En matemáticas , un sistema conservador es un sistema dinámico que contrasta con un sistema disipativo . En términos generales, tales sistemas no tienen fricción u otro mecanismo para disipar la dinámica y, por lo tanto, su espacio de fase no se reduce con el tiempo. Precisamente hablando, son esos sistemas dinámicos que tienen un conjunto errante nulo : bajo la evolución del tiempo, ninguna porción del espacio de fase nunca "se aleja", para nunca ser devuelta o revisada. Alternativamente, los sistemas conservadores son aquellos a los que se aplica el teorema de recurrencia de Poincaré . Un caso especial importante de sistemas conservadores son lossistemas dinámicos que preservan la medida .
Introducción informal
De manera informal, los sistemas dinámicos describen la evolución temporal del espacio de fase de algún sistema mecánico. Comúnmente, dicha evolución viene dada por algunas ecuaciones diferenciales, o muy a menudo en términos de pasos de tiempo discretos. Sin embargo, en el presente caso, en lugar de centrarse en la evolución temporal de puntos discretos, se centra la atención en la evolución temporal de las colecciones de puntos. Un ejemplo de ello serían los anillos de Saturno : en lugar de seguir la evolución temporal de los granos individuales de arena en los anillos, uno está interesado en la evolución temporal de la densidad de los anillos: cómo la densidad se adelgaza, se extiende o se concentra. En escalas de tiempo cortas (cientos de miles de años), los anillos de Saturno son estables y, por lo tanto, son un ejemplo razonable de un sistema conservador y, más precisamente, un sistema dinámico que preserva las medidas. Conserva la medida, ya que el número de partículas en los anillos no cambia y, según la mecánica orbital newtoniana, el espacio de fase es incompresible: se puede estirar o apretar, pero no encoger (este es el contenido del teorema de Liouville ). .
Definicion formal
Formalmente, un sistema dinámico es conservador si y solo si no es singular y no tiene conjuntos errantes. [1]
Un sistema dinámico ( X , Σ, μ , τ ) es un espacio de Borel ( X , Σ) equipado con una medida sigma-finita μ y una transformación τ . Aquí, X es un conjunto y Σ es un sigma-álgebra en X , por lo que el par ( X , Σ) es un espacio medible . μ es una medida finita en sigma-álgebra, por lo que el triplete ( X , Σ, μ ) es un espacio de probabilidad . De manera informal, el espacio X debe entenderse como el espacio de fase del sistema dinámico.
Una transformación (un mapa) τ : X → X se dice que es Σ-medible si y solo si, para cada σ ∈ Σ, uno tiene. De manera informal, la transformación debe considerarse como un único "paso de tiempo" en la evolución del sistema dinámico. A uno le interesan las transformaciones invertibles, de modo que se puede decir que el estado actual del sistema dinámico es el resultado de su evolución pasada, es decir , que el estado actual del sistema "vino de alguna parte".
Una transformación medible τ : X → X se llama no singular cuando si y solo si . [2] En este caso, el sistema ( X , Σ, μ , τ ) se denomina sistema dinámico no singular . De manera informal, los sistemas dinámicos no singulares adecuadas para el modelado de sistemas no-equilibrio. Es decir, si una determinada configuración del sistema es imposible (es decir, que) entonces sigue siendo imposible (siempre fue imposible: ), pero de lo contrario, el sistema puede evolucionar arbitrariamente. Se dice que los sistemas no singulares conservan los conjuntos insignificantes, pero no es necesario que conserven otros conjuntos. El sentido de la palabra singular aquí es el mismo que en la definición de una medida singular en que ninguna porción de es singular con respecto a .
Un sistema dinámico no singular para el que también se tiene se llama invariante o, más comúnmente, un sistema dinámico que preserva la medida .
Un sistema dinámico no singular es conservadora si, para cada conjunto de medida positiva, es decir, con , uno tiene un entero tal que . De manera informal, esto puede interpretarse en el sentido de que el estado actual del sistema vuelve a visitar o se acerca arbitrariamente a un estado anterior; ver recurrencia de Poincaré para más información.
Una transformación no singular τ : X → X es incompresible si, siempre que uno tiene, luego .
Propiedades
Para una transformación no singular τ : X → X , las siguientes declaraciones son equivalentes: [1] [3] [4]
- τ es conservador.
- τ es incompresible.
- Todo conjunto errante de τ es nulo.
- Para todos los conjuntos σ de medida positiva,.
Lo anterior implica que todos los sistemas dinámicos que preservan las medidas son conservadores. Este es efectivamente el enunciado moderno del teorema de recurrencia de Poincaré . Un esquema de la prueba de la equivalencia de estos cuatro se da en la descomposición de Hopf # Teorema de recurrencia .
Descomposición de Hopf
La descomposición de Hopf establece que cada espacio de medida con una transformación no singular se puede descomponer en un conjunto conservador invariante y un conjunto errante (disipativo). Un ejemplo informal común de la descomposición de Hopf es la mezcla de dos líquidos (algunos libros de texto mencionan el ron y el coque): el estado inicial, en el que los dos líquidos aún no se han mezclado, no puede volver a repetirse después de mezclarlos; es parte del conjunto disipativo. Asimismo, cualquiera de los estados parcialmente mezclados. El resultado, después de mezclar (una cuba libre , en el ejemplo canónico), es estable y forma el conjunto conservador; una mezcla adicional no lo altera. En este ejemplo, el conjunto conservador también es ergódico: si se agrega una gota más de líquido (por ejemplo, jugo de limón), no se quedaría en un lugar, sino que se mezclaría en todas partes. Una advertencia sobre este ejemplo: aunque los sistemas de mezcla son ergódicos, los sistemas ergódicos no lo son en general. Mezclar implica una interacción que puede no existir. El ejemplo canónico de un sistema ergódico que no se mezcla es el proceso de Bernoulli : es el conjunto de todas las posibles secuencias infinitas de lanzamientos de monedas (equivalentemente, el conjuntode infinitas cadenas de ceros y unos); cada lanzamiento de moneda individual es independiente de los demás.
Descomposición ergódica
El teorema de la descomposición ergódica establece, a grandes rasgos, que todo sistema conservador puede dividirse en componentes, cada uno de los cuales es ergódico individualmente . Un ejemplo informal de esto sería una tina, con un divisor en el medio, con líquidos llenando cada compartimiento. El líquido de un lado puede mezclarse claramente consigo mismo, al igual que el otro, pero, debido a la partición, los dos lados no pueden interactuar. Claramente, esto puede tratarse como dos sistemas independientes; la fuga entre los dos lados, de medida cero, puede ignorarse. El teorema de la descomposición ergódica establece que todos los sistemas conservadores pueden dividirse en partes independientes y que esta división es única (hasta diferencias de medida cero). Así, por convención, el estudio de los sistemas conservadores se convierte en el estudio de sus componentes ergódicos.
Formalmente, todo sistema ergódico es conservador. Recuerde que un conjunto invariante σ ∈ Σ es uno para el que τ ( σ ) = σ . Para un sistema ergódico, los únicos conjuntos invariantes son aquellos con medida cero o con medida completa (son nulos o son completos ); que son conservadores se sigue trivialmente de esto.
Cuando τ es ergódico, las siguientes afirmaciones son equivalentes: [1]
- τ es conservador y ergódico
- Para todos los conjuntos medibles σ ,; Es decir, σ "barre" todos X .
- Para todos los conjuntos σ de medida positiva, y para casi todos los , existe un entero positivo n tal que.
- Para todos los conjuntos y de medida positiva, existe un entero positivo n tal que
- Si , entonces tambien o el complemento tiene medida cero: .
Ver también
- Estado KMS , una descripción del equilibrio termodinámico en sistemas de mecánica cuántica; teorías duales a modulares para álgebras de von Neumann.
Notas
Referencias
- Danilenko, Alexandre I .; Silva, Cesar E. (2009). "Teoría ergódica: transformaciones no singulares". Enciclopedia de Complejidad y Ciencia de Sistemas . Saltador. arXiv : 0803.2424 . doi : 10.1007 / 978-0-387-30440-3_183 .
- Krengel, Ulrich (1985). Teoremas ergódicos . Estudios de De Gruyter en Matemáticas. 6 . de Gruyter. ISBN 3-11-008478-3.
- Sarig, Omri (8 de marzo de 2020). "Lecture Notes en Ergódica Theory" (PDF) . Inicio | Omri Sarig . Instituto Weizmann.
Otras lecturas
- Nicholls, Peter J. (1989). La teoría ergódica de los grupos discretos . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-37674-2.
- Wilkinson, Aime (2008). "Teoría Ergódica Suave". arXiv : 0804.0167 [ math.DS ]. Parámetro desconocido
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