En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio conectado es un espacio topológico que no puede ser representado como la unión de dos o más disjuntos no vacíos subconjuntos abiertos . La conectividad es una de las principales propiedades topológicas que se utilizan para distinguir los espacios topológicos.
Un subconjunto de un espacio topológico X es un conjunto conectado si se trata de un espacio conectado cuando se ve como un subespacio de X .
Algunas condiciones relacionadas, pero más fuertes, están conectadas por caminos , simplemente conectadas y conectadas n . Otra noción relacionada está localmente conectada , lo que no implica ni se sigue de la conexión.
Definicion formal
Se dice que un espacio topológico X está desconectado si es la unión de dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos. De lo contrario, se dice que X está conectado . Se dice que un subconjunto de un espacio topológico está conectado si está conectado bajo su topología subespacial. Algunos autores excluyen el conjunto vacío (con su topología única) como un espacio conectado, pero este artículo no sigue esa práctica.
Para un espacio topológico X, las siguientes condiciones son equivalentes:
- X está conectado, es decir, no se puede dividir en dos conjuntos abiertos separados no vacíos.
- X no se puede dividir en dos conjuntos cerrados separados no vacíos .
- Los únicos subconjuntos de X que son tanto abiertos como cerrados ( conjuntos abiertos ) son X y el conjunto vacío.
- Los únicos subconjuntos de X con límite vacío son X y el conjunto vacío.
- X no se puede escribir como la unión de dos conjuntos separados no vacíos (conjuntos para los cuales cada uno es disjunto del cierre del otro).
- Todas las funciones continuas de X a son constantes, donde es el espacio de dos puntos dotado de la topología discreta.
Históricamente, esta formulación moderna de la noción de conexión (en términos de no división de X en dos conjuntos separados) apareció por primera vez (independientemente) con NJ Lennes, Frigyes Riesz y Felix Hausdorff a principios del siglo XX. Consulte [1] para obtener más detalles.
Componentes conectados
Los subconjuntos conectados máximos (ordenados por inclusión ) de un espacio topológico no vacío se denominan componentes conectados del espacio. Los componentes de cualquier espacio topológico X forman una partición de X : son disjuntos , no vacíos y su unión es el espacio completo. Cada componente es un subconjunto cerrado del espacio original. De ello se deduce que, en el caso de que su número sea finito, cada componente es también un subconjunto abierto. Sin embargo, si su número es infinito, este podría no ser el caso; por ejemplo, los componentes conectados del conjunto de los números racionales son los conjuntos de un punto ( singletons ), que no son abiertos.
Dejar ser el componente conectado de x en un espacio topológico X , yser la intersección de todos los conjuntos abiertos que contienen x (llamado cuasi-componente de x ).donde la igualdad se mantiene si X es Hausdorff compacto o está conectado localmente.
Espacios desconectados
Un espacio en el que todos los componentes son conjuntos de un punto se denomina totalmente desconectado . En cuanto a esta propiedad, un espacio X se llama totalmente separado si, por cualquiera de los dos elementos distintos x y y de X , existen disjuntos conjuntos abiertos U que contiene x y V que contiene y de tal modo que X es la unión de U y V . Claramente, cualquier espacio totalmente separado está totalmente desconectado, pero no ocurre lo contrario. Por ejemplo, tome dos copias de los números racionales Q e identifíquelas en todos los puntos excepto en el cero. El espacio resultante, con la topología del cociente, está totalmente desconectado. Sin embargo, al considerar las dos copias de cero, se ve que el espacio no está totalmente separado. De hecho, ni siquiera es Hausdorff , y la condición de estar totalmente separado es estrictamente más fuerte que la condición de ser Hausdorff.
Ejemplos de
- El intervalo cerrado en el subespacio estándar, la topología está conectada; aunque puede, por ejemplo, escribirse como la unión de y el segundo conjunto no está abierto en la topología elegida de
- La unión de y está desconectado; Ambos intervalos están abiertos en el espacio topológico estándar.
- está desconectado.
- Un subconjunto convexo de R n está conectado; en realidad está simplemente conectado .
- Un plano euclidiano excluyendo el origen,está conectado, pero no está simplemente conectado. El espacio euclidiano tridimensional sin el origen está conectado, e incluso simplemente conectado. Por el contrario, el espacio euclidiano unidimensional sin el origen no está conectado.
- Un plano euclidiano sin una línea recta no está conectado ya que consta de dos semiplanos.
- ℝ, El espacio de números reales con la topología habitual, está conectado.
- Si incluso se quita un solo punto de ℝ, el resto se desconecta. Sin embargo, si se elimina incluso una infinidad de puntos contables de, dónde el resto está conectado. Si n ≥ 3 , entonces permanece simplemente conectado después de la eliminación de innumerables puntos.
- Cualquier espacio vectorial topológico , por ejemplo, cualquier espacio de Hilbert o espacio de Banach , sobre un campo conectado (como o ), está simplemente conectado.
- Todo espacio topológico discreto con al menos dos elementos está desconectado, de hecho, dicho espacio está totalmente desconectado . El ejemplo más simple es el espacio discreto de dos puntos . [2]
- Por otro lado, se puede conectar un conjunto finito. Por ejemplo, el espectro de un anillo de valoración discreto consta de dos puntos y está conectado. Es un ejemplo de un espacio de Sierpiński .
- El conjunto de Cantor está totalmente desconectado; dado que el conjunto contiene innumerables puntos, tiene innumerables componentes.
- Si un espacio X es homotopía equivalente a un espacio conectado, entonces X está conectado.
- La curva sinusoidal del topólogo es un ejemplo de un conjunto que está conectado pero que no está conectado por una trayectoria ni está conectado localmente.
- El grupo lineal general (es decir, el grupo de n- por- n matrices reales invertibles) consta de dos componentes conectados: uno con matrices de determinante positivo y el otro de determinante negativo. En particular, no está conectado. A diferencia de,está conectado. De manera más general, el conjunto de operadores acotados invertibles en un espacio de Hilbert complejo está conectado.
- Los espectros del anillo local conmutativo y los dominios integrales están conectados. De manera más general, los siguientes son equivalentes [3]
- El espectro de un anillo conmutativo R está conectado
- Cada módulo proyectivo generado de forma finita sobre R tiene un rango constante.
- R no tiene idempotente (es decir, R no es un producto de dos anillos de una manera no trivial).
Un ejemplo de un espacio que no está conectado es un plano con una línea infinita eliminada. Otros ejemplos de espacios desconectados (es decir, espacios que no están conectados) incluyen el plano con un anillo eliminado, así como la unión de dos discos cerrados disjuntos , donde todos los ejemplos de este párrafo llevan la topología subespacial inducida por euclidianos bidimensionales. espacio.
Conectividad del camino
Un espacio conectado con un camino es una noción más fuerte de conexión, que requiere la estructura de un camino. Una trayectoria desde un punto x hasta un punto y en un espacio topológico X es una función continua ƒ desde el intervalo unitario [0,1] hasta X con ƒ (0) = x y ƒ (1) = y . Un camino-componente de X es una clase de equivalencia de X bajo la relación de equivalencia que hace x equivalente a y si hay un camino desde x a y . El espacio X se dice que es trayectoria-conectado (o PathWise conectado o 0 conectado- ) si existe exactamente una trayectoria de componentes, es decir, si hay un camino que une dos puntos en X . Nuevamente, muchos autores excluyen el espacio vacío (tenga en cuenta, sin embargo, que según esta definición, el espacio vacío no está conectado a una ruta porque tiene cero componentes de ruta; hay una relación de equivalencia única en el conjunto vacío que tiene clases de equivalencia cero).
Cada espacio conectado a un camino está conectado. Lo contrario no siempre es cierto: ejemplos de espacios conectados que no están conectados por caminos incluyen la línea larga extendida L * y la curva sinusoidal del topólogo .
Los subconjuntos de la línea real R están conectados si y solo si están conectados por una ruta; estos subconjuntos son los intervalos de R . Además, los subconjuntos abiertos de R n o C n están conectados si y solo si están conectados por una ruta. Además, la conectividad y la ruta de conexión son las mismas para los espacios topológicos finitos .
Conectividad de arco
Un espacio X se dice que es de arco conectado o arcwise conectado si cualesquiera dos puntos distintos pueden estar unidos por un arco , que por definición es un caminoeso también es una incrustación topológica . Explícitamente, un caminose llama arco si el mapa sobreyectivo es un homeomorfismo , donde su imagen está dotado de la topología subespacial inducida en él por
Cada espacio de Hausdorff que está conectado con una ruta también está conectado con un arco. Se proporciona un ejemplo de un espacio que está conectado a una ruta pero no a un arco agregando una segunda copia de a los números reales no negativos Se dota a este conjunto de un orden parcial especificando que para cualquier número positivo pero dejando y incomparable. A continuación, se dota a este conjunto de la topología de orden . Es decir, se toman los intervalos abiertos y los intervalos semiabiertos como base para la topología. El espacio resultante es un espacio T 1 pero no un espacio de Hausdorff . Los puntos y puede estar conectado por un camino pero no por un arco en este espacio.
Conectividad local
Se dice que un espacio topológico está conectado localmente en un punto x si cada vecindario de x contiene un vecindario abierto conectado. Está conectado localmente si tiene una base de conjuntos conectados. Se puede demostrar que un espacio X está conectado localmente si y solo si todos los componentes de cada conjunto abierto de X están abiertos.
De manera similar, se dice que un espacio topológico es conectado a la ruta localmente si tiene una base de conjuntos conectados a la ruta. Un subconjunto abierto de un espacio conectado a una ruta local está conectado si y solo si está conectado a una ruta. Esto generaliza la declaración anterior sobreR n yC n , cada uno de los cuales está conectado a una ruta localmente. De manera más general, cualquiervariedad topológicaestá conectada a una ruta local.
Localmente conectado no implica conectado, ni localmente conectado por camino implica camino conectado. Un ejemplo simple de un espacio conectado localmente (y conectado a una ruta local) que no está conectado (o conectado a una ruta) es la unión de dos intervalos separados en, como .
Un ejemplo clásico de un espacio conectado que no está conectado localmente es la llamada curva sinusoidal del topólogo , definida como, con la topología euclidiana inducida por la inclusión en.
Establecer operaciones
La intersección de conjuntos conectados no está necesariamente conectada.
La unión de conjuntos conectados no está necesariamente conectada, como puede verse al considerar.
Cada elipse es un conjunto conectado, pero la unión no está conectada, ya que se puede dividir en dos conjuntos abiertos separados. y .
Esto significa que, si el sindicato está desconectado, entonces la colección pueden dividirse en dos subcolecciones, de modo que las uniones de las subcolecciones sean disjuntas y abiertas en (ver foto). Esto implica que en varios casos, una unión de conjuntos conectados está necesariamente conectada. En particular:
- Si la intersección común de todos los conjuntos no está vacía (), entonces obviamente no se pueden dividir en colecciones con uniones disjuntas . Por tanto, la unión de conjuntos conectados con intersección no vacía está conectada .
- Si la intersección de cada par de conjuntos no está vacía () de nuevo, no se pueden dividir en colecciones con uniones disjuntas, por lo que su unión debe estar conectada.
- Si los conjuntos se pueden ordenar como una "cadena enlazada", es decir, indexados por índices enteros y , entonces nuevamente su unión debe estar conectada.
- Si los conjuntos son disjuntos por pares y el espacio del cociente está conectado, entonces X debe estar conectado. De lo contrario, sies una separación de X entonces es una separación del espacio del cociente (ya que son disjuntos y abiertos en el espacio del cociente). [4]
La diferencia de conjuntos de conjuntos conectados no está necesariamente relacionada. Sin embargo, si y su diferencia está desconectado (y por lo tanto puede escribirse como una unión de dos conjuntos abiertos y ), luego la unión de con cada uno de estos componentes está conectado (es decir está conectado para todos ).
Prueba [5] |
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Por contradicción, supongamos no está conectado. Por lo tanto, se puede escribir como la unión de dos conjuntos abiertos disjuntos, p. Ej.. Porque está conectado, debe estar completamente contenido en uno de estos componentes, digamos , y por lo tanto está contenido en . Ahora sabemos que: Los dos conjuntos de la última unión están separados y abiertos en , por lo que hay una separación de , contradiciendo el hecho de que está conectado. |
Teoremas
- Teorema principal de la conectividad : Sean X e Y espacios topológicos y sea ƒ : X → Y una función continua. Si X está (ruta-) conectada, entonces la imagen ƒ ( X ) está (ruta-) conectada. Este resultado puede considerarse una generalización del teorema del valor intermedio .
- Cada espacio conectado a un camino está conectado.
- Cada espacio conectado a una ruta local está conectado localmente.
- Un espacio conectado a una ruta local está conectado a una ruta si y solo si está conectado.
- El cierre de un subconjunto conectado está conectado. Además, cualquier subconjunto entre un subconjunto conectado y su cierre está conectado.
- Los componentes conectados siempre están cerrados (pero en general no están abiertos)
- Los componentes conectados de un espacio conectado localmente también están abiertos.
- Los componentes conectados de un espacio son uniones disjuntas de los componentes conectados a la trayectoria (que en general no son ni abiertos ni cerrados).
- Cada cociente de un espacio conectado (resp. Conectado localmente, conectado por camino, conectado por camino localmente) está conectado (resp. Conectado localmente, conectado por camino, conectado por camino localmente).
- Todos los productos de una familia de espacios conectados (respectivamente conectados a una ruta) están conectados (o conectados a una ruta).
- Cada subconjunto abierto de un espacio conectado localmente (resp. Conectado a la ruta localmente) está conectado localmente (o conectado a la ruta localmente).
- Cada colector está conectado a una ruta local.
- El espacio conectado en forma de arco está conectado en forma de arco, pero el espacio conectado en forma de trayectoria puede no estar conectado en forma de arco
- La imagen continua del conjunto conectado en forma de arco está conectada en forma de arco.
Gráficos
Los gráficos tienen subconjuntos conectados por caminos, es decir, aquellos subconjuntos para los cuales cada par de puntos tiene un camino de bordes que los une. Pero no siempre es posible encontrar una topología en el conjunto de puntos que induzca los mismos conjuntos conectados. El gráfico de 5 ciclos (y cualquier n -ciclo con n > 3 impar) es uno de esos ejemplos.
Como consecuencia, se puede formular una noción de conectividad independientemente de la topología de un espacio. A saber, existe una categoría de espacios conectivos que consta de conjuntos con colecciones de subconjuntos conectados que satisfacen los axiomas de conectividad; sus morfismos son aquellas funciones que mapean conjuntos conectados a conjuntos conectados ( Muscat y Buhagiar 2006 ). Los espacios topológicos y los gráficos son casos especiales de espacios conectivos; de hecho, los espacios conectivos finitos son precisamente los gráficos finitos.
Sin embargo, cada gráfico se puede convertir canónicamente en un espacio topológico, tratando los vértices como puntos y los bordes como copias del intervalo unitario (consulte la teoría de grafos topológicos # Gráficos como espacios topológicos ). Entonces se puede mostrar que el gráfico está conectado (en el sentido teórico del gráfico) si y solo si está conectado como un espacio topológico.
Formas más fuertes de conexión
Hay formas más fuertes de conectividad para espacios topológicos , por ejemplo:
- Si no existen dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos en un espacio topológico, X , X deben estar conectados y, por lo tanto, los espacios hiperconectados también están conectados.
- Dado que , por definición, un espacio simplemente conectado también debe estar conectado por una ruta, cualquier espacio simplemente conectado también está conectado. Sin embargo, tenga en cuenta que si el requisito de "conectividad de ruta" se elimina de la definición de conectividad simple, no es necesario conectar un espacio simplemente conectado.
- Sin embargo, las versiones más sólidas de conectividad incluyen la noción de un espacio contractible . Cada espacio contráctil está conectado con un camino y, por lo tanto, también está conectado.
En general, tenga en cuenta que cualquier espacio conectado a una ruta debe estar conectado, pero existen espacios conectados que no están conectados a una ruta. El espacio de peine eliminado proporciona un ejemplo, al igual que la curva sinusoidal del topólogo antes mencionada .
Ver también
- Componente conectado (teoría de grafos)
- Locus de conexión
- Espacio extremadamente desconectado
- Espacio conectado localmente
- n -conectado
- Espacio uniformemente conectado
- Conectividad de píxeles
Referencias
- ^ Wilder, RL (1978). "Evolución del concepto topológico de" conectado " ". American Mathematical Monthly . 85 (9): 720–726. doi : 10.2307 / 2321676 .
- ^ George F. Simmons (1968). Introducción a la topología y al análisis moderno . Compañía de libros de McGraw Hill. pag. 144. ISBN 0-89874-551-9.
- ↑ Charles Weibel , The K-book: Una introducción a la teoría K algebraica
- ^ Brandsma, Henno (13 de febrero de 2013). "¿Cómo probar este resultado que involucra los mapas de cociente y la conectividad?" . Stack Exchange .
- ^ Marek (13 de febrero de 2013). "¿Cómo probar este resultado sobre la conectividad?" . Stack Exchange .
Otras lecturas
- Munkres, James R. (2000). Topología, segunda edición . Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
- Weisstein, Eric W. "Conjunto conectado" . MathWorld .
- VI Malykhin (2001) [1994], "Espacio conectado" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
- Muscat, J; Buhagiar, D (2006). "Espacios conectivos" (PDF) . Mem. Fac. Sci. Eng. Shimane Univ., Serie B: Matemáticas. Sc . 39 : 1-13. Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016 . Consultado el 17 de mayo de 2010 ..