse como coordenadas de un punto en un espacio bidimensional. El espacio más inmediato es el plano euclidiano con coordenadas adecuadas, que luego se llama plano complejo o diagrama de Argand , ^{[12] [b] [13]} llamado así por Jean-Robert Argand . Otro espacio prominente en el que se pueden proyectar las coordenadas es la superficie bidimensional de una esfera, que luego se llama esfera de Riemann .${\displaystyle {\bigl (}{\mathcal {Re}}(z),{\mathcal {Im}}(z){\bigr )}}$

Plano complejo cartesiano

La definición de los números complejos que involucran dos valores reales arbitrarios sugiere inmediatamente el uso de coordenadas cartesianas en el plano complejo. El eje horizontal ( real ) se utiliza generalmente para mostrar la parte real, con valores crecientes a la derecha, y la parte imaginaria marca el eje vertical ( imaginario ), con valores crecientes hacia arriba.

Un número en la carta puede verse como el punto coordinado o como un vector de posición desde el origen hasta este punto. Por tanto, los valores de coordenadas de un número complejo z pueden expresarse en su forma cartesiana , rectangular o algebraica .

En particular, las operaciones de suma y multiplicación adquieren un carácter geométrico muy natural, cuando los números complejos se ven como vectores de posición: la suma corresponde a la suma de vectores , mientras que la multiplicación (ver más abajo ) corresponde a multiplicar sus magnitudes y sumar los ángulos que forman con el eje real. Visto de esta manera, la multiplicación de un número complejo por i corresponde a rotar el vector de posición en sentido antihorario un cuarto de vuelta ( 90 ° ) alrededor del origen, un hecho que se puede expresar algebraicamente de la siguiente manera:

${\displaystyle (a+bi)\cdot i=ai+b(i)^{2}=-b+ai.}$

Plano complejo polar

Artículo principal: sistema de coordenadas polares

La "forma polar" vuelve a dirigir aquí. Para el análogo de dimensión superior, consulte Descomposición polar .

El argumento φ y el módulo r ubican un punto en el plano complejo.

Módulo y argumento

Una opción alternativa para las coordenadas en el plano complejo es el sistema de coordenadas polares que usa la distancia del punto z desde el origen ( O ) y el ángulo subtendido entre el eje real positivo y el segmento de línea Oz en sentido antihorario. Esto conduce a la forma polar de números complejos.

El valor absoluto (o módulo o magnitud ) de un número complejo z = x + yi es ^[14]

${\displaystyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

Si z es un número real (es decir, si y = 0 ), entonces r = | x | . Es decir, el valor absoluto de un número real es igual a su valor absoluto como número complejo.

Según el teorema de Pitágoras , el valor absoluto de un número complejo es la distancia al origen del punto que representa el número complejo en el plano complejo .

El argumento de z (en muchas aplicaciones denominado "fase" φ ) ^[13] es el ángulo del radio Oz con el eje real positivo, y se escribe arg z . Al igual que con el módulo, el argumento se puede encontrar a partir de la forma rectangular x + yi ^[15], aplicando la tangente inversa al cociente de partes imaginarias por reales. Al usar una identidad de medio ángulo, una sola rama del arctan es suficiente para cubrir el rango de la función arg , (- π , π ] , y evita un análisis caso por caso más sutil.

${\displaystyle \varphi =\arg(x+yi)={\begin{cases}2\arctan \left({\dfrac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right)&{\text{if }}x>0{\text{ or }}y\neq 0,\\\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y=0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}}$

Normalmente, como se indica arriba, se elige el valor principal en el intervalo (- π , π ] . Los valores en el rango [0, 2 π ) se obtienen sumando 2 π - si el valor es negativo. El valor de φ se expresa en radianes en este artículo. Puede aumentar en cualquier múltiplo entero de 2 π y aun así dar el mismo ángulo, visto como subtendido por los rayos del eje real positivo y desde el origen hasta z . Por lo tanto, la función arg a veces se considera como multivalor. El ángulo polar para el número complejo 0 es indeterminado, pero la elección arbitraria del ángulo polar 0 es común.

El valor de φ es igual al resultado de atan2 :

${\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} \left(\operatorname {\mathcal {Im}} (z),\operatorname {\mathcal {Re}} (z)\right).}$

Juntos, r y φ dan otra forma de representar números complejos, la forma polar , ya que la combinación de módulo y argumento especifica completamente la posición de un punto en el plano. La recuperación de las coordenadas rectangulares originales de la forma polar se realiza mediante la fórmula llamada forma trigonométrica

${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi ).}$

Usando la fórmula de Euler, esto se puede escribir como

${\displaystyle z=re^{i\varphi }{\text{ or }}z=r\exp i\varphi .}$

Usando la función cis , esto a veces se abrevia como

${\displaystyle z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi .}$

En notación de ángulos , de uso frecuente en electrónica para representar un fasor con amplitud r y fase φ , se escribe como ^[16]

${\displaystyle z=r\angle \varphi .}$

Gráficos complejos

Artículos principales: Coloración de dominio y superficie de Riemann.

Un gráfico de rueda de color de la expresión. ( z ² - 1) ( z - 2 - i ) ²/z ² + 2 + 2 yo

Al visualizar funciones complejas , se necesitan tanto una entrada como una salida complejas. Debido a que cada número complejo está representado en dos dimensiones, graficar visualmente una función compleja requeriría la percepción de un espacio de cuatro dimensiones , lo cual es posible solo en proyecciones. Debido a esto, se han diseñado otras formas de visualizar funciones complejas.

En la coloración de dominio, las dimensiones de salida se representan mediante color y brillo, respectivamente. Cada punto en el plano complejo como dominio está ornamentado , típicamente con el color que representa el argumento del número complejo y el brillo que representa la magnitud. Los puntos oscuros marcan módulos cercanos a cero, los puntos más brillantes están más lejos del origen, la gradación puede ser discontinua, pero se asume como monótona. Los colores a menudo varían en pasos deπ/3de 0 a 2 π de rojo, amarillo, verde, cian, azul a magenta. Estos gráficos se denominan gráficos de rueda de colores . Esto proporciona una forma sencilla de visualizar las funciones sin perder información. La imagen muestra ceros para ± 1, (2 + i ) y polos en ± √ −2 −2 i .

Las superficies de Riemann son otra forma de visualizar funciones complejas. ^{[ se necesita más explicación ] Las} superficies de Riemann pueden considerarse como deformaciones del plano complejo; mientras que los ejes horizontales representan las entradas reales e imaginarias, el eje vertical único solo representa la salida real o imaginaria. Sin embargo, las superficies de Riemann están construidas de tal manera que al rotarlas 180 grados se muestra la salida imaginaria y viceversa. A diferencia de la coloración de dominios, las superficies de Riemann pueden representar funciones multivalor como √ z .

Historia

La solución en radicales (sin funciones trigonométricas ) de una ecuación cúbica general contiene las raíces cuadradas de números negativos cuando las tres raíces son números reales, una situación que no se puede rectificar mediante la factorización con la ayuda de la prueba de la raíz racional si el cúbico es irreducible (el el llamado casus irreducibilis ). Este acertijo llevó al matemático italiano Gerolamo Cardano a concebir números complejos alrededor de 1545, ^[17] aunque su comprensión era rudimentaria.

El trabajo sobre el problema de los polinomios generales finalmente condujo al teorema fundamental del álgebra , que muestra que con números complejos, existe una solución para cada ecuación polinomial de grado uno o superior. Los números complejos forman así un campo algebraicamente cerrado , donde cualquier ecuación polinomial tiene una raíz .

Muchos matemáticos contribuyeron al desarrollo de números complejos. Las reglas para la suma, resta, multiplicación y extracción de raíces de números complejos fueron desarrolladas por el matemático italiano Rafael Bombelli . ^[18] Un formalismo más abstracto para los números complejos fue desarrollado por el matemático irlandés William Rowan Hamilton , quien extendió esta abstracción a la teoría de los cuaterniones . ^[19]

La referencia fugaz más temprana a las raíces cuadradas de los números negativos quizás se pueda decir que ocurre en la obra del matemático griego Héroe de Alejandría en el siglo I d.C. , donde en su Stereométrica considera, aparentemente erróneamente, el volumen de un imposible tronco de una pirámide para llegar al término √ 81 - 144 = 3 i √ 7 en sus cálculos, aunque las cantidades negativas no fueron concebidas en las matemáticas helenísticas y Hero simplemente la reemplazó por su positivo ( √ 144 - 81= 3 √ 7 ) . ^[20]

El ímpetu por estudiar los números complejos como un tema en sí mismo surgió por primera vez en el siglo XVI cuando los matemáticos italianos descubrieron soluciones algebraicas para las raíces de polinomios cúbicos y cuárticos (ver Niccolò Fontana Tartaglia , Gerolamo Cardano ). Pronto se comprendió (pero se demostró mucho más tarde) ^[21] que estas fórmulas, incluso si uno solo estaba interesado en soluciones reales, a veces requerían la manipulación de raíces cuadradas de números negativos. Como ejemplo, la fórmula de Tartaglia para una ecuación cúbica de la forma x ³ = px + q ^[c] da la solución a la ecuaciónx ³ = x como

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\left(\left({\sqrt {-1}}\right)^{1/3}+\left({\sqrt {-1}}\right)^{-1/3}\right).}$

A primera vista, esto parece una tontería. Sin embargo, los cálculos formales con números complejos muestran que la ecuación z ³ = i tiene soluciones - i ,√ 3 + i/2 y - √ 3 + i/2. Sustituyendo estos a su vez por √ -1 ^1/3 en la fórmula cúbica de Tartaglia y simplificando, se obtiene 0, 1 y −1 como las soluciones de x ³ - x = 0 . Por supuesto, esta ecuación en particular se puede resolver a simple vista, pero ilustra que cuando se usan fórmulas generales para resolver ecuaciones cúbicas con raíces reales, entonces, como demostraron rigurosamente matemáticos posteriores, ^[d] el uso de números complejos es inevitable . Rafael Bombelli fue el primero en abordar explícitamente estas soluciones aparentemente paradójicas de ecuaciones cúbicas y desarrolló las reglas para la aritmética compleja tratando de resolver estos problemas.

El término "imaginario" para estas cantidades fue acuñado por René Descartes en 1637, quien se esforzó por enfatizar su naturaleza irreal ^[22]

... a veces solo imaginario, es decir, uno puede imaginar tantas como dije en cada ecuación, pero a veces no existe una cantidad que coincida con la que imaginamos.
[ ... quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui correspon à celle qu'on imagina. ]

Otra fuente de confusión fue que la ecuación √ -1 ² = √ -1 √ -1 = -1 parecía ser caprichosamente inconsistente con la identidad algebraica √ a √ b = √ ab , que es válida para números reales no negativos a y b , y que también se usó en los cálculos de números complejos con uno de un , b positivo y el otro negativo. El uso incorrecto de esta identidad (y la identidad relacionada1/√ a= √1/a) en el caso en que tanto a como b son negativos, incluso molestó a Euler. Esta dificultad eventualmente llevó a la convención de usar el símbolo especial i en lugar de √ −1 para evitar este error. ^{[ cita requerida ]} Aun así, Euler consideró natural presentar a los estudiantes los números complejos mucho antes de lo que lo hacemos hoy. En su libro de texto de álgebra elemental, Elements of Algebra , presenta estos números casi de una vez y luego los usa de manera natural en todo momento.

En el siglo XVIII, los números complejos ganaron un uso más amplio, ya que se notó que la manipulación formal de expresiones complejas podría usarse para simplificar cálculos que involucren funciones trigonométricas. Por ejemplo, en 1730 Abraham de Moivre señaló que las complicadas identidades que relacionan las funciones trigonométricas de un múltiplo entero de un ángulo con las potencias de las funciones trigonométricas de ese ángulo podrían simplemente reexpresarse mediante la siguiente fórmula bien conocida que lleva su nombre, de Fórmula de Moivre :

${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta .}$

En 1748 Leonhard Euler fue más allá y obtuvo la fórmula de análisis complejo de Euler : ^[23]

${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}$

manipulando formalmente series de potencias complejas y observó que esta fórmula podría usarse para reducir cualquier identidad trigonométrica a identidades exponenciales mucho más simples.

La idea de un número complejo como un punto en el plano complejo ( arriba ) fue descrita por primera vez por Caspar Wessel en 1799, ^[24] aunque ya se había anticipado en 1685 en el Tratado de álgebra de Wallis . ^[25]

Las memorias de Wessel aparecieron en las Actas de la Academia de Copenhague, pero pasaron casi desapercibidas. En 1806, Jean-Robert Argand publicó de forma independiente un folleto sobre números complejos y proporcionó una prueba rigurosa del teorema fundamental del álgebra . ^[26] Carl Friedrich Gauss había publicado anteriormente una prueba esencialmente topológica del teorema en 1797, pero expresó sus dudas en ese momento sobre "la verdadera metafísica de la raíz cuadrada de -1". ^[27] No fue hasta 1831 que superó estas dudas y publicó su tratado sobre números complejos como puntos en el plano, ^{[28] [29] ( p 638 )} estableciendo en gran medida la notación y la terminología modernas.

Si antes se contemplaba este tema desde un punto de vista falso y, por lo tanto, se encontraba una oscuridad misteriosa, esto es en gran parte atribuible a una terminología torpe. Si no se hubieran llamado +1, −1, √ −1 unidades positivas, negativas o imaginarias (o incluso imposibles), sino, digamos, unidades directas, inversas o laterales, apenas se podría haber hablado de tal oscuridad. - Gauss (1831) ^{[29] ( p. 638 ) [28]}

A principios del siglo XIX, otros matemáticos descubrieron de forma independiente la representación geométrica de los números complejos: Buée, ^{[30] [31]} Mourey , ^[32] Warren , ^[33] Français y su hermano, Bellavitis . ^{[34] [35]}

El matemático inglés GH Hardy comentó que Gauss fue el primer matemático en usar números complejos de `` una manera realmente segura y científica '', aunque matemáticos como Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacob Jacobi los usaban necesariamente de manera rutinaria antes de que Gauss publicara su tratado de 1831. ^[36]

Augustin Louis Cauchy y Bernhard Riemann juntos llevaron las ideas fundamentales del análisis complejo a un alto estado de finalización, comenzando alrededor de 1825 en el caso de Cauchy.

Los términos comunes utilizados en la teoría se deben principalmente a los fundadores. Argand llamado cos φ + i sen φ el factor de dirección , y r = √ a ² + b ² el módulo ; ^{[e] [38]} Cauchy (1821) llamó cos φ + i sen φ la forma reducida (l'expression réduite) ^[39] y aparentemente introdujo el término argumento ; Gauss usó i para √ -1 ,^[f] introdujo el término número complejo para a + bi , ^[g] y llamó a ² + b ² la norma . ^[h] El coeficiente de dirección de la expresión, que se utiliza a menudo para cos φ + i sen φ , se debe a Hankel (1867), ^[40] y el valor absoluto, para el módulo, se debe a Weierstrass.

Los escritores clásicos posteriores sobre la teoría general incluyen a Richard Dedekind , Otto Hölder , Felix Klein , Henri Poincaré , Hermann Schwarz , Karl Weierstrass y muchos otros.

Relaciones y operaciones

Igualdad

Los números complejos tienen una definición de igualdad similar a los números reales; dos números complejos a ₁ + b ₁ i y a ₂ + b ₂ i son iguales si y solo si sus partes real e imaginaria son iguales, es decir, si a ₁ = a ₂ y b ₁ = b ₂ . Los números complejos distintos de cero escritos en forma polar son iguales si y solo si tienen la misma magnitud y sus argumentos difieren en un múltiplo entero de 2 π .

Pedido

A diferencia de los números reales, no existe un orden natural de los números complejos. En particular, no existe un orden lineal en los números complejos que sea compatible con la suma y la multiplicación; los números complejos no pueden tener la estructura de un campo ordenado. Esto se debe, por ejemplo, a que toda suma de cuadrados no trivial en un campo ordenado es ≠ 0 , e i ² + 1 ² = 0 es una suma de cuadrados no trivial. Por lo tanto, se piensa naturalmente que los números complejos existen en un plano bidimensional.

Conjugar

Ver también: conjugado complejo

Representación geométrica de zy su conjugado z en el plano complejo

El complejo conjugado del número complejo z = x + yi viene dado por x - yi . Se denota por z o z * . ^[41] Esta operación unaria sobre números complejos no se puede expresar aplicando solo sus operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división.

Geométricamente, z es el "reflejo" de z sobre el eje real. La conjugación dos veces da el número complejo original.

${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z,}$

lo que hace de esta operación una involución . La reflexión deja sin cambios tanto la parte real como la magnitud de z , es decir

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {Re}} ({\overline {z}})=\operatorname {\mathcal {Re}} (z)\quad }$ y ${\displaystyle \quad |{\overline {z}}|=|z|.}$

La parte imaginaria y el argumento de un número complejo z cambian de signo bajo la conjugación.

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {Im}} ({\overline {z}})=-\operatorname {\mathcal {Im}} (z)\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {arg} {\overline {z}}\equiv -\operatorname {arg} z{\pmod {2\pi }}.}$

Para obtener detalles sobre el argumento y la magnitud, consulte la sección sobre la forma polar .

El producto de un número complejo z = x + yi y su conjugado se conoce como cuadrado absoluto . Siempre es un número real no negativo y es igual al cuadrado de la magnitud de cada uno:

${\displaystyle z\cdot {\overline {z}}=x^{2}+y^{2}=|z|^{2}=|{\overline {z}}|^{2}.}$

Esta propiedad se puede usar para convertir una fracción con un denominador complejo en una fracción equivalente con un denominador real expandiendo tanto el numerador como el denominador de la fracción por el conjugado del denominador dado. Este proceso a veces se llama " racionalización " del denominador (aunque el denominador en la expresión final puede ser un número real irracional), porque se parece al método para eliminar raíces de expresiones simples en un denominador.

Las partes reales e imaginarias de un número complejo z se pueden extraer usando la conjugación:

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {Re}} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}},\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {\mathcal {Im}} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}.}$

Además, un número complejo es real si y solo si es igual a su propio conjugado.

La conjugación se distribuye sobre las operaciones aritméticas complejas básicas:

${\displaystyle {\overline {z\pm w}}={\overline {z}}\pm {\overline {w}},}$

${\displaystyle {\overline {z\cdot w}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}},\quad {\overline {z/w}}={\overline {z}}/{\overline {w}}.}$

La conjugación también se emplea en geometría inversa , una rama de la geometría que estudia los reflejos más generales que los relacionados con una línea. En el análisis de redes de circuitos eléctricos , el conjugado complejo se usa para encontrar la impedancia equivalente cuando se busca el teorema de transferencia de potencia máxima .

Suma y resta

La suma de dos números complejos se puede hacer geométricamente construyendo un paralelogramo.

Dos números complejos a y b son los más fácilmente añadidos mediante la adición por separado sus partes real e imaginaria de los sumandos. Es decir:

${\displaystyle a+b=(x+yi)+(u+vi)=(x+u)+(y+v)i.}$

De manera similar, la resta se puede realizar como

${\displaystyle a-b=(x+yi)-(u+vi)=(x-u)+(y-v)i.}$

El uso de la visualización de los números complejos en el plano complejo, la adición tiene la siguiente interpretación geométrica: la suma de dos números complejos un y b , interpretado como puntos en el plano complejo, es el punto obtenido por la construcción de un paralelogramo de los tres vértices O , y las puntas de las flechas etiquetadas una y b (siempre que no están en una línea). De manera equivalente, llamando a estos puntos A , B , respectivamente y al cuarto punto del paralelogramo X, los triángulos OAB y XBA son congruentes. Se puede lograr una visualización de la resta considerando la suma del sustraendo negativo .

Multiplicación

Dado que la parte real, la parte imaginaria y la i indeterminada en un número complejo se consideran números en sí mismos, dos números complejos, dados como z = x + yi y w = u + vi, se multiplican según las reglas de la distribución propiedad , las propiedades conmutativas y la propiedad definitoria i ² = −1 de la siguiente manera

${\displaystyle {\begin{aligned}z\cdot w&=(x+yi)\cdot (u+vi)&\\&=x(u+vi)+yi(u+vi)&&{\text{by the (right) distributive law}}\\&=xu+xvi+yiu+yivi&&{\text{by the (left) distributive law}}\\&=xu+yivi+xvi+yiu&&{\text{by the commutativity of addition}}\\&=xu+yvi^{2}+xvi+yui&&{\text{by the commutativity of multiplication}}\\&=(xu+yvi^{2})+(xvi+yui)&&{\text{by the associativity of addition}}\\&=(xu-yv)+(xvi+yui)&&{\text{by the defining property of }}i\\&=(xu-yv)+(xv+yu)i&&{\text{by the distributive law}}.\end{aligned}}}$

Recíproco y división

Usando la conjugación, el recíproco de un número complejo distinto de cero z = x + yi siempre se puede descomponer en

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{z{\overline {z}}}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}={\frac {\overline {z}}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i,}$

ya que distinto de cero implica que x ² + y ² es mayor que cero.

Esto se puede usar para expresar una división de un número complejo arbitrario w = u + vi por un número complejo z distinto de cero como

${\displaystyle {\frac {w}{z}}=w\cdot {\frac {1}{z}}=(u+vi)\cdot \left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i\right)={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}\left((ux+vy)+(vx-uy)i\right).}$

Multiplicación y división en forma polar

Multiplicación de 2 + i (triángulo azul) y 3 + i (triángulo rojo). El triángulo rojo se gira para que coincida con el vértice del azul y se estira √ 5 , la longitud de la hipotenusa del triángulo azul.

Las fórmulas de multiplicación, división y exponenciación son más simples en forma polar que las fórmulas correspondientes en coordenadas cartesianas. Dados dos números complejos z ₁ = r ₁ (cos  φ ₁ + i  sin  φ ₁ ) y z ₂ = r ₂ (cos  φ ₂ + i  sin  φ ₂ ) , debido a las identidades trigonométricas

${\displaystyle \cos a\cos b-\sin a\sin b=\cos(a+b)}$

${\displaystyle \cos a\sin b+\sin a\cos b=\sin(a+b)}$

podemos derivar

${\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).}$

En otras palabras, los valores absolutos se multiplican y los argumentos se suman para obtener la forma polar del producto. Por ejemplo, multiplicar por i corresponde a un cuarto de vuelta en sentido antihorario, lo que devuelve i ² = −1 . La imagen de la derecha ilustra la multiplicación de

${\displaystyle (2+i)(3+i)=5+5i.}$

Dado que la parte real e imaginaria de 5 + 5 i son iguales, el argumento de ese número es 45 grados, o π / 4 (en radianes ). Por otro lado, también es la suma de los ángulos en el origen de los triángulos rojo y azul son arctan (1/3) y arctan (1/2), respectivamente. Por lo tanto, la fórmula

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan \left({\frac {1}{2}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{3}}\right)}$

sostiene. Como la función arctan se puede aproximar de manera muy eficiente, fórmulas como esta, conocidas como fórmulas similares a Machin , se utilizan para aproximaciones de alta precisión de π .

De manera similar, la división está dada por

${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right).}$

Raíz cuadrada

Ver también: Raíces cuadradas de números complejos y negativos

Las raíces cuadradas de a + bi (con b ≠ 0 ) son , donde${\displaystyle \pm (\gamma +\delta i)}$

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}}$

y

${\displaystyle \delta =(\operatorname {sgn} b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}},}$

donde sgn es la función signum . Esto se puede ver elevando al cuadrado para obtener a + bi . ^{[42] [43]} Aquí se llama módulo de a + bi , y el signo de la raíz cuadrada indica la raíz cuadrada con una parte real no negativa, llamada raíz cuadrada principal ; también donde z = a + bi . ^[44]${\displaystyle \pm (\gamma +\delta i)}$${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {z{\overline {z}}}},}$

Función exponencial

La función exponencial se puede definir para cada número complejo z mediante la serie de potencias${\displaystyle \exp \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ;z\mapsto \exp z}$

${\displaystyle \exp z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},}$

que tiene un radio de convergencia infinito .

El valor en 1 de la función exponencial es el número de Euler

${\displaystyle e=\exp 1=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\approx 2.71828.}$

Si z es real, se tiene la continuación analítica que permite extender esta igualdad para cada valor complejo de z , y así definir la exponenciación compleja con base e como${\displaystyle \exp z=e^{z}.}$

${\displaystyle e^{z}=\exp z.}$

Ecuación funcional

La función exponencial satisface la ecuación funcional. Esto se puede demostrar comparando la expansión de la serie de potencias de ambos miembros o aplicando la continuación analítica de la restricción de la ecuación a los argumentos reales.${\displaystyle e^{z+t}=e^{z}e^{t}.}$

Fórmula de Euler

La fórmula de Euler establece que, para cualquier número real y ,

${\displaystyle e^{iy}=\cos y+i\sin y.}$

La ecuación funcional implica por tanto que, si x e y son reales, uno tiene

${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y,}$

que es la descomposición de la función exponencial en sus partes real e imaginaria.

Logaritmo complejo

En el caso real, el logaritmo natural se puede definir como el inverso de la función exponencial. Para extender esto al dominio complejo, se puede partir de la fórmula de Euler. Implica que, si un número complejo se escribe en forma polar${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ;x\mapsto \ln x}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{\times }}$

${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$

con luego con${\displaystyle r,\varphi \in \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \ln z=\ln r+i\varphi }$

como logaritmo complejo uno tiene un inverso adecuado:

${\displaystyle \exp \ln z=\exp(\ln r+i\varphi )=r\exp i\varphi =r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=z.}$

Sin embargo, debido a que el coseno y el seno son funciones periódicas, la suma de un múltiplo entero de 2 π a φ no cambia z . Por ejemplo, e ^iπ = e ^{3 iπ} = -1 , por lo que tanto iπ como 3 iπ son valores posibles para el logaritmo natural de −1 .

Por lo tanto, si el logaritmo complejo no se define como una función multivalor

${\displaystyle \ln z=\left\{\ln r+i(\varphi +2\pi k)\mid k\in \mathbb {Z} \right\},}$

uno tiene que usar un corte de rama y restringir el codominio , lo que resulta en la función biyectiva

${\displaystyle \ln \colon \;\mathbb {C} ^{\times }\;\to \;\;\;\mathbb {R} ^{+}+\;i\,(\!-\pi ,\pi ].}$

Si no es un número real no positivo (un número positivo o no real), el valor principal resultante del logaritmo complejo se obtiene con - π < φ < π . Es una función analítica fuera de los números reales negativos, pero no puede prolongarse a una función que sea continua en cualquier número real negativo , donde el valor principal es ln z = ln (- z ) + iπ . ^[I]${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus {\bigl (}\!\!-\!\mathbb {R} _{\geq 0}{\bigr )}}$${\displaystyle z\in -\mathbb {R} ^{+}}$

Exponenciación

Si x > 0 es real yz complejo, la potenciación se define como

${\displaystyle x^{z}=e^{z\ln x},}$

donde ln denota el logaritmo natural.

Parece natural extender esta fórmula a valores complejos de x , pero existen algunas dificultades que resultan del hecho de que el logaritmo complejo no es realmente una función, sino una función de múltiples valores .

De ello se deduce que si z es como arriba, y si t es otro número complejo, entonces la potenciación es la función multivalor

${\displaystyle z^{t}=\left\{e^{t\ln r}\,(\cos(\varphi t+2\pi kt)+i\sin(\varphi t+2\pi kt))\}\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}$

Exponentes enteros y fraccionarios

Representación geométrica de la segunda a la sexta raíces de un número complejo z , en forma polar re ^iφ  donde r = | z  | y φ = arg z . Si z es real, φ = 0 o π . Las raíces principales se muestran en negro.

Si, en la fórmula anterior, t es un número entero, entonces el seno y el coseno son independientes de k . Por lo tanto, si el exponente n es un número entero, entonces z ⁿ está bien definido y la fórmula de exponenciación se simplifica a la fórmula de De Moivre :

${\displaystyle z^{n}=(r(\cos \varphi +i\sin \varphi ))^{n}=r^{n}\,(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).}$

El n n th raíces de un número complejo z se dan por

${\displaystyle z^{1/n}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\right)}$

para 0 ≤ k ≤ n - 1 . (Aquí está la raíz n- ésima habitual (positiva) del número real positivo r .) Debido a que el seno y el coseno son periódicos, otros valores enteros de k no dan otros valores.${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$

Mientras que la raíz n -ésima de un número real positivo r se elige para que sea el número real positivo c que satisface c ⁿ = r , no existe una forma natural de distinguir una raíz n- ésima compleja particular de un número complejo. Por lo tanto, la raíz n es una función de z valorada en n . Esto implica que, contrariamente al caso de los números reales positivos, uno tiene

${\displaystyle (z^{n})^{1/n}\neq z,}$

ya que el lado izquierdo consta de n valores y el lado derecho es un valor único.

Propiedades

Estructura de campo

El conjunto ℂ de números complejos es un campo . ^[45] Brevemente, esto significa que los siguientes hechos son válidos: primero, se pueden sumar y multiplicar dos números complejos cualesquiera para obtener otro número complejo. En segundo lugar, para cualquier número complejo z , su inverso aditivo - z también es un número complejo; y tercero, todo número complejo distinto de cero tiene un número complejo recíproco . Además, estas operaciones satisfacen una serie de leyes, por ejemplo, la ley de conmutatividad de la suma y la multiplicación para dos números complejos cualesquiera z ₁ y z ₂ :

${\displaystyle z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1},}$

${\displaystyle z_{1}z_{2}=z_{2}z_{1}.}$

Estas dos leyes y los demás requisitos de un campo se pueden probar mediante las fórmulas dadas anteriormente, utilizando el hecho de que los números reales en sí mismos forman un campo.

A diferencia de los reales, ℂ no es un campo ordenado , es decir, no es posible definir una relación z ₁ < z ₂ que sea compatible con la suma y la multiplicación. De hecho, en cualquier campo ordenado, el cuadrado de cualquier elemento es necesariamente positivo, por lo que i ² = −1 excluye la existencia de un orden en ℂ . ^[46]

Cuando el campo subyacente de un tema o construcción matemática es el campo de los números complejos, el nombre del tema generalmente se modifica para reflejar ese hecho. Por ejemplo: análisis complejo , matriz compleja , polinomio complejo y álgebra de Lie compleja .

Soluciones de ecuaciones polinomiales

Dados los números complejos (llamados coeficientes ) a ₀ , ...,  a _n , la ecuación

${\displaystyle a_{n}z^{n}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}=0}$

tiene al menos una solución compleja z , siempre que al menos uno de los coeficientes más altos a ₁ , ...,  a _n sea ​​distinto de cero. ^[47] Este es el enunciado del teorema fundamental del álgebra , de Carl Friedrich Gauss y Jean le Rond d'Alembert . Por este hecho, ℂ se denomina campo algebraicamente cerrado . Esta propiedad no es válida para el campo de números racionales ℚ (el polinomio x ² - 2 no tiene una raíz racional, ya que √ 2no es un número racional) ni los números reales ℝ (el polinomio x ² + a no tiene una raíz real para a > 0 , ya que el cuadrado de x es positivo para cualquier número real x ).

Hay varias pruebas de este teorema, ya sea por métodos analíticos como el teorema de Liouville , o topológicos como el número de bobinado , o una prueba que combina la teoría de Galois y el hecho de que cualquier polinomio real de grado impar tiene al menos una raíz real.

Debido a este hecho, los teoremas válidos para cualquier campo algebraicamente cerrado se aplican a ℂ . Por ejemplo, cualquier matriz cuadrada compleja no vacía tiene al menos un valor propio (complejo) .

Caracterización algebraica

El campo ℂ tiene las siguientes tres propiedades:

• Primero, tiene la característica 0. Esto significa que 1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0 para cualquier número de sumandos (todos iguales a uno).
• En segundo lugar, su grado de trascendencia sobre ℚ , el campo principal de ℂ , es la cardinalidad del continuo .
• En tercer lugar, está algebraicamente cerrado (ver arriba).

Se puede demostrar que cualquier campo que tenga estas propiedades es isomorfo (como un campo) a ℂ . Por ejemplo, el cierre algebraico de ℚ p también satisface estas tres propiedades, por lo que estos dos campos son isomorfos (como campos, pero no como campos topológicos). ^[48] Además, ℂ es isomorfo al campo de las series complejas de Puiseux . Sin embargo, especificar un isomorfismo requiere el axioma de elección . Otra consecuencia de esta caracterización algebraica es que ℂ contiene muchos subcampos propios que son isomorfos a ℂ .

Caracterización como campo topológico

La caracterización anterior de ℂ describe solo los aspectos algebraicos de ℂ . Es decir, no se tratan las propiedades de proximidad y continuidad , que importan en áreas como el análisis y la topología . La siguiente descripción de ℂ como un campo topológico (es decir, un campo que está equipado con una topología , que permite la noción de convergencia) tiene en cuenta las propiedades topológicas. ℂ contiene un subconjunto P (es decir, el conjunto de números reales positivos) de elementos distintos de cero que satisfacen las siguientes tres condiciones:

• P se cierra bajo suma, multiplicación y tomando inversas.
• Si x y y son elementos distintos de P , entonces o bien x - y o y - x está en P .
• Si S es un subconjunto no vacío de P , entonces S + P = x + P para alguna x en ℂ .

Además, ℂ tiene un automorfismo involutivo no trivial x ↦ x * (es decir, la conjugación compleja), tal que x x * está en P para cualquier x distinto de cero en ℂ .

Cualquier campo F con estas propiedades puede dotarse de una topología tomando los conjuntos B ( x ,  p ) = {  y | p - ( y - x ) ( y - x ) * ∈ P  }  como una base de , donde x oscila sobre el campo y p rangos de más de P . Con esta topología F es isomorfo como campo topológico a ℂ .

Los únicos campos topológicos localmente compactos conectados son ℝ y ℂ . Esto da otra caracterización de ℂ como un campo topológico, ya que ℂ se puede distinguir de ℝ porque los números complejos distintos de cero están conectados , mientras que los números reales distintos de cero no lo están. ^[49]

Construcción formal

Construcción como pares ordenados

William Rowan Hamilton introdujo el enfoque para definir el conjunto ℂ de números complejos ^[50] como el conjunto ℝ ² de pares ordenados ( a ,  b ) de números reales, en el que se imponen las siguientes reglas para la suma y la multiplicación: ^[45]

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)+(c,d)&=(a+c,b+d)\\(a,b)\cdot (c,d)&=(ac-bd,bc+ad).\end{aligned}}}$

Entonces es solo una cuestión de notación expresar ( a ,  b ) como a + bi .

Construcción como campo cociente

Aunque esta construcción de bajo nivel describe con precisión la estructura de los números complejos, la siguiente definición equivalente revela la naturaleza algebraica de ℂ más inmediatamente. Esta caracterización se basa en la noción de campos y polinomios. Un campo es un conjunto dotado de operaciones de suma, resta, multiplicación y división que se comportan como es familiar de, digamos, números racionales. Por ejemplo, la ley distributiva

${\displaystyle (x+y)z=xz+yz}$

debe ser válido para cualesquiera tres elementos x , y y z de un campo. El conjunto ℝ de números reales forma un campo. Un polinomio p ( X ) con coeficientes reales es una expresión de la forma

${\displaystyle a_{n}X^{n}+\dotsb +a_{1}X+a_{0},}$

donde a ₀ , ...,  a _n son números reales. La adición y multiplicación habituales de polinomios dota al conjunto ℝ [ X ] de todos estos polinomios con una estructura de anillo . Este anillo se llama anillo polinomial sobre los números reales.

El conjunto de números complejos se define como el anillo del cociente ℝ [ X ] / ( X ² + 1) . ^[51] Este campo de extensión contiene dos raíces cuadradas de −1 , a saber (las clases laterales de) X y - X , respectivamente. (Las clases laterales de) 1 y X forman una base de ℝ [ X ] / ( X ² + 1) como un espacio vectorial real , lo que significa que cada elemento del campo de extensión se puede escribir de forma única como una combinación linealen estos dos elementos. De manera equivalente, los elementos del campo de extensión se pueden escribir como pares ordenados ( a ,  b ) de números reales. El anillo del cociente es un campo, porque X ² + 1 es irreducible sobre ℝ , por lo que el ideal que genera es máximo .

Las fórmulas de suma y multiplicación en el anillo ℝ [ X ] , módulo la relación X ² = −1 , corresponden a las fórmulas de suma y multiplicación de números complejos definidos como pares ordenados. Entonces, las dos definiciones del campo ℂ son isomorfas (como campos).

Aceptando que ℂ es algebraicamente cerrado, ya que es una extensión algebraica de ℝ en este enfoque, ℂ es por lo tanto el cierre algebraico de ℝ .

Representación matricial de números complejos

Los números complejos a + bi también se pueden representar mediante matrices de 2 × 2 que tienen la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}.}$

Aquí las entradas de un y b son números reales. Como la suma y el producto de dos de tales matrices es nuevamente de esta forma, estas matrices forman un subanillo de las matrices de anillo 2 × 2 .

Un simple cálculo muestra que el mapa

${\displaystyle a+ib\mapsto {\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}}$

es un isomorfismo de anillo desde el campo de los números complejos hasta el anillo de estas matrices. Este isomorfismo asocia el cuadrado del valor absoluto de un número complejo con el determinante de la matriz correspondiente, y el conjugado de un número complejo con la transpuesta de la matriz.

La acción de la matriz sobre un vector ( x , y ) corresponde a la multiplicación de x + iy por a + ib . En particular, si el determinante es 1 , existe un número real t tal que la matriz tiene la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}r\cos t&r\sin t\\-r\sin t&r\cos t\end{pmatrix}}.}$

En este caso, la acción de la matriz sobre los vectores y la multiplicación por el número complejo son ambas la rotación del ángulo t .${\displaystyle \cos t+i\sin t}$

Análisis complejo

Gráfico de rueda de color de sin (1 / z ) . Las partes negras en el interior se refieren a números que tienen valores absolutos grandes.

Artículo principal: análisis complejo

El estudio de las funciones de una variable compleja se conoce como análisis complejo y tiene un enorme uso práctico en las matemáticas aplicadas , así como en otras ramas de las matemáticas. A menudo, las pruebas más naturales para enunciados en análisis real o incluso en teoría de números emplean técnicas de análisis complejo (consulte el teorema de los números primos para ver un ejemplo). A diferencia de las funciones reales, que comúnmente se representan como gráficas bidimensionales, las funciones complejas tienen gráficas cuatridimensionales y pueden ilustrarse de manera útil codificando con colores una gráfica tridimensional para sugerir cuatro dimensiones, o animando la transformación dinámica de la función compleja de la plano complejo.

Funciones complejas exponenciales y relacionadas

Las nociones de series convergentes y funciones continuas en el análisis (real) tienen análogos naturales en el análisis complejo. Se dice que una secuencia de números complejos converge si y solo si lo hacen sus partes real e imaginaria. Esto es equivalente a la definición de límites (ε, δ) , donde el valor absoluto de los números reales se reemplaza por el de los números complejos. Desde un punto de vista más abstracto, ℂ , dotado de la métrica

${\displaystyle \operatorname {d} (z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|}$

es un espacio métrico completo , que incluye notablemente la desigualdad del triángulo

${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|}$

para dos números complejos cualesquiera z ₁ y z ₂ .

Como en el análisis real, esta noción de convergencia se utiliza para construir una serie de funciones elementales : la función exponencial exp z , también escrita e ^z , se define como la serie infinita

${\displaystyle \exp z:=1+z+{\frac {z^{2}}{2\cdot 1}}+{\frac {z^{3}}{3\cdot 2\cdot 1}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

La serie que define las funciones trigonométricas reales seno y coseno , así como las funciones hiperbólicas sinh y cosh, también se transfieren a argumentos complejos sin cambios. Para las otras funciones trigonométricas e hiperbólicas, como la tangente , las cosas son un poco más complicadas, ya que las series definitorias no convergen para todos los valores complejos. Por lo tanto, uno debe definirlos en términos de seno, coseno y exponencial o, de manera equivalente, usando el método de continuación analítica .

La fórmula de Euler dice:

${\displaystyle \exp(i\varphi )=\cos \varphi +i\sin \varphi }$

para cualquier número real φ , en particular

${\displaystyle \exp(i\pi )=-1}$

A diferencia de la situación de los números reales, existe una infinidad de soluciones complejas z de la ecuación

${\displaystyle \exp z=w}$

para cualquier número complejo w ≠ 0 . Se puede demostrar que cualquier solución z , llamada logaritmo complejo de w , satisface

${\displaystyle \log w=\ln |w|+i\arg w,}$

donde arg es el argumento definido anteriormente , y en el logaritmo natural (real) . Como arg es una función de varios valores, única solo hasta un múltiplo de 2 π , log también tiene varios valores . El valor principal de log se toma a menudo restringiendo la parte imaginaria al intervalo (- π , π ] .

La exponenciación compleja z ^ω se define como

${\displaystyle z^{\omega }=\exp(\omega \log z),}$

y tiene varios valores, excepto cuando ω es un número entero. Para ω = 1 / n , para algún número natural n , esto recupera la no unicidad de las raíces n mencionadas anteriormente.

Los números complejos, a diferencia de los números reales, en general no satisfacen las identidades de logaritmo y potencia no modificadas, particularmente cuando se las trata ingenuamente como funciones de un solo valor; ver fallas en las identidades de poder y logaritmos . Por ejemplo, no satisfacen

${\displaystyle a^{bc}=\left(a^{b}\right)^{c}.}$

Ambos lados de la ecuación tienen varios valores según la definición de exponenciación compleja dada aquí, y los valores de la izquierda son un subconjunto de los de la derecha.

Funciones holomorfas

Una función f  : ℂ → ℂ se llama holomórfica si satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann . Por ejemplo, cualquier mapa ℝ-lineal ℂ → ℂ se puede escribir en la forma

${\displaystyle f(z)=az+b{\overline {z}}}$

con coeficientes complejos a y b . Este mapa es holomórfico si y solo si b = 0 . El segundo sumando es diferenciable real, pero no satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann .${\displaystyle b{\overline {z}}}$

El análisis complejo muestra algunas características que no son evidentes en el análisis real. Por ejemplo, cualquiera de las dos funciones holomorfas f y g que están de acuerdo en una arbitrariamente pequeño subconjunto abierto de ℂ necesariamente están de acuerdo en todas partes. Las funciones meromórficas , funciones que pueden escribirse localmente como f ( z ) / ( z - z ₀ ) ⁿ con una función holomórfica f , aún comparten algunas de las características de las funciones holomórficas. Otras funciones tienen singularidades esenciales , como sin (1 / z ) en z = 0.

Aplicaciones

Los números complejos tienen aplicaciones en muchas áreas científicas, incluido el procesamiento de señales , la teoría de control , el electromagnetismo , la dinámica de fluidos , la mecánica cuántica , la cartografía y el análisis de vibraciones . Algunas de estas aplicaciones se describen a continuación.

Geometría

Formas

Tres puntos no colineales en el plano determinan la forma del triángulo . Al ubicar los puntos en el plano complejo, esta forma de triángulo puede expresarse mediante aritmética compleja como${\displaystyle u,v,w}$${\displaystyle \{u,v,w\}}$

${\displaystyle S(u,v,w)={\frac {u-w}{u-v}}.}$

La forma de un triángulo seguirá siendo la misma, cuando el plano complejo se transforma por traslación o dilatación (por una transformación afín ), lo que corresponde a la noción intuitiva de forma y describe la similitud . Por tanto, cada triángulo pertenece a una clase de semejanza de triángulos con la misma forma. ^[52]${\displaystyle S}$${\displaystyle \{u,v,w\}}$

Geometría fractal

El conjunto de Mandelbrot con los ejes real e imaginario etiquetados.

El conjunto de Mandelbrot es un ejemplo popular de un fractal formado en el plano complejo. Se define trazando cada ubicación donde la iteración de la secuencia no diverge cuando se repite infinitamente. De manera similar, los conjuntos de Julia tienen las mismas reglas, excepto donde permanece constante.${\displaystyle c}$${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$${\displaystyle c}$

Triángulos

Cada triángulo tiene una inelipse Steiner única : una elipse dentro del triángulo y tangente a los puntos medios de los tres lados del triángulo. Los focos de la inelipse de Steiner de un triángulo se pueden encontrar de la siguiente manera, de acuerdo con el teorema de Marden : ^{[53] [54]} Denote los vértices del triángulo en el plano complejo como a = x _A + y _A i , b = x _B + y _B i , y c = x _C + y _C i. Escribe la ecuación cúbica , toma su derivada y equipara la derivada (cuadrática) a cero. El teorema de Marden dice que las soluciones de esta ecuación son los números complejos que denotan las ubicaciones de los dos focos de la inelipse de Steiner.${\displaystyle (x-a)(x-b)(x-c)=0}$

Teoría algebraica de números

Construcción de un pentágono regular usando regla y compás .

Como se mencionó anteriormente, cualquier ecuación polinomial no constante (en coeficientes complejos) tiene una solución en ℂ . A fortiori, lo mismo es cierto si la ecuación tiene coeficientes racionales. Las raíces de tales ecuaciones se denominan números algebraicos ; son un objeto principal de estudio en la teoría algebraica de números . Comparado con ℚ , el cierre algebraico de ℚ , que también contiene todos los números algebraicos, ℂ tiene la ventaja de ser fácilmente comprensible en términos geométricos. De esta forma, los métodos algebraicos se pueden utilizar para estudiar cuestiones geométricas y viceversa. Con métodos algebraicos, más específicamente aplicando la maquinaria de la teoría de campos al campo numérico.que contiene raíces de unidad , se puede demostrar que no es posible construir un nonágono regular usando solo brújula y regla - un problema puramente geométrico.

Otro ejemplo son enteros de Gauss , es decir, números de la forma x + iy , donde x y y son números enteros, que pueden ser utilizados para clasificar las sumas de cuadrados .

Teoría analítica de números

Artículo principal: teoría analítica de números

La teoría analítica de números estudia los números, a menudo enteros o racionales, aprovechando el hecho de que pueden considerarse números complejos, en los que se pueden utilizar métodos analíticos. Esto se hace codificando información de teoría numérica en funciones de valores complejos. Por ejemplo, la función zeta de Riemann ζ ( s ) está relacionada con la distribución de números primos .

Integrales impropias

En los campos aplicados, los números complejos se utilizan a menudo para calcular ciertas integrales impropias de valor real , por medio de funciones de valor complejo. Existen varios métodos para hacer esto; ver métodos de integración de contornos .

Ecuaciones dinámicas

En ecuaciones diferenciales , es común encontrar primero todas las raíces complejas r de la ecuación característica de una ecuación diferencial lineal o sistema de ecuaciones y luego intentar resolver el sistema en términos de funciones base de la forma f ( t ) = e ^rt . Asimismo, en ecuaciones en diferencias , se utilizan las raíces complejas r de la ecuación característica del sistema de ecuaciones en diferencias, para intentar resolver el sistema en términos de funciones base de la forma f ( t ) = r ^t .

En matemáticas aplicadas

Teoría del control

En la teoría de control , los sistemas a menudo se transforman del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia utilizando la transformada de Laplace . A continuación, se analizan los polos y ceros del sistema en el plano complejo . Las técnicas del lugar de raíces , el diagrama de Nyquist y el diagrama de Nichols hacen uso del plano complejo.

En el método del lugar de las raíces, es importante si los ceros y los polos están en los semiplanos izquierdo o derecho, es decir, tienen una parte real mayor o menor que cero. Si un sistema lineal, invariante en el tiempo (LTI) tiene polos que son

• en el semiplano derecho, será inestable ,
• todo en el semiplano izquierdo, será estable ,
• en el eje imaginario, tendrá estabilidad marginal .

Si un sistema tiene ceros en el semiplano derecho, es un sistema de fase no mínima .

Análisis de señales

Los números complejos se utilizan en el análisis de señales y otros campos para una descripción conveniente de las señales que varían periódicamente. Para funciones reales dadas que representan cantidades físicas reales, a menudo en términos de senos y cosenos, se consideran las funciones complejas correspondientes de las cuales las partes reales son las cantidades originales. Para una onda sinusoidal de una frecuencia dada , el valor absoluto | z | de la z correspondiente es la amplitud y el argumento arg z es la fase .

Si se emplea el análisis de Fourier para escribir una señal de valor real dada como una suma de funciones periódicas, estas funciones periódicas a menudo se escriben como funciones de valor complejo de la forma

${\displaystyle x(t)=\operatorname {\mathcal {Re}} \{X(t)\}}$

y

${\displaystyle X(t)=Ae^{i\omega t}=ae^{i\phi }e^{i\omega t}=ae^{i(\omega t+\phi )}}$

donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo A codifica la fase y amplitud como se explicó anteriormente.

Este uso se extiende también en procesamiento de señales digitales y procesamiento de imágenes digitales , que utilizan versiones digitales de análisis de Fourier (y wavelet análisis) para transmitir, compresa , restaurar, y de otra manera procesar digitales de audio señales, imágenes fijas, y de video señales.

Otro ejemplo, relevante para las dos bandas laterales de modulación de amplitud de la radio AM, es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos((\omega +\alpha )t)+\cos \left((\omega -\alpha )t\right)&=\operatorname {\mathcal {Re}} \left(e^{i(\omega +\alpha )t}+e^{i(\omega -\alpha )t}\right)\\&=\operatorname {\mathcal {Re}} \left(\left(e^{i\alpha t}+e^{-i\alpha t}\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=\operatorname {\mathcal {Re}} \left(2\cos(\alpha t)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \operatorname {\mathcal {Re}} \left(e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \cos \left(\omega t\right).\end{aligned}}}$

En física

Electromagnetismo e ingeniería eléctrica

Artículo principal: corriente alterna

En ingeniería eléctrica , la transformada de Fourier se usa para analizar diferentes voltajes y corrientes . El tratamiento de resistencias , condensadores e inductores se puede unificar introduciendo resistencias imaginarias dependientes de la frecuencia para los dos últimos y combinando los tres en un único número complejo llamado impedancia . Este enfoque se llama cálculo fasorial .

En ingeniería eléctrica, la unidad imaginaria se denota por j , para evitar confusión con I , que generalmente se usa para denotar corriente eléctrica , o, más particularmente, i , que generalmente se usa para denotar corriente eléctrica instantánea.

Dado que el voltaje en un circuito de CA está oscilando, se puede representar como

${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{j\omega t}=V_{0}\left(\cos \omega t+j\sin \omega t\right),}$

Para obtener la cantidad medible se toma la parte real:

${\displaystyle v(t)=\operatorname {\mathcal {Re}} (V)=\operatorname {\mathcal {Re}} \left[V_{0}e^{j\omega t}\right]=V_{0}\cos \omega t.}$

La señal de valor complejo V ( t ) se denomina representación analítica de la señal medible de valor real v ( t ) .^[55]

Dinámica de fluidos

En dinámica de fluidos , las funciones complejas se utilizan para describir el flujo potencial en dos dimensiones .

Mecánica cuántica

El campo de números complejos es intrínseco a las formulaciones matemáticas de la mecánica cuántica , donde los espacios de Hilbert complejos proporcionan el contexto para una de esas formulaciones que es conveniente y quizás la más estándar. Las fórmulas fundamentales originales de la mecánica cuántica, la ecuación de Schrödinger y la mecánica matricial de Heisenberg, utilizan números complejos.

Relatividad

En la relatividad especial y general , algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo se vuelven más simples si se considera que el componente de tiempo del continuo espaciotiempo es imaginario. (Este enfoque ya no es estándar en la relatividad clásica, pero se usa de manera esencial en la teoría cuántica de campos ). Los números complejos son esenciales para los espinores , que son una generalización de los tensores usados ​​en la relatividad.

Generalizaciones y nociones relacionadas

Gráfico de cuaterniones Cayley Q8 que muestra los ciclos de multiplicación por i , j y k

El proceso de extender el campo de los reales a se conoce como construcción Cayley-Dickson . Puede llevarse más lejos a dimensiones más altas, produciendo los cuaterniones y octoniones que (como un espacio vectorial real) son de dimensión 4 y 8, respectivamente. En este contexto, los números complejos se han denominado binarios . ^[56]${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$

Así como al aplicar la construcción a los reales se pierde la propiedad de ordenar , las propiedades familiares de los números reales y complejos se desvanecen con cada extensión. Los cuaterniones pierden conmutatividad, es decir, x · y ≠ y · x para algunos cuaterniones x ,  y , y la multiplicación de octoniones , además de no ser conmutativa, deja de ser asociativa: ( x · y ) · z ≠ x · ( y · z ) para algunos octoniones x ,  y,  z .

Reales, números complejos, los cuaterniones y octoniones son todas las álgebras de división normed más Por el teorema de Hurwitz que son los únicos; las sedeniones , el siguiente paso en la construcción Cayley-Dickson, no tienen esta estructura.${\displaystyle \mathbb {R} }$

La construcción de Cayley-Dickson está estrechamente relacionado con la representación regular de pensamiento de como - álgebra (un ℝ espacio-vector con una multiplicación), con respecto a la base (1,  i ) . Esto significa lo siguiente: el mapa lineal${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {C} &\rightarrow \mathbb {C} \\z&\mapsto wz\end{aligned}}}$

para algún número complejo fijo, w puede representarse mediante una matriz de 2 × 2 (una vez que se ha elegido una base). Con respecto a la base (1,  i ) , esta matriz es

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\operatorname {\mathcal {Re}} (w)&-\operatorname {\mathcal {Im}} (w)\\\operatorname {\mathcal {Im}} (w)&\operatorname {\mathcal {Re}} (w)\end{pmatrix}},}$

es decir, el mencionado en la sección de representación matricial de números complejos anterior. Si bien esta es una representación lineal de en las matrices reales de 2 × 2, no es la única. Cualquier matriz${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}p&q\\r&-p\end{pmatrix}},\quad p^{2}+qr+1=0}$

tiene la propiedad de que su cuadrado es el negativo de la matriz de identidad: J ² = - I . Luego

${\displaystyle \{z=aI+bJ:a,b\in \mathbb {R} \}}$

también es isomorfo al campo y da una estructura compleja alternativa en Esto se generaliza mediante la noción de una estructura compleja lineal .${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Los números hipercomplejos también se generalizan y, por ejemplo, esta noción contiene los números complejos divididos , que son elementos del anillo (a diferencia de los números complejos). En este anillo, la ecuación a ² = 1 tiene cuatro soluciones.${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ,}$${\displaystyle \mathbb {O} .}$${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)}$${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$

El campo es la finalización del campo de números racionales , con respecto a la métrica de valor absoluto habitual . Otras elecciones de métricas sobre conducen a los campos de p -números ádicos (para cualquier número primo p ), que por lo tanto son análogos a ℝ . No hay otras formas no triviales de completar que y por el teorema de Ostrowski . Los cierres algebraicos de todavía llevan una norma, pero (a diferencia de ) no están completos con respecto a ella. La finalización de${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$resulta ser algebraicamente cerrado. Por analogía, el campo se llama números complejos p -ádicos.

Los campos y sus extensiones de campo finito, incluidos, se denominan campos locales .${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

Ver también

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con los números complejos .

• Superficie algebraica
• Movimiento circular usando números complejos
• Sistema de base compleja
• Geometría compleja
• Número complejo dual
• Entero de Eisenstein
• Identidad de Euler
• Álgebra geométrica (que incluye el plano complejo como subespacio de espino bidimensional )${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}^{+}}$
• Raíz de unidad
• Número complejo de la unidad

Notas

1. "Los números complejos, tanto como los reales, y quizás incluso más, encuentran una unidad con la naturaleza que es verdaderamente notable. Es como si la naturaleza misma estuviera tan impresionada por el alcance y la consistencia del sistema de números complejos como nosotros mismos, y ha confiado a estos números las operaciones precisas de su mundo en sus escalas más diminutas ". - R. Penrose (2016, pág. 73) ^[5]
2. "El planocuyos puntos se identifican con los elementos dese llama plano complejo" ... "La interpretación geométrica completa de los números complejos y las operaciones sobre ellos apareció por primera vez en la obra de C. Wessel (1799). La representación geométrica de los números complejos, a veces llamados el "diagrama de Argand", entraron en uso después de la publicación en 1806 y 1814 de artículos de JR Argand, quien redescubrió, en gran parte de forma independiente, los hallazgos de Wessel ". - ( Solomentsev 2001 )${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$
3. En notación moderna, la solución de Tartaglia se basa en la expansión del cubo de la suma de dos raíces cúbicas:Con,,, U y V se pueden expresar en términos de p y q comoy, respectivamente. Por lo tanto,. Cuandoes negativo (casus irreducibilis), la segunda raíz cúbica debe considerarse como el conjugado complejo de la primera.${\displaystyle \left({\sqrt[{3}]{u}}+{\sqrt[{3}]{v}}\right)^{3}=3{\sqrt[{3}]{uv}}\left({\sqrt[{3}]{u}}+{\sqrt[{3}]{v}}\right)+u+v}$${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{u}}+{\sqrt[{3}]{v}}}$${\displaystyle p=3{\sqrt[{3}]{uv}}}$${\displaystyle q=u+v}$${\displaystyle u=q/2+{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}}$${\displaystyle v=q/2-{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}}$${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{q/2+{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{q/2-{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}}}}$${\displaystyle (q/2)^{2}-(p/3)^{3}}$
4. Se ha demostrado que los números imaginarios tienen que aparecer necesariamente en la fórmula cúbica cuando la ecuación tiene tres raíces reales diferentes por Pierre Laurent Wantzel en 1843, Vincenzo Mollame en 1890, Otto Hölder en 1891 y Adolf Kneser en 1892. Paolo Ruffini también proporcionó una prueba incompleta en 1799. - S. Confalonieri (2015) ^[21]
5. Argand (1814) ^{[37] ( p. 204 )} define el módulo de un número complejo pero no lo nombra:
   "Dans ce qui suit, les accens, indifféremment placés, seront Employés pour indiquer la grandeur absolue des quantités qu ' ils afectivo; ainsi, si , et étant réels, en devra entendre que ou . "${\displaystyle a=m+n{\sqrt {-1}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{'}}$${\displaystyle a'={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$
   [En lo que sigue, las marcas de acento, dondequiera que estén colocadas, se usarán para indicar el tamaño absoluto de las cantidades a las que están asignadas; así si,ysiendo real, uno debe entender queo.] Argand ^{[37] ( p. 208 )} define y nombra el${\displaystyle a=m+n{\sqrt {-1}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{'}}$${\displaystyle a'={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$
   módulo y el factor de dirección de un número complejo: "... pourrait être appelé le${\displaystyle a={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$ module de , et représenterait la${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}$ grandeur absolue de la ligne , tandis que l'autre facteur, dont le module est l'unité, en représenterait la direction. "${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}$
   [... podría llamarse el módulo de y representaría el tamaño absoluto de la línea (Nótese que Argand representaba números complejos como vectores) mientras que el otro factor [es decir, ], cuyo módulo es la unidad [1], representaría su dirección.] ^[37]${\displaystyle a={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}$${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}\,,}$${\displaystyle {\tfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+{\tfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{\sqrt {-1}}}$
6. Gauss (1831) ^{[29] ( p 96 )} escribe
   "Quemadmodum scilicet arithmetica sublimior in quaestionibus hactenus pertractatis inter solos numeros integros reales versatur, ita teoremata circa residua biquadratica tunc tantum in summa simplicitate ac genuina venustate resplenitates imaginariase extenditur, ita ut absque restrictione ipsius obiectum constituant numeri formae a + bi , denotantibus i , pro more quantitatem imaginariam √ -1 , atque a, b indefinido omnes numeros reales integros inter - et + . "${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \infty }$
   [Por supuesto, así como la aritmética superior se ha investigado hasta ahora en problemas sólo entre números enteros reales, los teoremas relacionados con los residuos bicuadráticos brillan con la mayor simplicidad y belleza genuina, cuando el campo de la aritmética se extiende a cantidades imaginarias , de modo que, sin restricciones sobre él, los números de la forma a + bi - i denota por convención la cantidad imaginaria √ -1 , y las variables a, b [denota] todos los números enteros reales entre y - constituyen un objeto.] ^[29]${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$
7. Gauss (1831) ^{[29] ( p 96 )}
   "Cuentos numeros vocabimus numeros integros complexos, ita quidem, ut reales complexis non opponantur, sed tamquam especie sub his contineri censeantur".
   [Llamaremos a tales números [es decir, números de la forma a + bi ] "números enteros complejos", de modo que los [números] reales no se consideren como lo opuesto a los [números] complejos sino [como] un tipo [de número que ] está, por así decirlo, contenido en ellos.] ^[29]
8. Gauss (1831) ^{[29] ( p 98 )}
   "Productum numeri complexi per numerum ipsi conjunctum utriusque normam vocamus. Pro norma itaque numeri realis, ipsius quadratum habendum est."
   [Llamamos "norma" al producto de un número complejo [por ejemplo ,. a + ib ] con su conjugado [ a - ib ]. Por lo tanto, el cuadrado de un número real debe considerarse su norma.] ^[29]
9. Sin embargo, para otra función inversa de la función exponencial compleja (y no el valor principal definido anteriormente), el corte de la rama podría tomarse en cualquier otro rayo a través del origen.

Referencias

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Lectura adicional

Wikiversity tiene recursos de aprendizaje sobre números complejos

Wikilibros tiene un libro sobre el tema de: Cálculo / Números complejos

Wikisource tiene el texto del artículo Number / Complex Numbers de la Encyclopædia Britannica de 1911 .

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Histórico

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• Ebbinghaus, HD; Hermes, H .; Hirzebruch, F .; Koecher, M .; Mainzer, K .; Neukirch, J .; Prestel, A .; Remmert, R. (1991). Números (edición de tapa dura). Saltador. ISBN 978-0-387-97497-2. - Una perspectiva avanzada sobre el desarrollo histórico del concepto de número.