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La parte real (roja) y la parte imaginaria (azul) de la función zeta de Riemann a lo largo de la línea crítica Re ( s ) = 1/2. Los primeros ceros no triviales se pueden ver en Im ( s ) = ± 14.135, ± 21.022 y ± 25.011. La hipótesis de Riemann , una famosa conjetura, dice que todos los ceros no triviales de la función zeta se encuentran a lo largo de la línea crítica.

En matemáticas , una conjetura es una conclusión o una proposición que se sospecha que es cierta debido a la evidencia preliminar de apoyo, pero para la cual aún no se ha encontrado ninguna prueba o refutación. [1] [2] [3] [4] Algunas conjeturas, como la hipótesis de Riemann (todavía una conjetura) o el último teorema de Fermat (una conjetura hasta que Andrew Wiles lo probó en 1995 ), han dado forma a gran parte de la historia matemática como nuevas áreas de las matemáticas se desarrollan con el fin de probarlos. [5]

Ejemplos importantes [ editar ]

Último teorema de Fermat [ editar ]

Artículo principal: Último teorema de Fermat

En teoría de números , último teorema de Fermat (a veces llamada conjetura de Fermat , sobre todo en los textos antiguos) afirma que no hay tres positivos enteros , y puede satisfacer la ecuación para cualquier valor entero mayor que dos.

Este teorema fue conjeturado por primera vez por Pierre de Fermat en 1637 en el margen de una copia de Arithmetica , donde afirmó que tenía una prueba que era demasiado grande para caber en el margen. [6] La primera prueba exitosa fue lanzada en 1994 por Andrew Wiles , y publicada formalmente en 1995, después de 358 años de esfuerzo por parte de los matemáticos. El problema no resuelto estimuló el desarrollo de la teoría algebraica de números en el siglo XIX y la demostración del teorema de modularidad en el siglo XX. Es uno de los teoremas más notables de la historia de las matemáticas , y antes de su demostración estaba en el Libro Guinness de los Récords Mundiales.para "los problemas matemáticos más difíciles". [7]

Teorema de los cuatro colores [ editar ]

Artículo principal: Teorema de los cuatro colores
Un mapa de cuatro colores de los estados de los Estados Unidos (ignorando los lagos).

En matemáticas , el teorema de los cuatro colores , o el teorema del mapa de cuatro colores, establece que dada cualquier separación de un plano en regiones contiguas , para producir una figura llamada mapa , no se requieren más de cuatro colores para colorear las regiones del mapa, por lo que que no hay dos regiones adyacentes que tengan el mismo color. Dos regiones se denominan adyacentes si comparten un límite común que no es una esquina, donde las esquinas son los puntos compartidos por tres o más regiones. [8] Por ejemplo, en el mapa de los Estados Unidos de América, Utah y Arizona son adyacentes, pero Utah y Nuevo México, que solo comparten un punto que también pertenece a Arizona y Colorado, no lo son.

Möbius mencionó el problema en sus conferencias ya en 1840. [9] La conjetura se propuso por primera vez el 23 de octubre de 1852 [10] cuando Francis Guthrie , mientras intentaba colorear el mapa de los países de Inglaterra, notó que solo cuatro colores diferentes eran necesario. El teorema de los cinco colores , que tiene una breve demostración elemental, establece que cinco colores son suficientes para colorear un mapa y fue probado a finales del siglo XIX; [11] sin embargo, demostrar que cuatro colores son suficientes resultó ser significativamente más difícil. Han aparecido varias demostraciones falsas y contraejemplos falsos desde la primera declaración del teorema de los cuatro colores en 1852.

El teorema de los cuatro colores fue finalmente probado en 1976 por Kenneth Appel y Wolfgang Haken . Fue el primer teorema importante que se demostró usando una computadora. El enfoque de Appel y Haken comenzó mostrando que hay un conjunto particular de 1936 mapas, cada uno de los cuales no puede ser parte de un contraejemplo de menor tamaño para el teorema de los cuatro colores (es decir, si aparecieran, se podría hacer un contraejemplo más pequeño ). Appel y Haken utilizaron un programa informático de propósito especial para confirmar que cada uno de estos mapas tenía esta propiedad. Además, cualquier mapa que pueda ser un contraejemplo debe tener una parte que se parezca a uno de estos 1.936 mapas. Mostrando esto con cientos de páginas de análisis a mano, Appel y Haken concluyeron que no existe un contraejemplo más pequeño porque cualquiera debe contener, pero no contener, uno de estos 1.936 mapas. Esta contradicción significa que no hay contraejemplos en absoluto y que, por lo tanto, el teorema es verdadero. Inicialmente,su demostración no fue aceptada por los matemáticos en absoluto porque laLa prueba asistida por computadora no era factible para que un humano la verificara a mano. [12] Sin embargo, la prueba ha ganado desde entonces una aceptación más amplia, aunque aún quedan dudas. [13]

Hauptvermutung [ editar ]

Artículo principal: Hauptvermutung

La Hauptvermutung (conjetura principal en alemán) de la topología geométrica es la conjetura de que dos triangulaciones cualesquiera de un espacio triangulable tienen un refinamiento común, una triangulación única que es una subdivisión de ambas. Fue formulado originalmente en 1908 por Steinitz y Tietze . [14]

Ahora se sabe que esta conjetura es falsa. La versión no múltiple fue refutada por John Milnor [15] en 1961 utilizando la torsión Reidemeister .

La versión múltiple es verdadera en dimensiones m ≤ 3 . Los casos m = 2 y 3 fueron demostrados por Tibor Radó y Edwin E. Moise [16] en las décadas de 1920 y 1950, respectivamente.

Conjeturas de Weil [ editar ]

Artículo principal: conjeturas de Weil

En matemáticas , las conjeturas de Weil fueron algunas propuestas muy influyentes de André Weil  ( 1949 ) sobre las funciones generadoras (conocidas como funciones zeta locales ) derivadas de contar el número de puntos en variedades algebraicas sobre campos finitos .

Una variedad V sobre un campo finito con q elementos tiene un número finito de puntos racionales , así como puntos sobre cada campo finito con q k elementos que contienen ese campo. La función generadora tiene coeficientes derivados de los números N k de puntos sobre el campo (esencialmente único) con q k elementos.

Weil conjeturó que tales funciones zeta deberían ser funciones racionales , deberían satisfacer una forma de ecuación funcional y deberían tener sus ceros en lugares restringidos. Las dos últimas partes se modelaron de manera bastante consciente en la función zeta de Riemann y la hipótesis de Riemann . La racionalidad fue probada por Dwork (1960) , la ecuación funcional por Grothendieck (1965) , y la análoga de la hipótesis de Riemann fue probada por Deligne (1974)

Conjetura de Poincaré [ editar ]

Artículo principal: conjetura de Poincaré

En matemáticas , la conjetura de Poincaré es un teorema sobre la caracterización de la 3-esfera , que es la hiperesfera que limita la bola unitaria en un espacio de cuatro dimensiones. La conjetura establece que:

Cada simplemente conectado , cerrado 3- colector es homeomorfo a la 3-esfera.

Una forma equivalente de la conjetura implica una forma de equivalencia más burda que el homeomorfismo llamada equivalencia de homotopía : si una variedad 3 es homotopía equivalente a la esfera 3, entonces es necesariamente homeomórfica para ella.

Conjeturado originalmente por Henri Poincaré , el teorema se refiere a un espacio que localmente se parece a un espacio tridimensional ordinario pero que está conectado, es de tamaño finito y carece de cualquier límite (una variedad tridimensional cerrada ). La conjetura de Poincaré afirma que si tal espacio tiene la propiedad adicional de que cada bucle en el espacio puede ajustarse continuamente a un punto, entonces es necesariamente una esfera tridimensional. Un resultado análogo se conoce desde hace algún tiempo en dimensiones superiores.

Después de casi un siglo de esfuerzo por parte de los matemáticos, Grigori Perelman presentó una prueba de la conjetura en tres artículos disponibles en 2002 y 2003 en arXiv . La demostración siguió del programa de Richard S. Hamilton para utilizar el flujo de Ricci para intentar resolver el problema. Más tarde, Hamilton introdujo una modificación del flujo estándar de Ricci, llamado flujo de Ricci con cirugía para extirpar sistemáticamente regiones singulares a medida que se desarrollan, de forma controlada, pero no pudo probar que este método "convergía" en tres dimensiones. [17] Perelman completó esta parte de la prueba. Varios equipos de matemáticos han verificado que la prueba de Perelman es correcta.

La conjetura de Poincaré, antes de ser probada, era una de las cuestiones abiertas más importantes en topología .

Hipótesis de Riemann [ editar ]

Artículo principal: hipótesis de Riemann

En matemáticas, la hipótesis de Riemann , propuesta por Bernhard Riemann  ( 1859 ), es una conjetura de que los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen todos una parte real 1/2. El nombre también se usa para algunos análogos estrechamente relacionados, como la hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos .

La hipótesis de Riemann implica resultados sobre la distribución de números primos . Junto con las generalizaciones adecuadas, algunos matemáticos lo consideran el problema sin resolver más importante de las matemáticas puras . [18] La hipótesis de Riemann, junto con la conjetura de Goldbach , es parte del octavo problema de Hilbert en la lista de David Hilbert de 23 problemas sin resolver ; también es uno de los problemas del premio Millennium del Clay Mathematics Institute .

Problema de P versus NP [ editar ]

Artículo principal: problema de P versus NP

El problema de P versus NP es un problema importante sin resolver en la informática . De manera informal, se pregunta si todos los problemas cuya solución puede ser verificada rápidamente por una computadora también pueden ser resueltos rápidamente por una computadora; Se conjetura ampliamente que la respuesta es no. Básicamente, se mencionó por primera vez en una carta de 1956 escrita por Kurt Gödel a John von Neumann . Gödel preguntó si cierto problema NP-completo podría resolverse en tiempo cuadrático o lineal. [19] El enunciado preciso del problema P = NP fue introducido en 1971 por Stephen Cook en su artículo fundamental "La complejidad de los procedimientos de demostración de teoremas" [20]y es considerado por muchos como el problema abierto más importante en el campo. [21] Es uno de los siete problemas del premio Millennium seleccionados por el Clay Mathematics Institute para obtener un premio de US $ 1.000.000 por la primera solución correcta.

Otras conjeturas [ editar ]

  • Conjetura de Goldbach
  • La conjetura de los primos gemelos
  • La conjetura de Collatz
  • La conjetura de Manin
  • La conjetura de Maldacena
  • La conjetura de Euler , propuesta por Euler en el siglo XVIII, pero para la cual se encontraron contraejemplos para varios exponentes (comenzando con n = 4) a partir de mediados del siglo XX.
  • Las conjeturas de Hardy-Littlewood son un par de conjeturas relativas a la distribución de números primos, la primera de las cuales se expande sobre la conjetura de los primos gemelos antes mencionada. Ninguno de los dos ha sido probado ni refutado, pero se ha demostrado que ambos no pueden ser verdaderos simultáneamente (es decir, al menos uno debe ser falso). No se ha probado cuál es falso, pero se cree ampliamente que la primera conjetura es verdadera y la segunda es falsa. [22]
  • El programa Langlands [23] es una red de gran alcance de estas ideas de " conjeturas unificadoras " que vinculan diferentes subcampos de las matemáticas (por ejemplo, entre la teoría de números y la teoría de representación de grupos de Lie ). Algunas de estas conjeturas han sido probadas desde entonces.

Resolución de conjeturas [ editar ]

Prueba [ editar ]

Las matemáticas formales se basan en verdades demostrables . En matemáticas, cualquier número de casos que apoyen una conjetura, sin importar cuán grande sea, es insuficiente para establecer la veracidad de la conjetura, ya que un solo contraejemplo podría derribar inmediatamente la conjetura. Las revistas de matemáticas a veces publican los resultados menores de los equipos de investigación que han ampliado la búsqueda de un contraejemplo más allá de lo que se había hecho anteriormente. Por ejemplo, la conjetura de Collatz , que se refiere a si ciertas secuencias de números enteros terminan o no , ha sido probada para todos los números enteros hasta 1.2 × 10 12(más de un billón). Sin embargo, el hecho de no encontrar un contraejemplo después de una búsqueda extensa no constituye una prueba de que no exista ningún contraejemplo, ni de que la conjetura sea verdadera, porque la conjetura podría ser falsa pero con un contraejemplo mínimo muy grande.

En cambio, una conjetura se considera probada solo cuando se ha demostrado que es lógicamente imposible que sea falsa. Existen varios métodos para hacerlo; ver métodos de demostración matemática para más detalles.

Un método de prueba, aplicable cuando sólo hay un número finito de casos que podrían dar lugar a contraejemplos, se conoce como " fuerza bruta ": en este enfoque, se consideran todos los casos posibles y se demuestra que no dan contraejemplos. En algunas ocasiones, el número de casos es bastante grande, en cuyo caso una prueba de fuerza bruta puede requerir en la práctica el uso de un algoritmo informático para verificar todos los casos. Por ejemplo, inicialmente se puso en duda la validez de las pruebas de fuerza bruta de 1976 y 1997 del teorema de los cuatro colores por computadora, pero finalmente se confirmó en 2005 mediante un software de prueba de teoremas .

Cuando una conjetura ha sido probada , ya no es una conjetura sino un teorema . Muchos teoremas importantes fueron una vez conjeturas, como el teorema de geometrización (que resolvió la conjetura de Poincaré ), el último teorema de Fermat y otros.

Refutar [ editar ]

Las conjeturas refutadas mediante contraejemplos a veces se denominan conjeturas falsas (cf. la conjetura de Pólya y la conjetura de la suma de poderes de Euler ). En el caso de este último, el primer contraejemplo encontrado para el caso n = 4 involucró números en millones, aunque posteriormente se ha encontrado que el contraejemplo mínimo es en realidad más pequeño.

Conjeturas independientes [ editar ]

No todas las conjeturas terminan siendo verdaderas o falsas. La hipótesis del continuo , que intenta determinar la cardinalidad relativa de ciertos conjuntos infinitos , finalmente demostró ser independiente del conjunto generalmente aceptado de axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . Por lo tanto, es posible adoptar este enunciado, o su negación, como un nuevo axioma de manera consistente (tanto como el postulado paralelo de Euclides puede tomarse como verdadero o falso en un sistema axiomático para la geometría).

En este caso, si una prueba usa esta declaración, los investigadores a menudo buscarán una nueva prueba que no requiera la hipótesis (de la misma manera que es deseable que las declaraciones en geometría euclidiana se prueben usando solo los axiomas de geometría neutra, es decir, sin el postulado paralelo). La única excepción importante a esto en la práctica es el axioma de elección , ya que la mayoría de los investigadores generalmente no se preocupan si un resultado lo requiere, a menos que estén estudiando este axioma en particular.

Pruebas condicionales [ editar ]

A veces, una conjetura se llama hipótesis cuando se usa con frecuencia y repetidamente como suposición en las pruebas de otros resultados. [1] Por ejemplo, la hipótesis de Riemann es una conjetura de la teoría de números que, entre otras cosas, hace predicciones sobre la distribución de números primos . Pocos teóricos de los números dudan de que la hipótesis de Riemann sea cierta. De hecho, en previsión de su eventual prueba, algunos incluso han procedido a desarrollar más pruebas que dependen de la verdad de esta conjetura. Estas se denominan demostraciones condicionales : las conjeturas asumidas aparecen en las hipótesis del teorema, por el momento.

Estas "pruebas", sin embargo, se desmoronarían si resultara que la hipótesis es falsa, por lo que existe un interés considerable en verificar la veracidad o falsedad de conjeturas de este tipo.

En otras ciencias [ editar ]

Karl Popper fue pionero en el uso del término "conjetura" en la filosofía científica . [24] La conjetura está relacionada con la hipótesis , que en ciencia se refiere a una conjetura comprobable.

Ver también [ editar ]

  • Hipótesis audaz
  • Hipotéticas
  • Lista de conjeturas

Referencias [ editar ]

  1. ^ a b "El glosario definitivo de jerga matemática superior - Conjetura" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 12 de noviembre de 2019 .
  2. ^ "Definición de CONJECTURA" . www.merriam-webster.com . Consultado el 12 de noviembre de 2019 .
  3. ^ Diccionario Oxford de inglés (ed. 2010).
  4. ^ Schwartz, JL (1995). Desplazamiento entre lo particular y lo general: reflexiones sobre el papel de la conjetura y la hipótesis en la generación de conocimiento en ciencias y matemáticas . pag. 93. ISBN 9780195115772.
  5. ^ Weisstein, Eric W. "Último teorema de Fermat" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 12 de noviembre de 2019 .
  6. ^ Mineral, Oystein (1988) [1948], Teoría de números y su historia , Dover, págs.  203-204 , ISBN 978-0-486-65620-5
  7. ^ "Ciencia y tecnología". El libro Guinness de los récords mundiales . Guinness Publishing Ltd. 1995.
  8. ^ Georges Gonthier (diciembre de 2008). "Prueba formal: el teorema de los cuatro colores". Avisos del AMS . 55 (11): 1382-1393.De este artículo: Definiciones: Un mapa plano es un conjunto de subconjuntos disjuntos por pares del plano, llamados regiones. Un mapa simple es aquel cuyas regiones son conjuntos abiertos conectados. Dos regiones de un mapa son adyacentes si sus respectivos cierres tienen un punto común que no es una esquina del mapa. Un punto es una esquina de un mapa si y solo si pertenece a los cierres de al menos tres regiones. Teorema: Las regiones de cualquier mapa plano simple se pueden colorear con solo cuatro colores, de tal manera que dos regiones adyacentes tengan colores diferentes.
  9. ^ WW Rouse Ball (1960) El teorema de los cuatro colores , en Ensayos y recreaciones matemáticas, Macmillan, Nueva York, págs. 222-232.
  10. ^ Donald MacKenzie, Prueba de mecanización: Computación, riesgo y confianza (MIT Press, 2004) p103
  11. ^ Heawood, PJ (1890). "Teoremas del color del mapa". Revista Trimestral de Matemáticas . Oxford. 24 : 332–338.
  12. ^ Swart, ER (1980). "Las implicaciones filosóficas del problema de los cuatro colores". The American Mathematical Monthly . 87 (9): 697–702. doi : 10.2307 / 2321855 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2321855 .  
  13. ^ Wilson, Robin (2014). Bastan cuatro colores: cómo se resolvió el problema del mapa (edición revisada en color). Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. págs. 216–222. ISBN 9780691158228. OCLC  847985591 .
  14. ^ "Triangulación y Hauptvermutung" . www.maths.ed.ac.uk . Consultado el 12 de noviembre de 2019 .
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  16. ^ Moise, Edwin E. (1977). Topología geométrica en las dimensiones 2 y 3 . Nueva York: Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90220-3.
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  18. ^ Bombieri, Enrico (2000). "La hipótesis de Riemann - descripción oficial del problema" (PDF) . Instituto Clay de Matemáticas . Consultado el 12 de noviembre de 2019 .
  19. ^ Juris Hartmanis 1989, Gödel, von Neumann y el problema P = NP , Boletín de la Asociación Europea de Ciencias de la Computación Teórica, vol. 38, págs. 101-107
  20. ^ Cook, Stephen (1971). "La complejidad de los procedimientos de demostración de teoremas" . Actas del Tercer Simposio Anual ACM sobre Teoría de la Computación . págs. 151-158.
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  22. ^ Richards, Ian (1974). "Sobre la incompatibilidad de dos conjeturas sobre primas" . Toro. Amer. Matemáticas. Soc . 80 : 419–438. doi : 10.1090 / S0002-9904-1974-13434-8 .
  23. ^ Langlands, Robert (1967), Carta al profesor Weil
  24. ^ Popper, Karl (2004). Conjeturas y refutaciones: el crecimiento del conocimiento científico . Londres: Routledge. ISBN 0-415-28594-1.

Enlaces externos [ editar ]

  • Medios relacionados con conjeturas en Wikimedia Commons
  • Jardín Problema Abierto
  • Sitio web de problemas no resueltos