En el modelado geométrico y en los gráficos por computadora , una curva de Bézier compuesta es una curva de Bézier por partes que es al menos continua . En otras palabras, una curva de Bézier compuesta es una serie de curvas de Bézier unidas de un extremo a otro donde el último punto de una curva coincide con el punto inicial de la siguiente. Dependiendo de la aplicación, se pueden agregar requisitos adicionales de suavidad (como continuidad C1 o C2). [1]
Un Bézier compuesto continuo también se llama polibézier , por similitud con la polilínea , pero mientras que en las polilíneas los puntos están conectados por líneas rectas, en un polibézier los puntos están conectados por curvas de Bézier. Un beziergon (también llamado bezigon ) es un camino cerrado compuesto por curvas de Bézier . Es similar a un polígono en que conecta un conjunto de vértices por líneas, pero mientras que en los polígonos los vértices están conectados por líneas rectas, en un beziergon los vértices están conectados por curvas de Bézier. [2] [3] [4] Algunos autores incluso llaman a una curva de Bézier compuesta C0 una "spline de Bézier"; [5] Sin embargo, este último término es utilizado por otros autores como sinónimo de la curva de Bézier (no compuesta), y agregan "compuesto" delante de "spline de Bézier" para denotar el caso compuesto. [6]
Quizás el uso más común de los Béziers compuestos es describir el contorno de cada letra en un archivo PostScript o PDF . Dichos contornos se componen de un beziergon para letras abiertas o varios beziergons para letras cerradas. Los gráficos vectoriales modernos y los sistemas de fuentes de computadora como PostScript , Asymptote , Metafont , OpenType y SVG utilizan curvas Bézier compuestas compuestas por curvas Bézier cúbicas (curvas de tercer orden) para dibujar formas curvas.
Unión suave
Las curvas compuestas de Bézier se pueden suavizar a cualquier grado deseado de suavidad utilizando la construcción de Stärk. [7]
Las curvas de Bézier cúbicas compuestas continuas C2 son en realidad B-splines cúbicos , [8] y viceversa. [9]
Las curvas individuales son por definición C1 y C2 continuas. La condición geométrica para la continuidad de C1 cuando se transita a través de un punto final que une dos curvas es que los puntos de control asociados son mutuamente opuestos y colineales con el punto final. La condición geométrica para la continuidad C2 es la continuidad C1, con la restricción adicional de que los puntos de control son equidistantes del punto final.
Aproximación de arcos circulares
En caso de que las primitivas de arco circular no se admitan en un entorno particular, pueden aproximarse mediante curvas de Bézier . [10] Comúnmente, se utilizan ocho segmentos cuadráticos [11] o cuatro segmentos cúbicos para aproximar un círculo. Es deseable encontrar la longitud de puntos de control que dan como resultado el menor error de aproximación para un número dado de segmentos cúbicos.
Usando cuatro curvas
Considerando solo el arco circular unitario de 90 grados en el primer cuadrante , definimos los puntos finales y con puntos de control y , respectivamente, como:
De la definición de la curva de Bézier cúbica, tenemos:
Con el punto como el punto medio del arco, podemos escribir las siguientes dos ecuaciones:
Resolver estas ecuaciones para la coordenada x (e idénticamente para la coordenada y) produce:
Caso general
Podemos componer un círculo de radio a partir de un número arbitrario de curvas de Bézier cúbicas. [12] Deje que el arco comience en el punto y terminar en el punto , colocado a distancias iguales por encima y por debajo del eje x, abarcando un arco de ángulo :
Los puntos de control pueden escribirse como: [13]
Ejemplos de
PolyBézier cuadrático de ocho segmentos (rojo) que se aproxima a un círculo (negro) con puntos de control
PolyBézier cúbico de cuatro segmentos (rojo) que se aproxima a un círculo (negro) con puntos de control
Fuentes
Las fuentes TrueType utilizan Béziers compuestos compuestos por curvas de Bézier cuadráticas (curvas de segundo orden). Para describir un diseño tipográfico típico como una fuente de computadora con cualquier precisión dada, los Béziers de tercer orden requieren menos datos que los Béziers de segundo orden; y éstos, a su vez, requieren menos datos que una serie de líneas rectas. Esto es cierto a pesar de que cualquier segmento de línea recta requiere menos datos que cualquier segmento de una parábola; y ese segmento parabólico, a su vez, requiere menos datos que cualquier segmento de una curva de tercer orden.
Ver también
Referencias
- ^ Eugene V. Shikin; Alexander I. Plis (14 de julio de 1995). Manual de splines para el usuario . Prensa CRC. pag. 96. ISBN 978-0-8493-9404-1.
- ^ API de Microsoft Polybezier
- ^ Referencia de la API de papyrus beziergon
- ^ "Una mejor caja de crayones" . InfoWorld. 1991.
- ^ Rebaza, Jorge (24 de abril de 2012). Un primer curso de matemática aplicada . John Wiley e hijos. ISBN 9781118277157.
- ^ (Firma), Wolfram Research (13 de septiembre de 1996). Paquetes complementarios estándar de Mathematica ® 3.0 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521585859.
- ^ Prautzsch, Hartmut; Boehm, Wolfgang; Paluszny, Marco (6 de agosto de 2002). Técnicas Bézier y B-Spline . Springer Science & Business Media. ISBN 9783540437611.
- ^ Bartels, Richard H .; Beatty, John C .; Barsky, Brian A. (1 de enero de 1987). Introducción a las estrías para su uso en gráficos por computadora y modelado geométrico . Morgan Kaufmann. ISBN 9781558604001.
- ^ Agoston, Max K. (6 de diciembre de 2005). Gráficos por Computadora y Modelado Geométrico: Implementación y Algoritmos . Springer Science & Business Media. ISBN 9781846281082.
- ^ Stanislav, G. Adam. "Dibujar un círculo con curvas de Bézier" . Consultado el 10 de abril de 2010 .
- ^ "Digitalización de diseños tipográficos" . Manzana . Consultado el 26 de julio de 2014 .
- ^ Riškus, Aleksas (octubre de 2006). "APROXIMACIÓN DE UNA CURVA DE BEZIER CÚBICA POR ARCOS CIRCULARES Y VICEVERSA" (PDF) . Control y Tecnología de la Información . Departamento de Ingeniería Multimedia, Universidad Tecnológica de Kaunas. 35 (4): 371–378. ISSN 1392-124X .[ enlace muerto permanente ]
- ^ DeVeneza, Richard. "Dibujar un círculo con curvas de Bézier" (PDF) . Consultado el 10 de abril de 2010 .