En matemáticas , hay varias formas de definir el sistema de números reales como un campo ordenado . El enfoque sintético da una lista de axiomas para los números reales como un campo ordenado completo . Según los axiomas habituales de la teoría de conjuntos , se puede demostrar que estos axiomas son categóricos, en el sentido de que existe un modelo para los axiomas, y dos modelos cualesquiera son isomorfos . Cualquiera de estos modelos debe construirse explícitamente, y la mayoría de estos modelos se construyen utilizando las propiedades básicas del sistema de números racionales como un campo ordenado.
Enfoque sintético
El enfoque sintético define axiomáticamente el sistema de números reales como un campo ordenado completo. Precisamente, esto significa lo siguiente. Un modelo para el sistema de números reales consta de un conjunto R , dos elementos distintos 0 y 1 de R , dos operaciones binarias + y × en R (llamadas suma y multiplicación , respectivamente) y una relación binaria ≤ en R , que satisface lo siguiente propiedades.
Axiomas
- ( R , +, ×) forma un campo . En otras palabras,
- Para todo x , y y z en R , x + ( y + z ) = ( x + y ) + z y x × ( y × z ) = ( x × y ) × z . ( asociatividad de suma y multiplicación)
- Para todo x e y en R , x + y = y + x y x × y = y × x . ( conmutatividad de suma y multiplicación)
- Para todo x , y y z en R , x × ( y + z ) = ( x × y ) + ( x × z ). ( distributividad de la multiplicación sobre la suma)
- Para todo x en R , x + 0 = x . (existencia de identidad aditiva )
- 0 no es igual a 1, y para todo x en R , x × 1 = x . (existencia de identidad multiplicativa)
- Para cada x en R , existe un elemento - x en R , tal que x + (- x ) = 0. (existencia de inversas aditivas )
- Para cada x ≠ 0 en R , existe un elemento x −1 en R , tal que x × x −1 = 1. (existencia de inversos multiplicativos)
- ( R , ≤) forma un conjunto totalmente ordenado . En otras palabras,
- Para todo x en R , x ≤ x . ( reflexividad )
- Para todo x e y en R , si x ≤ y e y ≤ x , entonces x = y . ( antisimetría )
- Para todo x , y y z en R , si x ≤ y e y ≤ z , entonces x ≤ z . ( transitividad )
- Para todos x y y en R , x ≤ y o y ≤ x . ( totalidad )
- Las operaciones de campo + y × en R son compatibles con el orden ≤. En otras palabras,
- Para todo x , y y z en R , si x ≤ y , entonces x + z ≤ y + z . (preservación del orden bajo adición)
- Para todos x y y en R , si 0 ≤ x y 0 ≤ y , a continuación, 0 ≤ x × y (conservación del orden bajo la multiplicación)
- El orden ≤ está completo en el siguiente sentido: cada subconjunto no vacío de R acotado arriba tiene un límite superior mínimo . En otras palabras,
- Si A es un subconjunto no vacío de R , y si A tiene un límite superior , entonces A tiene un límite superior mínimo u , tal que para cada límite superior v de A , u ≤ v .
En la propiedad de límite superior mínimo
El axioma 4, que requiere que la orden sea completa de Dedekind , implica la propiedad de Arquímedes .
El axioma es crucial en la caracterización de lo real. Por ejemplo, el campo totalmente ordenado de los números racionales Q satisface los tres primeros axiomas, pero no el cuarto. En otras palabras, los modelos de los números racionales también son modelos de los tres primeros axiomas.
Tenga en cuenta que el axioma no se puede ordenar en primer lugar , ya que expresa una declaración sobre colecciones de reales y no solo sobre números individuales. Como tal, los reales no están dados por una teoría lógica de primer orden .
En modelos
A continuación se dan varios modelos para los axiomas 1-4 . Dos modelos cualesquiera para los axiomas 1-4 son isomorfos, por lo que hasta el isomorfismo, solo hay un campo de Arquímedes ordenado completo.
Cuando decimos que dos modelos cualesquiera de los axiomas anteriores son isomorfos, queremos decir que para dos modelos cualesquiera ( R , 0 R , 1 R , + R , × R , ≤ R ) y ( S , 0 S , 1 S , + S , × S , ≤ S ), existe una biyección f : R → S preservando tanto las operaciones de campo como el orden. Explícitamente,
- f es tanto inyectiva como sobreyectiva .
- f (0 R ) = 0 S y f (1 R ) = 1 S .
- Para todos x y y en R , f ( x + R y ) = f ( x ) + S f ( y ) y f ( x × R y ) = f ( x ) x S f ( y ).
- Para todos x y y en R , x ≤ R y si y sólo si f ( x ) ≤ S f ( y ).
Axiomatización de lo real de Tarski
Alfred Tarski dio una axiomatización sintética alternativa de los números reales y su aritmética , que consta de solo los 8 axiomas que se muestran a continuación y solo cuatro nociones primitivas : un conjunto llamado números reales , denotado R , una relación binaria sobre R llamada orden , denotado por infijo <, una operación binaria sobre R llamada suma , denotada por infijo +, y la constante 1.
Axiomas de orden (primitivas: R , <):
Axioma 1 . Si x < y , entonces no y < x . Es decir, "<" es una relación asimétrica .
Axioma 2 . Si x < z , existe una y tal que x < y e y < z . En otras palabras, "<" es denso en R .
Axioma 3 . "<" es Dedekind-completo . Más formalmente, para todo X , Y ⊆ R , si para todo x ∈ X e y ∈ Y , x < y , entonces existe una z tal que para todo x ∈ X e y ∈ Y , si z ≠ x y z ≠ y , entonces x < z y z < y .
Para aclarar lo anterior declaración algo, dejar que X ⊆ R y S ⊆ R . Ahora definimos dos verbos comunes en inglés de una manera particular que se adapte a nuestro propósito:
- X precede a Y si y solo si para todo x ∈ X y todo y ∈ Y , x < y .
- El número real z separa X e Y si y solo si para cada x ∈ X con x ≠ z y cada y ∈ Y con y ≠ z , x < z y z < y .
Entonces, el axioma 3 puede expresarse como:
- "Si un conjunto de reales precede a otro conjunto de reales, entonces existe al menos un número real que separa los dos conjuntos".
Axiomas de adición (primitivas: R , <, +):
Axioma 4 . x + ( y + z ) = ( x + z ) + y .
Axioma 5 . Para todo x , y , existe una z tal que x + z = y .
Axioma 6 . Si x + y < z + w , entonces x < z o Y < w .
Axiomas para uno (primitivas: R , <, +, 1):
Axioma 7 . 1 ∈ R .
Axioma 8 . 1 <1 + 1.
Estos axiomas implican que R es un grupo abeliano ordenado linealmente bajo adición con elemento distinguido 1. R también es Dedekind-completo y divisible .
Construcciones explícitas de modelos
No probaremos que ningún modelo de axiomas sea isomórfico. Esta prueba se puede encontrar en cualquier número de libros de texto modernos de análisis o teoría de conjuntos. Sin embargo, esbozaremos las definiciones y propiedades básicas de varias construcciones, porque cada una de ellas es importante por razones tanto matemáticas como históricas. Los tres primeros, debidos a Georg Cantor / Charles Méray , Richard Dedekind / Joseph Bertrand y Karl Weierstrass, se produjeron con unos pocos años de diferencia. Cada uno tiene ventajas y desventajas. Una de las principales motivaciones en los tres casos fue la instrucción de los estudiantes de matemáticas.
Construcción a partir de secuencias de Cauchy
Un procedimiento estándar para forzar la convergencia de todas las secuencias de Cauchy en un espacio métrico es agregar nuevos puntos al espacio métrico en un proceso llamado finalización .
R se define como la finalización de Q con respecto a la métrica | x - y |, como se detallará a continuación (para completar Q con respecto a otras métricas, consulte los números p -adic ).
Sea R el conjunto de sucesiones de Cauchy de números racionales. Es decir, secuencias
- x 1 , x 2 , x 3 , ...
de números racionales tales que para cada racional ε > 0 , existe un entero N tal que para todos los números naturales m , n > N , | x m - x n | < ε . Aquí las barras verticales denotan el valor absoluto.
Las secuencias de Cauchy ( x n ) e ( y n ) se pueden sumar y multiplicar de la siguiente manera:
- ( x norte ) + ( y norte ) = ( x norte + y norte )
- ( x norte ) × ( y norte ) = ( x norte × y norte ).
Dos secuencias de Cauchy se denominan equivalentes si y solo si la diferencia entre ellas tiende a cero. Esto define una relación de equivalencia que es compatible con las operaciones definidas anteriormente, y se puede demostrar que el conjunto R de todas las clases de equivalencia satisface todos los axiomas de los números reales . Podemos incrustar Q en R identificando el número racional r con la clase de equivalencia de la secuencia ( r , r , r ,…) .
La comparación entre números reales se obtiene definiendo la siguiente comparación entre secuencias de Cauchy: ( x n ) ≥ ( y n ) si y solo si x es equivalente ay o existe un entero N tal que x n ≥ y n para todo n > N .
Por construcción, todo número real x está representado por una secuencia de Cauchy de números racionales. Esta representación está lejos de ser única; toda secuencia racional que converge ax es una representación de x . Esto refleja la observación de que a menudo se pueden usar diferentes secuencias para aproximar el mismo número real.
El único axioma del número real que no se sigue fácilmente de las definiciones es la completitud de ≤, es decir, la propiedad del límite superior mínimo . Se puede demostrar como sigue: Sea S un subconjunto no vacío de R y U sea un límite superior para S . Sustituyendo un valor mayor si es necesario, podemos asumir que U es racional. Puesto que S es no vacío, podemos elegir un número racional L tal que L < s para algunos s en S . Ahora defina secuencias de racionales ( u n ) y ( l n ) de la siguiente manera:
- Conjunto u 0 = U y l 0 = L .
Para cada n, considere el número:
- metro norte = ( u norte + l norte ) / 2
Si m n es un límite superior para el conjunto S :
- u n +1 = m n y l n +1 = l n
De lo contrario establecido:
- l n +1 = m n y u n +1 = u n
Esto define dos secuencias de Cauchy de racionales, por lo que tenemos números reales l = ( l n ) y u = ( u n ) . Es fácil demostrar, por inducción en n, que:
- u n es un límite superior de S para todo n
y:
- l n nunca es un límite superior de S para ningún n
Por lo tanto u es una cota superior de S . Para ver que es un límite superior mínimo, observe que el límite de ( u n - l n ) es 0, por lo que l = u . Ahora supongamos b < u = l es un menor límite superior para S . Dado que ( l n ) es monótona creciente, es fácil ver que b < l n para algunos n . Pero l n no es un límite superior para S y, por lo tanto, tampoco lo es b . Por tanto, u es un límite superior mínimo para S y ≤ es completo.
La notación decimal habitual se puede traducir a secuencias de Cauchy de forma natural. Por ejemplo, la notación π = 3.1415 ... significa que π es la clase de equivalencia de la secuencia de Cauchy (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...). La ecuación 0.999 ... = 1 establece que las sucesiones (0, 0.9, 0.99, 0.999, ...) y (1, 1, 1, 1, ...) son equivalentes, es decir, su diferencia converge a 0.
Una ventaja de construir R como la terminación de Q es que esta construcción no es específica de un ejemplo; también se utiliza para otros espacios métricos.
Construcción por cortes Dedekind
Un corte de Dedekind en un campo ordenado es una partición del mismo, ( A , B ), de modo que A no está vacío y está cerrado hacia abajo, B no está vacío y está cerrado hacia arriba, y A no contiene ningún elemento mayor . Los números reales se pueden construir como cortes de Dedekind de números racionales.
Por conveniencia, podemos tomar el conjunto inferior. como representante de cualquier corte de Dedekind , desde determina completamente . Al hacer esto, podemos pensar intuitivamente en un número real como representado por el conjunto de todos los números racionales más pequeños. Más detalladamente, un número real es cualquier subconjunto del conjunto de números racionales que cumpla las siguientes condiciones: [1]
- no está vacío
- está cerrado hacia abajo. En otras palabras, para todos tal que , Si luego
- no contiene ningún elemento mayor. En otras palabras, no hay tal que para todos ,
- Formamos el conjunto de números reales como el conjunto de todos los cortes de Dedekind de , y defina un orden total en los números reales de la siguiente manera:
- Nos integramos los números racionales a los reales mediante la identificación del número racional con el conjunto de todos los números racionales más pequeños . [1] Dado que los números racionales son densos , tal conjunto no puede tener ningún elemento mayor y, por lo tanto, cumple las condiciones para ser un número real establecidas anteriormente.
- Adición .[1]
- Resta . dónde denota el complemento relativo de en ,
- La negación es un caso especial de resta:
- Definir la multiplicación es menos sencillo. [1]
- Si luego
- si alguno o es negativo, usamos las identidades para convertir y / o a números positivos y luego aplique la definición anterior.
- Definimos división de manera similar:
- Si luego
- si alguno o es negativo, usamos las identidades para convertir a un número no negativo y / o a un número positivo y luego aplique la definición anterior.
- Supremum . Si un juego no vacío de números reales tiene cualquier límite superior en , entonces tiene un límite superior mínimo en eso es igual a . [1]
Como ejemplo de un corte de Dedekind que representa un número irracional , podemos tomar la raíz cuadrada positiva de 2 . Esto puede ser definido por el conjunto. [2] Puede verse en las definiciones anteriores que es un número real, y eso . Sin embargo, ninguno de los reclamos es inmediato. Mostrando que es real requiere demostrar que no tiene mayor elemento, es decir, que para cualquier racional positivo con , hay un racional con y La elección obras. Luego pero para mostrar igualdad es necesario demostrar que si es cualquier número racional con , entonces hay positivo en con .
Una ventaja de esta construcción es que cada número real corresponde a un corte único.
Construcción usando números hiperrealistas
Como en los números hiperreales , se construyen los hiperracionales * Q a partir de los números racionales mediante un ultrafiltro . Aquí un hiperracional es por definición una relación de dos hyperintegers . Considere el anillo B de todos los elementos limitados (es decir finitos) en * Q . Entonces B tiene un ideal máximo único I , los números infinitesimales . El anillo cociente B / I da el campo R de números reales [ cita requerida ] . Tenga en cuenta que B no es un conjunto interno de * Q . Tenga en cuenta que esta construcción utiliza un ultrafiltro no principal sobre el conjunto de números naturales, cuya existencia está garantizada por el axioma de elección .
Resulta que los aspectos ideales máximos del orden de * Q . Por tanto, el campo resultante es un campo ordenado. La integridad se puede demostrar de manera similar a la construcción de las secuencias de Cauchy.
Construcción a partir de números surrealistas
Cada campo ordenado se puede incrustar en los números surrealistas . Los números reales forman un subcampo máximo que es de Arquímedes (lo que significa que ningún número real es infinitamente grande). Esta incrustación no es única, aunque puede elegirse de forma canónica.
Construcción a partir de enteros (Eudoxo reales)
Una construcción relativamente menos conocida permite definir números reales usando solo el grupo aditivo de enteros. con diferentes versiones. [3] [4] [5] La construcción ha sido verificada formalmente por el proyecto IsarMathLib. [6] Shenitzer [7] y Arthan se refieren a esta construcción como los reales Eudoxus , nombrados en honor a un antiguo astrónomo y matemático griego Eudoxus de Cnidus .
Dejemos que un casi homomorfismo sea un mapa tal que el conjunto es finito. (Tenga en cuenta que es un casi homomorfismo para cada .) Casi los homomorfismos forman un grupo abeliano bajo la adición puntual. Decimos que dos casi homomorfismosson casi iguales si el conjuntoes finito. Esto define una relación de equivalencia en el conjunto de casi homomorfismos. Los números reales se definen como las clases de equivalencia de esta relación. Alternativamente, los casi homomorfismos que toman solo un número finito de valores forman un subgrupo, y el grupo aditivo subyacente del número real es el grupo cociente. Para sumar números reales definidos de esta manera sumamos los casi homomorfismos que los representan. La multiplicación de números reales corresponde a la composición funcional de casi homomorfismos. Si denota el número real representado por un casi homomorfismo Nosotros decimos eso Si está acotado o toma un número infinito de valores positivos en . Esto define la relación de orden lineal en el conjunto de números reales construido de esta manera.
Otras construcciones
Faltin y col. escribir:
Pocas estructuras matemáticas se han sometido a tantas revisiones o se han presentado en tantas formas como los números reales. Cada generación reexamina lo real a la luz de sus valores y objetivos matemáticos. [8]
Varias otras construcciones han sido dadas por:
- NG de Bruijn. [9]
- GJ Rieger. [10] [11]
- Arnold Knopfmacher y John Knopfmacher. [12] [13]
Como señaló un revisor de uno: "Todos los detalles están incluidos, pero, como de costumbre, son tediosos y no demasiado instructivos". [14]
Ver también
- Constructivismo (matemáticas) # Ejemplo de análisis real
Referencias
- ↑ a b c d e Pugh, Charles Chapman (2002). Análisis matemático real . Nueva York: Springer. pp. 11 -15. ISBN 978-0-387-95297-0.
- ^ Hersh, Reuben (1997). ¿Qué son las matemáticas, realmente? . Nueva York: Oxford University Press EE. UU. pag. 274. ISBN 978-0-19-513087-4.
- ^ RD Arthan (2004). "Los números reales de Eudoxo". arXiv : matemáticas / 0405454 .
- ^ Norbert A'Campo (2003). "Una construcción natural para los números reales". arXiv : matemáticas / 0301015 .
- ^ Ross Street (septiembre de 2003). "Actualización sobre los reales eficientes" (PDF) . Consultado el 23 de octubre de 2010 . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- ^ "IsarMathLib" .
- ^ Shenitzer, A (1987). "Un curso de temas en matemáticas". El inteligente matemático . 9 (3): 44–52. doi : 10.1007 / bf03023955 .
- ^ F. Faltin, N. Metropolis, B. Ross y G.-C. Lista. Los números reales como producto de una corona Advances in Mathematics , 16 (1975), 278-304.
- ^ NG de Bruijn. Construcción del sistema de números reales. (Holandés) Nederl. Akad. Wetensch. Verslag Afd. Natuurk. 86 (1977), núm. 9, 121-125.
- ^ GJ Rieger. Un nuevo enfoque de los números reales (motivado por fracciones continuas). Abh. Braunschweig. Wiss. Ges. 33 (1982), 205–217
- ^ NG de Bruijn. Definición de reales sin el uso de racionales. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 79 = Indag. Matemáticas. 38 (1976), núm. 2, 100–108
- también en http://alexandria.tue.nl/repository/freearticles/597556.pdf
- ^ Arnold Knopfmacher, John Knopfmacher. Una nueva construcción de los números reales (vía productos infinitos). Nieuw Arch. Wisk. (4) 5 (1987), núm. 1, 19–31.
- ^ Arnold Knopfmacher, John Knopfmacher. Dos nuevas construcciones de hormigón de los números reales. Rocky Mountain J. Math. 18 (1988), núm. 4, 813–824.
- ^ Señor693180 (84j: 26002) revisión de Un nuevo enfoque de los números reales (motivado por fracciones continuas) por Rieger, GJ