dónde denota el operador de la transformada de Fourier . La transformada puede normalizarse de otras formas, en cuyo caso factores de escala constantes (normalmente o ) aparecerá en el teorema de convolución siguiente. La convolución de y se define por :
En este contexto, el asterisco denota convolución, en lugar de multiplicación estándar. El símbolo del producto tensorial a veces se usa en su lugar.
El teorema de la convolución establece que : [1] [2] : ecuación 8
( Ecuación 1a )
Aplicar la transformada de Fourier inversa , produce el corolario : [2] : eqs.7,10
Por tanto, por el teorema de Fubini tenemos que entonces su transformada de Fourier se define por la fórmula integral :
Tenga en cuenta que y por lo tanto, mediante el argumento anterior, podemos aplicar el teorema de Fubini nuevamente (es decir, intercambiar el orden de integración) :
Convolución periódica (coeficientes de la serie de Fourier)
Considerar -funciones periódicas y que se puede expresar como sumas periódicas :
y
En la práctica, la porción de componentes distinta de cero y a menudo se limitan a la duración pero nada en el teorema requiere eso. Los coeficientes de la serie de Fourier son :
dónde denota la integral de la serie de Fourier .
El producto puntiagudo :
es también -periódico, y sus coeficientes de la serie de Fourier están dados por la convolución discreta de la y secuencias :
es también -periódica, y se llama convolución periódica . El teorema de convolución correspondiente es :
( Ecuación 2 )
Derivación de la ecuación 2
Funciones de una variable discreta (secuencias)
Mediante una derivación similar a la ecuación 1, existe un teorema análogo para las secuencias, como muestras de dos funciones continuas, donde ahora denota el operador de transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT). Considere dos secuencias y con transforma y :
es también -periódica, y se llama convolución periódica . Redefiniendo el operador como el de longitud DFT, el teorema correspondiente es : [5] [4] : p.548
( Ecuación 4a )
Y por tanto :
( Ecuación 4b )
En las condiciones adecuadas, es posible que esta secuencia de N longitudes contenga un segmento libre de distorsión de un circunvolución. Pero cuando la parte distinta de cero del o la secuencia es igual o más larga que alguna distorsión es inevitable. Tal es el caso cuando elLa secuencia se obtiene muestreando directamente la DTFT de la respuesta al impulso de la transformada de Hilbert discreta § infinitamente larga . [B]
Para y secuencias cuya duración distinta de cero es menor o igual a una simplificación final es :
Una derivación en el dominio del tiempo procede de la siguiente manera :
Una derivación en el dominio de la frecuencia se deriva de § Datos periódicos , lo que indica que las DTFT se pueden escribir como :
El producto con se reduce así a una función de frecuencia discreta :
donde la equivalencia de y se deduce del § Muestreo de DTFT . Por lo tanto, la equivalencia de (5a) y (5b) requiere:
También podemos verificar la DTFT inversa de (5b) :
Teorema de convolución para la transformada de Fourier inversa
También hay un teorema de convolución para la transformada de Fourier inversa :
así que eso
Teorema de convolución para distribuciones templadas
El teorema de convolución se extiende a distribuciones templadas . Aquí,es una distribución templada arbitraria (por ejemplo, el peine de Dirac )
pero debe estar "disminuyendo rápidamente" hacia y con el fin de garantizar la existencia de ambos, convolución y producto de multiplicación. De manera equivalente, sies una función ordinaria suave de "crecimiento lento", que garantiza la existencia de ambos, producto de multiplicación y convolución. . [6] [7] [8]
En particular, todas las distribuciones templadas con soporte compacto, como el delta de Dirac , están "disminuyendo rápidamente". De manera equivalente, funciones de banda limitada , como la función que está constantementeson funciones ordinarias suaves de "crecimiento lento". Si, por ejemplo,es el peine de Dirac ambas ecuaciones producen la fórmula de suma de Poisson y si, además, es el delta de Dirac entonces es constantemente uno y estas ecuaciones producen la identidad de peine de Dirac .
Ver también
Función generadora de momento de una variable aleatoria
Notas
^ Prueba:
^ Un ejemplo es lafunción MATLAB , hilbert (g, N) .
Referencias
^ McGillem, Clare D .; Cooper, George R. (1984). Análisis continuo y discreto de señales y sistemas (2 ed.). Holt, Rinehart y Winston. pag. 118 (3-102). ISBN 0-03-061703-0.
^ a bWeisstein, Eric W. "Teorema de convolución" . De MathWorld - Un recurso web de Wolfram . Consultado el 8 de febrero de 2021 .
^Proakis, John G .; Manolakis, Dimitri G. (1996), Procesamiento de señales digitales: principios, algoritmos y aplicaciones (3 ed.), Nueva Jersey: Prentice-Hall International, p. 297, Bibcode : 1996dspp.book ..... P , ISBN 9780133942897, sAcfAQAAIAAJ
^ a bOppenheim, Alan V .; Schafer, Ronald W .; Buck, John R. (1999). Procesamiento de señales en tiempo discreto (2ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2. También disponible en https://d1.amobbs.com/bbs_upload782111/files_24/ourdev_523225.pdf
^Rabiner, Lawrence R .; Oro, Bernard (1975). Teoría y aplicación del procesamiento de señales digitales . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall, Inc. p. 59 (2,163). ISBN 978-0139141010.
^Horváth, John (1966). Espacios y distribuciones vectoriales topológicas . Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company.
^Barros-Neto, José (1973). Introducción a la teoría de distribuciones . Nueva York, NY: Dekker.
^Petersen, Bent E. (1983). Introducción a la transformada de Fourier y los operadores pseudodiferenciales . Boston, MA: Pitman Publishing.
Otras lecturas
Katznelson, Yitzhak (1976), Introducción al análisis armónico , Dover, ISBN 0-486-63331-4
Li, Bing; Babu, G. Jogesh (2019), "Teorema de convolución y eficiencia asintótica", Un curso de posgrado sobre inferencia estadística , Nueva York: Springer, págs. 295–327, ISBN 978-1-4939-9759-6
Crutchfield, Steve (9 de octubre de 2010), "The Joy of Convolution" , Johns Hopkins University , consultado el 19 de noviembre de 2010
Recursos adicionales
Para obtener una representación visual del uso del teorema de convolución en el procesamiento de señales , consulte:
Universidad Johns Hopkins 's Java simulación -aided: http://www.jhu.edu/signals/convolve/index.html