Un polígono convexo es un polígono simple (que no se interseca automáticamente ) en el que ningún segmento de línea entre dos puntos en el límite sale del polígono. De manera equivalente, es un polígono simple cuyo interior es un conjunto convexo . [1] En un polígono convexo, todos los ángulos interiores son menores o iguales a 180 grados, mientras que en un polígono estrictamente convexo todos los ángulos interiores son estrictamente menores de 180 grados.
Propiedades
Las siguientes propiedades de un polígono simple son todas equivalentes a la convexidad:
- Cada ángulo interno es estrictamente inferior a 180 grados .
- Cada punto en cada segmento de línea entre dos puntos dentro o en el límite del polígono permanece dentro o en el límite.
- El polígono está contenido en su totalidad en un semiplano cerrado definido por cada uno de sus bordes.
- Para cada borde, los puntos interiores están todos en el mismo lado de la línea que define el borde.
- El ángulo en cada vértice contiene todos los demás vértices en sus bordes e interior.
- El polígono es el casco convexo de sus bordes.
Las propiedades adicionales de los polígonos convexos incluyen:
- La intersección de dos polígonos convexos es un polígono convexo.
- Un polígono convexo se puede triangular en tiempo lineal mediante una triangulación en abanico , que consiste en sumar diagonales desde un vértice a todos los demás vértices.
- Teorema de Helly : para cada colección de al menos tres polígonos convexos: si la intersección de cada tres de ellos no está vacía, entonces toda la colección tiene una intersección no vacía.
- Teorema de Kerin-Milman : Un polígono convexo es el casco convexo de sus vértices. Por lo tanto, está completamente definido por el conjunto de sus vértices, y solo se necesitan las esquinas del polígono para recuperar la forma completa del polígono.
- Teorema de separación de hiperplano : dos polígonos convexos sin puntos en común tienen una línea de separación. Si los polígonos están cerrados y al menos uno de ellos es compacto, entonces hay incluso dos líneas de separación paralelas (con un espacio entre ellas).
- Propiedad del triángulo inscrito : De todos los triángulos contenidos en un polígono convexo, existe un triángulo con un área máxima cuyos vértices son todos los vértices del polígono. [2]
- La inscripción triángulo de la propiedad: cada polígono convexo con zona A puede ser inscrito en un triángulo de área como máximo igual a 2 A . La igualdad es válida (exclusivamente) para un paralelogramo . [3]
- Propiedad de rectángulos inscritos / inscritos : Para cada cuerpo convexo C en el plano, podemos inscribir un rectángulo r en C tal que una copia homotética R de r esté circunscrita alrededor de C y la relación de homotecia positiva sea como máximo 2 y. [4]
- El ancho medio de un polígono convexo es igual a su perímetro dividido por pi. Entonces su ancho es el diámetro de un círculo con el mismo perímetro que el polígono. [5]
Cada polígono inscrito en un círculo (de modo que todos los vértices del polígono toquen el círculo), si no se intersecan automáticamente , es convexo. Sin embargo, no todos los polígonos convexos pueden inscribirse en un círculo.
Convexidad estricta
Las siguientes propiedades de un polígono simple son todas equivalentes a la convexidad estricta:
- Cada ángulo interno es estrictamente inferior a 180 grados.
- Cada segmento de línea entre dos puntos en el interior, o entre dos puntos en el límite pero no en el mismo borde, es estrictamente interior al polígono (excepto en sus extremos si están en los bordes).
- Para cada borde, los puntos interiores y los puntos de límite no contenidos en el borde están en el mismo lado de la línea que define el borde.
- El ángulo en cada vértice contiene todos los demás vértices en su interior (excepto el vértice dado y los dos vértices adyacentes).
Todo triángulo no degenerado es estrictamente convexo.
Ver también
Referencias
- ^ Definición y propiedades de polígonos convexos con animación interactiva.
- ^ -, Christos. "¿El área de intersección de los polígonos convexos es siempre convexa?" . Intercambio de pila de matemáticas .CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )
- ^ Weisstein, Eric W. "Circunscripción triangular" . Wolfram Math World .
- ^ Lassak, M. (1993). "Aproximación de cuerpos convexos por rectángulos". Geometriae Dedicata . 47 : 111. doi : 10.1007 / BF01263495 .
- ^ Jim Belk. "¿Cuál es el ancho promedio de un polígono convexo?" . Intercambio de pila de matemáticas .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Polígono convexo" . MathWorld .
- http://www.rustycode.com/tutorials/convex.html
- Schorn, Peter; Fisher, Frederick (1994), "I.2 Prueba de la convexidad de un polígono" , en Heckbert, Paul S. (ed.), Graphics Gems IV , Morgan Kaufmann (Academic Press), págs. 7-15 , ISBN 9780123361554