En la lógica deductiva clásica , una teoría consistente es aquella que no implica una contradicción . [1] La falta de contradicción se puede definir en términos semánticos o sintácticos. La definición semántica establece que una teoría es consistente si tiene un modelo , es decir, existe una interpretación bajo la cual todas las fórmulas de la teoría son verdaderas. Este es el sentido utilizado en la lógica aristotélica tradicional , aunque en la lógica matemática contemporánea se utiliza en su lugar el término satisfactoria . La definición sintáctica establece una teoría.es consistente si no hay fórmula tal que ambos y su negación son elementos del conjunto de consecuencias de . Dejarser un conjunto de oraciones cerradas (informalmente "axiomas") y el conjunto de oraciones cerradas demostrables a partir de bajo algún sistema deductivo formal (especificado, posiblemente implícito). El conjunto de axiomases consistente cuando sin fórmula . [2]
Si existe un sistema deductivo para el cual estas definiciones semánticas y sintácticas son equivalentes para cualquier teoría formulada en una lógica deductiva particular , la lógica se llama completa . [ cita requerida ] Paul Bernays demostró la integridad del cálculo de sentencias en 1918 [ cita requerida ] [3] y Emil Post en 1921, [4] mientras que Kurt Gödel demostró la integridad del cálculo de predicados en 1930, [5] y Ackermann (1924), von Neumann (1927) y Herbrand (1931) demostraron la coherencia de la aritmética restringida con respecto al esquema del axioma de inducción . [6] Las lógicas más sólidas, como la lógica de segundo orden , no están completas.
Una prueba de consistencia es una prueba matemática de que una teoría en particular es consistente. [7] El desarrollo temprano de la teoría de la prueba matemática fue impulsado por el deseo de proporcionar pruebas de consistencia finita para todas las matemáticas como parte del programa de Hilbert . El programa de Hilbert se vio fuertemente afectado por los teoremas de incompletitud , que mostraron que las teorías de prueba suficientemente sólidas no pueden probar su propia consistencia (siempre que sean de hecho consistentes).
Aunque la coherencia puede demostrarse mediante la teoría de modelos, a menudo se hace de forma puramente sintáctica, sin necesidad de hacer referencia a algún modelo de la lógica. La eliminación del corte (o, de manera equivalente, la normalización del cálculo subyacente si lo hay) implica la consistencia del cálculo: dado que no hay prueba de falsedad sin cortes, no hay contradicción en general.
Coherencia e integridad en aritmética y teoría de conjuntos
En las teorías de la aritmética, como la aritmética de Peano , existe una relación intrincada entre la consistencia de la teoría y su integridad . Una teoría es completa si, para cada fórmula φ en su lenguaje, al menos una de φ o ¬φ es una consecuencia lógica de la teoría.
La aritmética de Presburger es un sistema de axiomas para los números naturales bajo la suma. Es consistente y completo.
Los teoremas de la incompletitud de Gödel muestran que cualquier teoría aritmética suficientemente fuerte y recursivamente enumerable no puede ser completa y consistente. El teorema de Gödel se aplica a las teorías de la aritmética de Peano (PA) y la aritmética recursiva primitiva (PRA), pero no a la aritmética de Presburger .
Además, el segundo teorema de incompletitud de Gödel muestra que la consistencia de teorías aritméticas recursivamente enumerables suficientemente fuertes se puede probar de una manera particular. Tal teoría es consistente si y solo si no prueba una oración particular, llamada oración de Gödel de la teoría, que es una declaración formalizada de la afirmación de que la teoría es realmente consistente. Por lo tanto, la consistencia de una teoría de la aritmética suficientemente fuerte, recursivamente enumerable y consistente nunca puede ser probada en ese sistema. El mismo resultado es cierto para las teorías enumerables de forma recursiva que pueden describir un fragmento suficientemente fuerte de aritmética, incluidas las teorías de conjuntos como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF). Estas teorías de conjuntos no pueden probar su propia oración de Gödel, siempre que sean consistentes, lo que generalmente se cree.
Debido a que la consistencia de ZF no se puede demostrar en ZF, la noción más débil de consistencia relativa es interesante en la teoría de conjuntos (y en otros sistemas axiomáticos suficientemente expresivos). Si T es una teoría y A es un axioma adicional , se dice que T + A es consistente con respecto a T (o simplemente que A es consistente con T ) si se puede demostrar que si T es consistente, entonces T + A es consistente. Si tanto A y ¬ A son consistentes con T , y luego una se dice que es independiente de t .
Lógica de primer orden
Notación
(Símbolo de torniquete) en el siguiente contexto de lógica matemática , significa "demostrable a partir de". Es decir,lee: b se puede demostrar a partir de a (en algún sistema formal específico). Consulte la Lista de símbolos lógicos . En otros casos, el símbolo del torniquete puede significar implica; permite la derivación de. Ver: Lista de símbolos matemáticos .
Definición
- Un conjunto de fórmulas en la lógica de primer orden es consistente (escrito) si no hay fórmula tal que y . De lo contrarioes inconsistente (escrito).
- se dice que es simplemente consistente si no hay fórmula de , ambas cosas y la negación de son teoremas de . [ aclaración necesaria ]
- se dice que es absolutamente consistente o Post consistente si al menos una fórmula en el idioma de no es un teorema de .
- se dice que es máximamente consistente si para cada fórmula, Si implica .
- se dice que contiene testigos si para cada fórmula de la formaexiste un término tal que , dónde denota la sustitución de cada en por un ; ver también Lógica de primer orden . [ cita requerida ]
Resultados básicos
- Los siguientes son equivalentes:
- Para todos
- Cada conjunto satisfactorio de fórmulas es consistente, donde un conjunto de fórmulas es satisfactorio si y solo si existe un modelo tal que .
- Para todos y :
- si no , luego ;
- Si y , luego ;
- Si , luego o .
- Dejar ser un conjunto de fórmulas con la máxima coherencia y supongamos que contiene testigos . Para todos y :
- Si , luego ,
- ya sea o ,
- si y solo si o ,
- Si y , luego ,
- si y solo si hay un término tal que . [ cita requerida ]
Teorema de Henkin
Dejar ser un conjunto de símbolos . Dejar ser un conjunto de máxima consistencia -fórmulas que contienen testigos .
Definir una relación de equivalencia en el set de -términos por Si , dónde denota igualdad . Dejardenotar la clase de equivalencia de términos que contienen; y deja dónde es el conjunto de términos basado en el conjunto de símbolos .
Definir el - estructura encima , también llamado el término-estructura correspondiente a, por:
- para cada -símbolo de relación , definir Si [8]
- para cada -símbolo de función de orden , definir
- para cada símbolo constante , definir
Definir una asignación de variable por para cada variable . Dejarser el término interpretación asociado con.
Entonces para cada -fórmula :
si y solo si [ cita requerida ]
Boceto de prueba
Hay varias cosas que verificar. Primero, esoes de hecho una relación de equivalencia. Luego, es necesario verificar que (1), (2) y (3) estén bien definidos. Esto se debe al hecho de que es una relación de equivalencia y también requiere una prueba de que (1) y (2) son independientes de la elección de representantes de clase. Finalmente, puede verificarse por inducción en fórmulas.
Teoría de modelos
En la teoría de conjuntos ZFC con lógica clásica de primer orden , [9] una teoría inconsistente es uno tal que existe una oración cerrada tal que contiene ambos y su negación . Una teoría consistente es aquella en la que las siguientes condiciones lógicamente equivalentes se cumplen
- [10]
Ver también
- Disonancia cognitiva
- Equiconsistencia
- Problemas de Hilbert
- El segundo problema de Hilbert
- Jan Łukasiewicz
- Lógica paraconsistente
- ω-consistencia
- Prueba de consistencia de Gentzen
- Prueba por contradicción
Notas al pie
- ↑ Tarski 1946 lo dice de esta manera: "Una teoría deductiva se llama consistente o no contradictoria si no hay dos declaraciones afirmadas de esta teoría que se contradigan entre sí, o en otras palabras, si dos oraciones cualesquiera contradictorias ... al menos una no puede ser probada, "(. p 135) donde Tarski define contradictorio como sigue: 'Con la ayuda de la palabra no uno forma la negación de cualquier frase; dos frases, de los cuales el primero es una negación de la segunda, se les llama frases contradictorias ' (p 20). Esta definición requiere una noción de "prueba". Gödel 1931 define la noción de esta manera: "La clase de fórmulas demostrables se define para ser la clase más pequeña de las fórmulas que contiene los axiomas y está cerrada bajo la relación 'consecuencia inmediata', es decir, fórmula c de un y b se define como una consecuencia inmediata en términos de modus ponens o sustitución; cf Gödel 1931 , van Heijenoort 1967 , pág. 601. Tarski define la "prueba" informalmente como "las declaraciones se suceden en un orden definido de acuerdo con ciertos principios ... y acompañadas de consideraciones destinadas a establecer su validez [conclusión verdadera para todas las premisas verdaderas - Reichenbach 1947 , p. 68]" cf Tarski 1946 , pág. 3. Kleene 1952 define la noción con respecto a una inducción o como una paráfrasis) una secuencia finita de fórmulas de modo que cada fórmula en la secuencia sea un axioma o una "consecuencia inmediata" de las fórmulas anteriores; "Se dice que una demostración es una prueba de su última fórmula, y se dice que esta fórmula es (formalmente) demostrable o es un teorema (formal)", cf. Kleene 1952 , p. 83.
- ^ Hodges, Wilfrid (1997). Una teoría del modelo más corta . Nueva York: Cambridge University Press. pag. 37.
Deja ser una firma, una teoría en y una oración en . Nosotros decimos esoes una consecuencia de, o eso implica , en simbolos , si cada modelo de es un modelo de . (En particular si entonces no tiene modelos implica .)
(Tenga en cuenta la definición de Mod (T) en la p. 30 ...)
Advertencia : no lo requerimos si entonces hay una prueba de de . En cualquier caso, con los lenguajes infinitarios no siempre está claro qué constituiría una prueba. Algunos escritores usan querer decir eso es deducible de en algún cálculo de prueba formal particular, y escriben para nuestra noción de implicación (una notación que choca con nuestra ). Para la lógica de primer orden, los dos tipos de implicación coinciden por el teorema de completitud para el cálculo de prueba en cuestión.
Nosotros decimos esoes válido , o es un teorema lógico , en símbolos, Si es cierto en cada -estructura. Nosotros decimos esoes consistente si es cierto en algunos -estructura. Asimismo decimos que una teoríaes consistente si tiene un modelo.
Decimos que dos teorías S y T en L infinito omega son equivalentes si tienen los mismos modelos, es decir, si Mod (S) = Mod (T). - ↑ van Heijenoort , 1967 , p. 265 afirma que Bernays determinó la independencia de los axiomas de Principia Mathematica , resultado que no se publicó hasta 1926, pero no dice nada acerca de que Bernays demuestre su consistencia .
- ↑ Post demuestra tanto la coherencia como la integridad del cálculo proposicional de PM, cf. el comentario de van Heijenoort y la Introducción de Post de 1931 a una teoría general de proposiciones elementales en van Heijenoort 1967 , págs. 264 y siguientes. También Tarski 1946 , págs. 134ss.
- ^ cf comentario de van Heijenoort y 1930 de Gödel La completitud de los axiomas del cálculo funcional de la lógica en van Heijenoort 1967 , pp. 582ff.
- ^ cf comentario de van Heijenoort y 1930 de Herbrand sobre la consistencia de la aritmética en van Heijenoort 1967 , pp. 618ff.
- ↑ De manera informal, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel se asume ordinariamente; algunos dialectos de las matemáticas informales asumen habitualmente además el axioma de elección .
- ^ Esta definición es independiente de la elección de debido a las propiedades de sustitución de y la máxima consistencia de .
- ^ el caso común en muchas aplicaciones a otras áreas de las matemáticas, así como el modo ordinario de razonamiento de las matemáticas informales en cálculo y aplicaciones a la física, química, ingeniería
- ^ según las leyes de De Morgan
Referencias
- Kleene, Stephen (1952). Introducción a las metamatemáticas . Nueva York: Holanda Septentrional. ISBN 0-7204-2103-9. 10a impresión 1991.
- Reichenbach, Hans (1947). Elementos de la lógica simbólica . Nueva York: Dover. ISBN 0-486-24004-5.
- Tarski, Alfred (1946). Introducción a la Lógica y a la Metodología de las Ciencias Deductivas (Segunda ed.). Nueva York: Dover. ISBN 0-486-28462-X.
- van Heijenoort, Jean (1967). De Frege a Gödel: un libro de consulta en lógica matemática . Cambridge, MA: Harvard University Press. ISBN 0-674-32449-8. (pbk.)
- "Consistencia". El Diccionario de Filosofía de Cambridge .
- Ebbinghaus, HD; Flum, J .; Thomas, W. Lógica matemática .
- Jevons, WS (1870). Lecciones elementales de lógica .
enlaces externos
- Mortensen, Chris. "Matemáticas inconsistentes" . Enciclopedia de Filosofía de Stanford .