× | 1 | I | j | k |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | I | j | k |
I | I | −1 | k | −j |
j | j | −k | 1 | −i |
k | k | j | I | 1 |
En álgebra abstracta , los cuaterniones divididos o cocuaterniones forman una estructura algebraica introducida por James Cockle en 1849 con este último nombre. Forman un álgebra asociativa de dimensión cuatro sobre los números reales .
Después de la introducción en el siglo XX de definiciones libres de coordenadas de anillos y álgebras , se ha demostrado que el álgebra de cuaterniones divididos es isomorfa al anillo de las matrices reales 2 × 2 . Por tanto, el estudio de cuaterniones divididos puede reducirse al estudio de matrices reales, y esto puede explicar por qué hay pocas menciones de cuaterniones divididos en la literatura matemática de los siglos XX y XXI.
Definición
Los cuaterniones divididos son las combinaciones lineales (con coeficientes reales) de cuatro elementos básicos 1, i, j, k que satisfacen las siguientes reglas de producto:
- yo 2 = −1 ,
- j 2 = 1 ,
- k 2 = 1 ,
- ij = k = −ji .
Por asociatividad , estas relaciones implican
- jk = −i = −kj ,
- ki = j = −ik ,
y también ijk = 1 .
Entonces, los cuaterniones divididos forman un espacio vectorial real de dimensión cuatro con {1, i, j, k} como base . También forman un anillo no conmutativo , al extender las reglas de producto anteriores por distributividad a todos los cuaterniones divididos.
Consideremos las matrices cuadradas
Satisfacen la misma tabla de multiplicar que los correspondientes cuaterniones divididos. Como estas matrices forman una base de las matrices de dos por dos, la función que mapea 1, i, j, k a(respectivamente) induce un isomorfismo de álgebra desde los cuaterniones divididos hasta las matrices de dos por dos reales.
Las reglas de multiplicación anteriores implican que los ocho elementos 1, i, j, k, −1, −i, −j, −k forman un grupo bajo esta multiplicación, que es isomorfo al grupo diedro D 4 , el grupo de simetría de un cuadrado . De hecho, si se considera un cuadrado cuyos vértices son los puntos cuyas coordenadas son 0 o 1 , la matriz es la rotación en el sentido de las agujas del reloj de un cuarto de vuelta, es la simetría alrededor de la primera diagonal, y es la simetría alrededor del eje x .
Propiedades
Como los cuaterniones introducidos por Hamilton en 1843, forman un álgebra asociativa real de cuatro dimensiones . Pero al igual que las matrices y a diferencia de los cuaterniones, los cuaterniones divididos contienen divisores cero no triviales , elementos nilpotentes e idempotentes . (Por ejemplo,1/2(1 + j) es un divisor de cero idempotente, e i - j es nilpotente.) Como álgebra sobre los números reales , el álgebra de cuaterniones divididos es isomorfa al álgebra de matrices reales 2 × 2 por los isomorfinos definidos anteriormente. .
Este isomorfismo permite identificar cada cuaternión dividido con una matriz de 2 × 2. Entonces, cada propiedad de los cuaterniones divididos corresponde a una propiedad similar de las matrices, que a menudo se denomina de manera diferente.
El conjugado de un cuaternión dividido q = w + x i + y j + z k , es q ∗ = w - x i - y j - z k . En términos de matrices, el conjugado es la matriz del cofactor obtenida intercambiando las entradas diagonales y cambiando de signo las otras dos entradas.
El producto de un cuaternión dividido con su conjugado es la forma cuadrática isotrópica :
que se llama la norma del cuaternión dividido o el determinante de la matriz asociada.
La parte real de un cuaternión dividido q = w + x i + y j + z k es w = ( q ∗ + q ) / 2 . Es igual a la traza de la matriz asociada.
La norma de un producto de dos cuaterniones divididos es el producto de sus normas. De manera equivalente, el determinante de un producto de matrices es el producto de sus determinantes.
Esto significa que los cuaterniones divididos y las matrices 2 × 2 forman un álgebra de composición . Como hay cuaterniones divididos distintos de cero que tienen una norma cero, los cuaterniones divididos forman un "álgebra de composición dividida", de ahí su nombre.
Un cuaternión dividido con una norma distinta de cero tiene un inverso multiplicativo , a saber, q ∗ / N ( q ) . En términos de matriz, esta es la regla de Cramer que afirma que una matriz es invertible si y solo su determinante es distinto de cero y, en este caso, la inversa de la matriz es el cociente de la matriz del cofactor por el determinante.
El isomorfismo entre cuaterniones divididos y matrices 2 × 2 muestra que el grupo multiplicativo de cuaterniones divididos con una norma distinta de cero es isomorfo con y el grupo de cuaterniones divididos de la norma 1 es isomorfo con
Representación como matrices complejas
Hay una representación de los cuaterniones divididos como una subálgebra asociativa unital de las matrices 2 × 2 con entradas complejas . Esta representación puede ser definida por el homomorfismo de álgebra que mapea un cuaternión dividido w + x i + y j + z k a la matriz
Aquí, i ( cursiva ) es la unidad imaginaria , que no debe confundirse con el cuaternión dividido básico i ( romano vertical ).
La imagen de este homomorfismo es el anillo matricial formado por las matrices de la forma
donde el superíndice denota un conjugado complejo .
Este homomorfismo mapea respectivamente los cuaterniones divididos i, j, k en las matrices
La prueba de que esta representación es un homomorfismo de álgebra es sencilla pero requiere algunos cálculos aburridos, que se pueden evitar partiendo de la expresión de cuaterniones divididos como matrices reales de 2 × 2 y utilizando la similitud de matrices . Sea S la matriz
Luego, aplicado a la representación de cuaterniones divididos como matrices reales de 2 × 2 , el homomorfismo del álgebra anterior es la semejanza de la matriz.
De ello se deduce casi inmediatamente que para un cuaternión dividido representado como una matriz compleja, el conjugado es la matriz de los cofactores y la norma es el determinante.
Con la representación de cuaterniones divididos como matrices complejas. las matrices de cuaterniones de norma 1 son exactamente los elementos del grupo unitario especial SU (1,1) . Esto se utiliza en geometría hiperbólica para describir movimientos hiperbólicos del modelo de disco de Poincaré . [1]
Generación a partir de números complejos divididos
Kevin McCrimmon [2] ha mostrado cómo todos los álgebra de la composición pueden ser construidos a la manera promulgada por LE Dickson y Adrian Albert para la división de las álgebra C , H , y O . De hecho, presenta la regla de la multiplicación.
para ser utilizado al producir el producto duplicado en los casos divididos reales. Como antes, el conjugado duplicado así que eso
Si a y b son números complejos divididos y cuaterniones divididos
luego
Estratificación
En esta sección se estudian y clasifican las subálgebras generadas por un solo cuaternión dividido.
Sea p = w + x i + y j + z k un cuaternión dividido. Su parte real es w = 1/2( p + p * ) . Sea q = p - w = 1/2( p - p * ) sea su parte no real . Uno tiene q * = - q , y por lo tanto Resulta que es un número real si y sólo p es o bien un número real ( q = 0 y p = w ) o un cuaternión división puramente no real ( w = 0 y p = q ).
La estructura de la subálgebra generado por p sigue directamente. Uno tiene
y esto es un álgebra conmutativa . Su dimensión es dos excepto si p es real (en este caso, la subálgebra es simplemente).
Los elementos no reales de cuyo cuadrado es real tienen la forma aq con
Deben considerarse tres casos, que se detallan en las siguientes subsecciones.
Caso nilpotente
Con la notación anterior, si (es decir, si q es nilpotente ), entonces N ( q ) = 0 , es decir,Esto implica que existen w y t ental que 0 ≤ t <2 π y
Esta es una parametrización de todos los cuaterniones divididos cuya parte no real es nilpotente.
Esta es también una parametrización de estas subálgebras por los puntos de un círculo: los cuaterniones divididos de la forma formar un círculo ; una subálgebra generada por un elemento nilpotente contiene exactamente un punto del círculo; y el círculo no contiene ningún otro punto.
El álgebra generada por un elemento nilpotente es isomorfo a y al espacio de los números duales .
Estuche descomponible
Este es el caso donde N ( q )> 0 . Dejando uno tiene
Resulta que 1/norte q pertenece al hiperboloide de dos hojas de ecuaciónPor lo tanto, hay números reales n , t , u tales que 0 ≤ t <2 π y
Esta es una parametrización de todos los cuaterniones divididos cuya parte no real tiene una norma positiva.
Esta es también una parametrización de las subálgebras correspondientes por los pares de puntos opuestos de un hiperboloide de dos hojas: los cuaterniones divididos de la forma formar un hiperboloide de dos hojas; una subálgebra generada por un cuaternión dividido con una parte no real de norma positiva contiene exactamente dos puntos opuestos en este hiperboloide, uno en cada hoja; y el hiperboloide no contiene ningún otro punto.
El álgebra generada por un cuaternión dividido con una parte no real de norma positiva es isomórfica a y al espacio de los números complejos divididos . También es isomórfico (como álgebra) para por el mapeo definido por
Estuche indecomposible
Este es el caso donde N ( q ) <0 . Dejando uno tiene
Resulta que 1/norte q pertenece al hiperboloide de una hoja de ecuaciónPor lo tanto, hay números reales n , t , u tales que 0 ≤ t <2 π y
Esta es una parametrización de todos los cuaterniones divididos cuya parte no real tiene una norma negativa.
Esta es también una parametrización de las subálgebras correspondientes por los pares de puntos opuestos de un hiperboloide de una hoja: los cuaterniones divididos de la forma formar un hiperboloide de una hoja; una subálgebra generada por un cuaternión dividido con una parte no real de norma negativa contiene exactamente dos puntos opuestos en este hiperboloide; y el hiperboloide no contiene ningún otro punto.
El álgebra generada por un cuaternión dividido con una parte no real de norma negativa es isomórfica a y al campo de los números complejos.
Estratificación por la norma
Como se vio arriba, los cuaterniones divididos puramente no reales de la norma -1, 1 y 0 forman respectivamente un hiperboloide de una hoja, un hiporboloide de dos hojas y un cono circular en el espacio de los cuaterniones no reales.
Estas superficies son asíntotas por pares y no se cruzan. Su complemento consta de seis regiones conectadas:
- las dos regiones ubicadas en el lado cóncavo del hiperboloide de dos hojas, donde
- las dos regiones entre el hiperboloide de dos hojas y el cono, donde
- la región entre el cono y el hiperboloide de una hoja donde
- la región fuera del hiperboloide de una hoja, donde
Esta estratificación puede refinarse considerando cuaterniones divididos de una norma fija: para cada número real n ≠ 0, los cuaterniones divididos puramente no reales de la norma n forman un hiperboloide. Todos estos hiperboloides son asíntotas del cono anterior, y ninguna de estas superficies se cruza con ninguna otra. Como el conjunto de cuaterniones divididos puramente no reales es la unión disjunta de estas superficies, esto proporciona la estratificación deseada.
Notas históricas
Los coquaternions fueron introducidos inicialmente (bajo ese nombre) [3] en 1849 por James Cockle en la Revista Filosófica de Londres-Edimburgo-Dublín . Los artículos introductorios de Cockle se recordaron en la Bibliografía [4] de 1904 de la Quaternion Society . Alexander Macfarlane llamó a la estructura de los vectores de cuaterniones divididos un sistema exesférico cuando habló en el Congreso Internacional de Matemáticos en París en 1900. [5]
La esfera unitaria fue considerada en 1910 por Hans Beck. [6] Por ejemplo, el grupo diedro aparece en la página 419. La estructura de cuaterniones divididos también se ha mencionado brevemente en Annals of Mathematics . [7] [8]
Sinónimos
- Para-cuaterniones (Ivanov y Zamkovoy 2005, Mohaupt 2006) Los colectores con estructuras para-cuaterniónicas se estudian en geometría diferencial y teoría de cuerdas . En la literatura paracuaterniónica, k se reemplaza por −k.
- Sistema exférico (Macfarlane 1900)
- Cuaterniones divididos (Rosenfeld 1988) [9]
- Anticuaterniones (Rosenfeld 1988)
- Pseudocuaterniones (Yaglom 1968 [10] Rosenfeld 1988)
Ver también
- Matrices de Pauli
- Biquaternions divididos
- Octoniones divididos
- Números hipercomplejos
- Cuaterniones duales
Notas
- ^ Karzel, Helmut & Günter Kist (1985) "Álgebras cinemáticas y sus geometrías", en Anillos y geometría , editores de R. Kaya, P. Plaumann y K. Strambach, págs. 437-509, especialmente 449,50, D. Reidel ISBN 90-277-2112-2
- ^ Kevin McCrimmon (2004) A Taste of Jordan Algebras , página 64, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 SEÑOR2014924
- ^ James Cockle (1849), sobre los sistemas de álgebra que implica más de un imaginario , Philosophical Magazine (serie 3) 35: 434,5, enlace desde Biodiversity Heritage Library
- ^ A. Macfarlane (1904) Bibliografía de cuaterniones y sistemas afines de las matemáticas , de las monografías históricas de matemáticas de la Universidad de Cornell , entradas para James Cockle, págs. 17-18
- ^ Alexander Macfarlane (1900) Aplicación del análisis espacial a coordenadas curvilíneas Archivado el 10 de agosto de 2014 en la Wayback Machine , Actas del Congreso Internacional de Matemáticos , París, página 306, de la Unión Matemática Internacional
- ^ Hans Beck (1910) Ein Seitenstück zur Mobius'schen Geometrie der Kreisverwandschaften , Transacciones de la American Mathematical Society 11
- ^ AA Albert (1942), "Formas cuadráticas que permiten la composición", Annals of Mathematics 43: 161 a 77
- ^ Valentine Bargmann (1947), "Representaciones unitarias irreductibles del Grupo de Lorentz" , Annals of Mathematics 48: 568–640
- ^ Rosenfeld, BA (1988) Una historia de la geometría no euclidiana , página 389, Springer-Verlag ISBN 0-387-96458-4
- ^ Isaak Yaglom (1968) Números complejos en geometría , página 24, Academic Press
Otras lecturas
- Brody, Dorje C. y Eva-Maria Graefe . "Sobre mecánica compleja y cocuaterniones". Revista de Física A: Matemáticas y Teóricas 44.7 (2011): 072001. doi : 10.1088 / 1751-8113 / 44/7/072001
- Ivanov, Stefan; Zamkovoy, Simeon (2005), "Variedades parahermitianas y paracuaterniónicas", Geometría diferencial y sus aplicaciones 23 , págs. 205-234, arXiv : math.DG / 0310415 , MR2158044 .
- Mohaupt, Thomas (2006), "Nuevos desarrollos en geometría especial", arXiv : hep-th / 0602171 .
- Özdemir, M. (2009) "Las raíces de un cuaternión dividido", Applied Mathematics Letters 22: 258–63. [1]
- Özdemir, M. & AA Ergin (2006) "Rotaciones con cuaterniones temporales en Minkowski 3-space", Journal of Geometry and Physics 56: 322–36. [2]
- Pogoruy, Anatoliy & Ramon M Rodrigues-Dagnino (2008) Algunas propiedades algebraicas y analíticas del álgebra de cocuaternión , Advances in Applied Clifford Algebras .