En matemáticas, la geometría continua es un análogo de la geometría proyectiva compleja introducida por von Neumann ( 1936 , 1998 ), donde en lugar de que la dimensión de un subespacio esté en un conjunto discreto 0, 1, ..., n , puede ser un elemento del intervalo unitario [0,1]. Von Neumann fue motivado por su descubrimiento de las álgebras de von Neumann con una función de dimensión que toma un rango continuo de dimensiones, y el primer ejemplo de una geometría continua distinta del espacio proyectivo fueron las proyecciones del factor hiperfinito de tipo II .
Definición
Menger y Birkhoff dieron axiomas para la geometría proyectiva en términos de la red de subespacios lineales del espacio proyectivo. Los axiomas de Von Neumann para la geometría continua son una forma debilitada de estos axiomas.
Una geometría continua es una celosía L con las siguientes propiedades
- L es modular .
- L está completo .
- Las operaciones de celosía ∧, ∨ satisfacen una cierta propiedad de continuidad,
- , donde A es un conjunto dirigido y si α < β entonces a α < a β , y la misma condición con ∧ y ed invertidos.
- Cada elemento de L tiene un complemento (no necesariamente único). Un complemento de un elemento de una es un elemento b con un ∧ b = 0 , un ∨ b = 1 , en donde 0 y 1 son los elementos mínimos y máximos de L .
- L es irreducible: esto significa que los únicos elementos con complementos únicos son 0 y 1.
Ejemplos de
- El espacio proyectivo complejo de dimensión finita, o más bien su conjunto de subespacios lineales, es una geometría continua, con dimensiones que toman valores en el conjunto discreto {0, 1 / n , 2 / n , ..., 1}
- Las proyecciones de un álgebra de von Neumann de tipo II finito forman una geometría continua con dimensiones que toman valores en el intervalo unitario [0,1].
- Kaplansky (1955) demostró que cualquier celosía modular completa ortocomplementada es una geometría continua.
- Si V es un espacio vectorial sobre un campo (o anillo de división ) F , entonces hay un mapa natural desde el retículo PG ( V ) de subespacios de V al retículo de subespacios de V ⊗ F 2 que multiplica las dimensiones por 2. Entonces podemos tomar un límite directo de
- Esta tiene una función de dimensión que toma valores todos los racionales diádicos entre 0 y 1. Su terminación es una geometría continua que contiene elementos de todas las dimensiones en [0,1]. Esta geometría fue construida por von Neumann (1936b) , y se llama geometría continua sobre "F"
Dimensión
Esta sección resume algunos de los resultados de von Neumann (1998 , Parte I) . Estos resultados son similares y fueron motivados por el trabajo de von Neumann sobre proyecciones en álgebras de von Neumann.
Dos elementos de una y B de L se llama perspectiva , escrito un ~ b , si tienen un complemento común. Ésta es una relación de equivalencia en L ; la prueba de que es transitiva es bastante difícil.
Las clases de equivalencia A , B , ... de L tienen un orden total definido por A ≤ B si hay alguna a en A y b en B con a ≤ b . (Esto no tiene por qué ser válido para todo a en A y b en B ).
La función de dimensión D desde L hasta el intervalo unitario se define de la siguiente manera.
- Si las clases de equivalencia A y B contienen elementos a y b con a ∧ b = 0, entonces su suma A + B se define como la clase de equivalencia de a ∨ b . De lo contrario, la suma A + B no está definida. Para un entero positivo n , el producto nA se define como la suma de n copias de A , si esta suma está definida.
- Para las clases de equivalencia A y B con A no {0}, el número entero [ B : A ] se define como el número entero único n ≥ 0 tal que B = nA + C con C < B .
- Para las clases de equivalencia A y B con A no {0}, el número real ( B : A ) se define como el límite de [ B : C ] / [ A : C ] ya que C pasa por una secuencia mínima: esto significa que C contiene un elemento mínimo distinto de cero, o una secuencia infinita de elementos distintos de cero, cada uno de los cuales es como máximo la mitad del anterior.
- D ( un ) se define para ser ({ un }: {1}) , donde { a } y {1} son las clases de equivalencia que contienen una y 1.
La imagen de D puede ser el intervalo unitario completo, o el conjunto de números 0, 1 / n , 2 / n , ..., 1 para algún entero positivo n . Dos elementos de L tienen la misma imagen debajo de D si y solo si son en perspectiva, por lo que da una inyección de las clases de equivalencia a un subconjunto del intervalo unitario. La función de dimensión D tiene las propiedades:
- Si a < b entonces D ( a ) < D ( b )
- D ( un ∨ b ) + D ( una ∧ b ) = D ( un ) + D ( b )
- D ( a ) = 0 si y solo si a = 0 , y D ( a ) = 1 si y solo si a = 1
- 0 ≤ D ( a ) ≤ 1
Teorema de coordinación
En geometría proyectiva, el teorema de Veblen-Young establece que una geometría proyectiva de dimensión al menos 3 es isomorfa a la geometría proyectiva de un espacio vectorial sobre un anillo de división. Esto puede reformularse diciendo que los subespacios en la geometría proyectiva corresponden a los principales ideales rectos de un álgebra matricial sobre un anillo de división.
Neumann generalizó esto a geometrías continuas, y más generalmente a celosías modulares complementadas, como sigue ( Neumann 1998 , Parte II). Su teorema establece que si una celosía modular complementada L tiene orden [ cuando se define como? ] al menos 4, entonces los elementos de L corresponden a los principales ideales derechos de un anillo regular de von Neumann . Más precisamente, si la red tiene orden n entonces el anillo regular de von Neumann se pueden tomar para ser un n por n anillo de la matriz M n ( R ) sobre otra von Neumann anillo ordinario R . Aquí una celosía modular complementada tiene orden n si tiene una base homogénea de n elementos, donde una base es n elementos a 1 , ..., a n tal que a i ∧ a j = 0 si i ≠ j , y a 1 ∨ ... ∨ a n = 1 , y una base se llama homogénea si dos elementos cualesquiera son perspectiva. El orden de una celosía no necesita ser único; por ejemplo, cualquier celosía tiene orden 1. La condición de que la celosía tenga orden de al menos 4 corresponde a la condición de que la dimensión es al menos 3 en el teorema de Veblen-Young, ya que un espacio proyectivo tiene dimensión al menos 3 si y solo si tiene un conjunto de al menos 4 puntos independientes.
Por el contrario, los principales ideales correctos de un anillo regular de von Neumann forman una red modular complementada ( Neumann 1998 , Parte II teorema 2.4).
Suponga que R es un anillo regular de von Neumann y L su red de ideales rectos principales, de modo que L es una red modular complementada. Neumann demostró que L es una geometría continua si y solo si R es un anillo de rango completo irreductible .
Referencias
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