Funciones trigonométricas

El "coseno" vuelve a dirigir aquí. Para otros usos, consulte Coseno (desambiguación) .

Funciones de un ángulo

Trigonometría
Esquema Historia Uso Funciones  ( inversas ) Trigonometría generalizada
Referencia
Identidades Constantes exactas Mesas Circulo unitario
Leyes y teoremas
Senos Cosenos Tangentes Cotangentes Teorema de pitágoras
Cálculo
Sustitución trigonométrica Integrales  ( funciones inversas ) Derivados
v t mi

Base de la trigonometría: si dos triángulos rectángulos tienen ángulos agudos iguales , son similares , por lo que la longitud de sus lados es proporcional . Las constantes de proporcionalidad se escriben dentro de la imagen: sin θ , cos θ , tan θ , donde θ es la medida común de cinco ángulos agudos.

En matemáticas , las funciones trigonométricas (también llamadas funciones circulares , funciones angulares o funciones goniométricas ^{[1] [2]} ) son funciones reales que relacionan un ángulo de un triángulo rectángulo con razones de dos longitudes de lados. Son muy utilizados en todas las ciencias relacionadas con la geometría , como la navegación , la mecánica de sólidos , la mecánica celeste , la geodesia y muchas otras. Se encuentran entre las funciones periódicas más simples ., y como tales también se utilizan ampliamente para estudiar fenómenos periódicos a través del análisis de Fourier .

Las funciones trigonométricas más utilizadas en las matemáticas modernas son el seno , el coseno y la tangente . Sus recíprocos son respectivamente la cosecante , la secante y la cotangente , que se utilizan menos. Cada una de estas seis funciones trigonométricas tiene una función inversa correspondiente (llamada función trigonométrica inversa ) y un equivalente en las funciones hiperbólicas también. ^[3]

Las definiciones más antiguas de funciones trigonométricas, relacionadas con triángulos rectángulos, las definen solo para ángulos agudos . Para extender estas definiciones a funciones cuyo dominio es toda la línea real proyectada extendida , a menudo se usan definiciones geométricas que usan el círculo unitario estándar (es decir, un círculo con radio 1 unidad). Las definiciones modernas expresan funciones trigonométricas como series infinitas o como soluciones de ecuaciones diferenciales . Esto permite extender el dominio de las funciones seno y coseno a todo el plano complejo., y el dominio de las otras funciones trigonométricas al plano complejo (del cual se eliminan algunos puntos aislados).

Definiciones de triángulos rectángulos

Representación gráfica de las seis funciones trigonométricas, el círculo unitario y una línea para el ángulo θ = 0,7 radianes. Los puntos etiquetados como 1 , Sec (θ) , Csc (θ) representan la longitud del segmento de línea desde el origen hasta ese punto. Sin (θ) , Tan (θ) y 1 son las alturas de la línea que comienza desde el eje x , mientras que Cos (θ) , 1 y Cot (θ) son longitudes a lo largo del eje x que comienzan desde el origen.

En esta sección, la misma letra mayúscula denota un vértice de un triángulo y la medida del ángulo correspondiente; la misma letra minúscula denota un borde del triángulo y su longitud.

Dado un ángulo agudo A = θ de un triángulo rectángulo , la hipotenusa h es el lado que conecta los dos ángulos agudos. El lado b adyacente a θ es el lado del triángulo que conecta θ con el ángulo recto. Se dice que el tercer lado a es opuesto a θ .

Si se da el ángulo θ , entonces todos los lados del triángulo rectángulo están bien definidos hasta un factor de escala. Esto significa que la relación de dos longitudes de lados depende solo de θ . Por tanto, estas seis razones definen seis funciones de θ , que son las funciones trigonométricas. Más precisamente, las seis funciones trigonométricas son: ^{[4] [5]}

seno ${\displaystyle \sin \theta ={\frac {a}{h}}={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {hypotenuse} }}}$	cosecante ${\displaystyle \csc \theta ={\frac {h}{a}}={\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} }}}$
coseno ${\displaystyle \cos \theta ={\frac {b}{h}}={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {hypotenuse} }}}$	secante ${\displaystyle \sec \theta ={\frac {h}{b}}={\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {adjacent} }}}$
tangente ${\displaystyle \tan \theta ={\frac {a}{b}}={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {adjacent} }}}$	cotangente ${\displaystyle \cot \theta ={\frac {b}{a}}={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {opposite} }}}$

En un triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos agudos es un ángulo recto, es decir, 90 ° o radianes .${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

Resumen de relaciones entre funciones trigonométricas ^[6]

Función	Abreviatura	Descripción	Relación
			usando radianes	usando grados
seno	pecado	opuesto/hipotenusa	${\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\csc \theta }}}$	${\displaystyle \sin x=\cos \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\csc x}}}$
coseno	porque	adyacente/hipotenusa	${\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sec \theta }}\,}$	${\displaystyle \cos x=\sin \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\sec x}}\,}$
tangente	bronceado (o tg)	opuesto/adyacente	${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cot \theta }}}$	${\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}=\cot \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\cot x}}}$
cotangente	cot (o cotan o cotg o ctg o ctn)	adyacente/opuesto	${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\tan \theta }}}$	${\displaystyle \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}=\tan \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\tan x}}}$
secante	segundo	hipotenusa/adyacente	${\displaystyle \sec \theta =\csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle \sec x=\csc \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\cos x}}}$
cosecante	csc (o cosec)	hipotenusa/opuesto	${\displaystyle \csc \theta =\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sin \theta }}}$	${\displaystyle \csc x=\sec \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\sin x}}}$

Arriba: Función trigonométrica sin θ para ángulos seleccionados θ , π - θ , π + θ y 2 π - θ en los cuatro cuadrantes.
Abajo: Gráfico de la función seno en función del ángulo. Se identifican los ángulos del panel superior.

Radianes versus grados

En aplicaciones geométricas, el argumento de una función trigonométrica es generalmente la medida de un ángulo . Para este propósito, cualquier unidad angular es conveniente, y los ángulos se miden más comúnmente en unidades convencionales de grados en las que un ángulo recto es 90 ° y un giro completo es 360 ° (particularmente en matemáticas elementales ).

Sin embargo, en cálculo y análisis matemático , las funciones trigonométricas generalmente se consideran de manera más abstracta como funciones de números reales o complejos , en lugar de ángulos. De hecho, las funciones sen y cos se pueden definir para todos los números complejos en términos de la función exponencial mediante series de potencias ^[7] o como soluciones a ecuaciones diferenciales dados valores iniciales particulares ^[8] ( ver más abajo), sin referencia a ninguna noción geométrica. Las otras cuatro funciones trigonométricas (tan, cot, sec, csc) se pueden definir como cocientes y recíprocos de sin y cos, excepto donde aparece cero en el denominador. Se puede probar, para argumentos reales, que estas definiciones coinciden con definiciones geométricas elementales si el argumento se considera como un ángulo dado en radianes . ^[7] Además, estas definiciones dan como resultado expresiones simples para las derivadas e integrales indefinidas para las funciones trigonométricas. ^[9] Por lo tanto, en entornos más allá de la geometría elemental, los radianes se consideran la unidad matemáticamente natural para describir las medidas de los ángulos.

Cuando se emplean radianes (rad), el ángulo se da como la longitud del arco del círculo unitario subtendido por él: el ángulo que subtiende un arco de longitud 1 en el círculo unitario es 1 rad (≈ 57,3 °), y un el giro completo (360 °) es un ángulo de 2π (≈ 6.28) rad. Para el número real x , las notaciones sen x , cos x , etc. se refieren al valor de las funciones trigonométricas evaluadas en un ángulo de x rad. Si se pretenden unidades de grados, el signo de grado debe mostrarse explícitamente (por ejemplo, sin x ° , cos x ° , etc.). Usando esta notación estándar, el argumento xpara las funciones trigonométricas satisface la relación x = (180 x / π) °, de modo que, por ejemplo, sin π = sin 180 ° cuando tomamos x = π. De esta manera, el símbolo de grado puede considerarse como una constante matemática tal que 1 ° = π / 180 ≈ 0.0175.

Definiciones de círculo unitario

En esta ilustración, las seis funciones trigonométricas de un ángulo arbitrario θ se representan como coordenadas cartesianas de puntos relacionados con el círculo unitario . Las ordenadas de A , B y D son sen θ , tan θ y csc θ , respectivamente, mientras que las abscisas de A , C y E son cos θ , cot θ y sec θ , respectivamente.

Signos de funciones trigonométricas en cada cuadrante. El nemotécnico " todo s cience t eachers (son) c razy" listas de las funciones que son positivos de los cuadrantes I a IV. ^[10] Ésta es una variación del mnemónico " Todos los estudiantes toman cálculo ".

Las seis funciones trigonométricas se pueden definir como valores de coordenadas de puntos en el plano euclidiano que están relacionados con el círculo unitario , que es el círculo de radio uno centrado en el origen O de este sistema de coordenadas. Mientras que las definiciones de triángulos rectángulos permiten la definición de las funciones trigonométricas para ángulos entre 0 y radianes (90 °), las definiciones de círculos unitarios permiten extender el dominio de las funciones trigonométricas a todos los números reales positivos y negativos.${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

Sea el rayo obtenido al girar un ángulo θ la mitad positiva del eje x ( rotación en sentido antihorario para y rotación en sentido horario para ). Este rayo intersecta el círculo unidad en el punto El rayo extenderse a una línea si es necesario, se cruza con la línea de ecuación en y la línea de la ecuación en la línea tangente al círculo unidad en el punto A , es perpendicular a y se cruza con la Y - y x- ejes en puntos y El${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \theta >0,}$${\displaystyle \theta <0}$${\displaystyle \mathrm {A} =(x_{\mathrm {A} },y_{\mathrm {A} }).}$${\displaystyle {\mathcal {L}},}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle \mathrm {B} =(x_{\mathrm {B} },y_{\mathrm {B} }),}$${\displaystyle y=1}$${\displaystyle \mathrm {C} =(x_{\mathrm {C} },y_{\mathrm {C} }).}$${\displaystyle {\mathcal {L}},}$${\displaystyle \mathrm {D} =(0,y_{\mathrm {D} })}$${\displaystyle \mathrm {E} =(x_{\mathrm {E} },0).}$las coordenadas de estos puntos dan los valores de todas las funciones trigonométricas para cualquier valor real arbitrario de θ de la siguiente manera.

Las funciones trigonométricas cos y pecado se definen, respectivamente, como la x - y Y valores coordenada del punto A . Es decir,

${\displaystyle \cos \theta =x_{\mathrm {A} }\quad }$y ^[11]${\displaystyle \quad \sin \theta =y_{\mathrm {A} }.}$

En el rango , esta definición coincide con la definición de triángulo rectángulo, al tomar el triángulo rectángulo para tener la unidad de radio OA como hipotenusa . Y dado que la ecuación es válida para todos los puntos del círculo unitario, esta definición de coseno y seno también satisface la identidad pitagórica${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$${\displaystyle \mathrm {P} =(x,y)}$

${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1.}$

Las otras funciones trigonométricas se pueden encontrar a lo largo del círculo unitario como

${\displaystyle \tan \theta =y_{\mathrm {B} }\quad }$ y ${\displaystyle \quad \cot \theta =x_{\mathrm {C} },}$

${\displaystyle \csc \theta \ =y_{\mathrm {D} }\quad }$ y ${\displaystyle \quad \sec \theta =x_{\mathrm {E} }.}$

Al aplicar la identidad pitagórica y los métodos de prueba geométrica, se puede demostrar fácilmente que estas definiciones coinciden con las definiciones de tangente, cotangente, secante y cosecante en términos de seno y coseno, es decir

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }},\quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}.}$

Funciones trigonométricas: seno , coseno , tangente , cosecante (punteado) , secante (punteado) , cotangente (punteado) - animación

Dado que una rotación de un ángulo de no cambia la posición o el tamaño de una forma, los puntos A , B , C , D y E son iguales para dos ángulos cuya diferencia es un múltiplo entero de . Por tanto, las funciones trigonométricas son funciones periódicas con período . Es decir, las igualdades${\displaystyle \pm 2\pi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2k\pi \right)\quad }$ y ${\displaystyle \quad \cos \theta =\cos \left(\theta +2k\pi \right)}$

mantener para cualquier ángulo θ y cualquier número entero k . Lo mismo es cierto para las otras cuatro funciones trigonométricas. Al observar el signo y la monotonicidad de las funciones seno, coseno, cosecante y secante en los cuatro cuadrantes, se puede demostrar que 2 π es el valor más pequeño para el cual son periódicas (es decir, 2 π es el período fundamental de estas funciones ). Sin embargo, después de una rotación en ángulo , los puntos B y C ya regresan a su posición original, por lo que la función tangente y la función cotangente tienen un período fundamental de π . Es decir, las igualdades${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \tan \theta =\tan(\theta +k\pi )\quad }$ y ${\displaystyle \quad \cot \theta =\cot(\theta +k\pi )}$

mantener para cualquier ángulo θ y cualquier número entero k .

Valores algebraicos

El círculo unitario , con algunos puntos etiquetados con su coseno y seno (en este orden), y los ángulos correspondientes en radianes y grados.

Las expresiones algebraicas para los ángulos más importantes son las siguientes:

${\displaystyle \sin 0=\sin 0^{\circ }\quad ={\frac {\sqrt {0}}{2}}=0}$( ángulo recto )

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2}}=\sin 90^{\circ }={\frac {\sqrt {4}}{2}}=1}$( ángulo recto )

Escribir los numeradores como raíces cuadradas de números enteros consecutivos no negativos, con un denominador de 2, proporciona una manera fácil de recordar los valores. ^[12]

Tales expresiones simples generalmente no existen para otros ángulos que son múltiplos racionales de un ángulo recto. Para un ángulo que, medido en grados, es múltiplo de tres, el seno y el coseno pueden expresarse en términos de raíces cuadradas , consulte Constantes trigonométricas expresadas en radicales reales . Estos valores del seno y el coseno pueden entonces construirse con regla y compás .

Para un ángulo de un número entero de grados, el seno y el coseno se pueden expresar en términos de raíces cuadradas y raíz cúbica de un número complejo no real . La teoría de Galois permite demostrar que, si el ángulo no es múltiplo de 3 °, las raíces cúbicas no reales son inevitables.

Para un ángulo que, medido en grados, es un número racional , el seno y el coseno son números algebraicos , que pueden expresarse en términos de raíces n . Esto se debe al hecho de que los grupos de Galois de los polinomios ciclotómicos son cíclicos .

Para un ángulo que, medido en grados, no es un número racional, entonces o el ángulo o tanto el seno como el coseno son números trascendentales . Este es un corolario del teorema de Baker , probado en 1966.

Valores algebraicos simples

La siguiente tabla resume los valores algebraicos más simples de funciones trigonométricas. ^[13] El símbolo ∞ representa el punto en el infinito en la línea real proyectada extendida ; no tiene signo, porque, cuando aparece en la tabla, la función trigonométrica correspondiente tiende a + ∞ en un lado ya −∞ en el otro lado, cuando el argumento tiende al valor en la tabla.

Radián	La licenciatura	pecado	porque	broncearse	cuna	segundo	csc
0	0 °	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \infty }$
π / 12	15 °	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}$
π / 10	18 °	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle 1+{\sqrt {5}}}$
π / 8	22,5 °	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$	${\displaystyle {\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}$
π / 6	30 °	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle 2}$
π / 5	36 °	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5}}-1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}}$
π / 4	45 °	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
3π / 10	54 °	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5}}-1}$
π / 3	60 °	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$
3π / 8	67,5 °	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$	${\displaystyle {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}}$
2π / 5	72 °	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle 1+{\sqrt {5}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}}$
5π / 12	75 °	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}$
π / 2	90 °	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 1}$

En cálculo

Gráficas de seno, coseno y tangente

La función seno (azul) se aproxima mucho por su polinomio de Taylor de grado 7 (rosa) para un ciclo completo centrado en el origen.

Animación para la aproximación del coseno mediante polinomios de Taylor.

${\displaystyle \cos(x)}$ junto con los primeros polinomios de Taylor ${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}}$

La tendencia moderna en matemáticas es construir geometría a partir del cálculo en lugar de lo contrario. ^{[ cita requerida ]} Por lo tanto, excepto en un nivel muy elemental, las funciones trigonométricas se definen utilizando los métodos de cálculo.

Las funciones trigonométricas son diferenciables y analíticas en todos los puntos donde se definen; es decir, en todas partes para el seno y el coseno y, para la tangente, en todas partes excepto en π / 2 + k π para cada entero k .

Las funciones trigonométricas son funciones periódicas , y su período primitivo es 2 π para el seno y el coseno, y π para la tangente, que aumenta en cada intervalo abierto ( π / 2 + k π , π / 2 + ( k + 1 ) π ) . En cada punto final de estos intervalos, la función tangente tiene una asíntota vertical .

En cálculo, hay dos definiciones equivalentes de funciones trigonométricas, ya sea usando series de potencias o ecuaciones diferenciales . Estas definiciones son equivalentes, ya que a partir de una de ellas es fácil recuperar la otra como propiedad. Sin embargo, la definición a través de ecuaciones diferenciales es de alguna manera más natural, ya que, por ejemplo, la elección de los coeficientes de la serie de potencias puede parecer bastante arbitraria, y la identidad pitagórica es mucho más fácil de deducir a partir de las ecuaciones diferenciales.

Definición por ecuaciones diferenciales

El seno y el coseno son funciones diferenciables únicas tales que

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin x&=\cos x,\\{\frac {d}{dx}}\cos x&=-\sin x,\\\sin 0&=0,\\\cos 0&=1.\end{aligned}}}$

Al diferenciar estas ecuaciones, se obtiene que tanto el seno como el coseno son soluciones de la ecuación diferencial

${\displaystyle y''+y=0.}$

Aplicando la regla del cociente a la definición de la tangente como el cociente del seno por el coseno, se obtiene que la función tangente verifica

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x=1+\tan ^{2}x.}$

Expansión de la serie Power

Aplicando las ecuaciones diferenciales a series de potencias con coeficientes indeterminados, se pueden deducir relaciones de recurrencia para los coeficientes de la serie de Taylor de las funciones seno y coseno. Estas relaciones de recurrencia son fáciles de resolver y dan a la serie expansiones ^[14]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[8pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\[8pt]\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\[8pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}}$

El radio de convergencia de estas series es infinito. Por lo tanto, el seno y el coseno pueden extenderse a funciones completas (también llamadas "seno" y "coseno"), que son (por definición) funciones de valores complejos que están definidas y son holomórficas en todo el plano complejo .

Al definirse como fracciones de funciones completas, las otras funciones trigonométricas pueden extenderse a funciones meromorfas , es decir funciones que son holomorfas en todo el plano complejo, excepto algunos puntos aislados llamados polos . Aquí, los polos son los números de la forma de la tangente y la secante, o de la cotangente y la cosecante, donde k es un número entero arbitrario.${\textstyle (2k+1){\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle k\pi }$

Las relaciones de recurrencias también se pueden calcular para los coeficientes de la serie de Taylor de las otras funciones trigonométricas. Estas series tienen un radio de convergencia finito . Sus coeficientes tienen una interpretación combinatoria : enumeran permutaciones alternas de conjuntos finitos. ^[15]

Más precisamente, definiendo

U _n , el n º arriba / abajo número ,

B _n , el n- ésimo número de Bernoulli , y

E _n , es el n- ésimo número de Euler ,

uno tiene las siguientes expansiones de serie: ^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}\left(2^{2n}-1\right)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\csc x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}=x^{-1}+{\frac {1}{6}}x+{\frac {7}{360}}x^{3}+{\frac {31}{15120}}x^{5}+\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}\\&{}=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}=x^{-1}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

Expansión de fracción parcial

Hay una representación en serie como expansión de fracción parcial donde se resumen las funciones recíprocas recién traducidas , de modo que los polos de la función cotangente y las funciones recíprocas coinciden: ^[17]

${\displaystyle \pi \cot \pi x=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{x+n}}.}$

Esta identidad se puede probar con el truco de Herglotz . ^{[18] La} combinación del (- n ) ésimo con el n ésimo término conduce a series absolutamente convergentes :

${\displaystyle \pi \cot \pi x={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}-n^{2}}}.}$

De manera similar, se puede encontrar una expansión de fracción parcial para las funciones secante, cosecante y tangente:

${\displaystyle {\frac {\pi }{\sin \pi x}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x^{2}-n^{2}}},}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{\cos \pi x}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n+1)}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}},}$

${\displaystyle \pi \tan \pi x=2x\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}}.}$

Expansión infinita de productos

El siguiente producto infinito para el seno es de gran importancia en el análisis complejo:

${\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$

Para la prueba de esta expansión, vea Sine . De esto se puede deducir que

${\displaystyle \cos z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$

Relación con la función exponencial (fórmula de Euler)

${\displaystyle \cos(\theta )}$y son la parte real e imaginaria de respectivamente.${\displaystyle \sin(\theta )}$${\displaystyle e^{i\theta }}$

La fórmula de Euler relaciona el seno y el coseno con la función exponencial :

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$

Esta fórmula se considera comúnmente para valores reales de x , pero sigue siendo válida para todos los valores complejos.

Prueba : Sea y Uno tiene para j = 1, 2 . La regla del cociente implica entonces eso . Por lo tanto, es una función constante, que es igual a${\displaystyle f_{1}(x)=\cos x+i\sin x,}$${\displaystyle f_{2}(x)=e^{ix}.}$${\textstyle {\frac {d}{dx}}f_{j}(x)=if_{j}(x)}$${\textstyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {f_{1}(x)}{f_{2}(x)}}\right)=0}$${\textstyle {\frac {f_{1}(x)}{f_{2}(x)}}}$1 , ya que esto prueba la fórmula.${\displaystyle f_{1}(0)=f_{2}(0)=1.}$

Uno tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\[5pt]e^{-ix}&=\cos x-i\sin x.\end{aligned}}}$

Resolviendo este sistema lineal en seno y coseno, se pueden expresar en términos de la función exponencial:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\[5pt]\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.\end{aligned}}}$

Cuando x es real, esto puede reescribirse como

${\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right),\qquad \sin x=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right).}$

La mayoría de las identidades trigonométricas se pueden probar expresando funciones trigonométricas en términos de la función exponencial compleja usando las fórmulas anteriores y luego usando la identidad para simplificar el resultado.${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}}$

Definiciones usando ecuaciones funcionales

También se pueden definir las funciones trigonométricas utilizando varias ecuaciones funcionales .

Por ejemplo, ^[19] el seno y el coseno forman el par único de funciones continuas que satisfacen la fórmula de la diferencia

${\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\,}$

y la condición agregada

${\displaystyle 0<x\cos x<\sin x<x\quad {\text{ for }}\quad 0<x<1.}$

En el plano complejo

El seno y el coseno de un número complejo se pueden expresar en términos de senos, cosenos y funciones hiperbólicas reales de la siguiente manera:${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\\[5pt]\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\end{aligned}}}$

Aprovechando la coloración del dominio , es posible graficar las funciones trigonométricas como funciones de valores complejos. En el gráfico se pueden ver varias características exclusivas de las funciones complejas; por ejemplo, las funciones seno y coseno pueden verse ilimitadas a medida que la parte imaginaria de se vuelve más grande (ya que el color blanco representa el infinito), y el hecho de que las funciones contienen ceros o polos simples es evidente por el hecho de que los ciclos de tono alrededor de cada cero o polo exactamente una vez. La comparación de estos gráficos con los de las funciones hiperbólicas correspondientes resalta las relaciones entre los dos.${\displaystyle z}$

Funciones trigonométricas en el plano complejo

${\displaystyle \sin z\,}$	${\displaystyle \cos z\,}$	${\displaystyle \tan z\,}$	${\displaystyle \cot z\,}$	${\displaystyle \sec z\,}$	${\displaystyle \csc z\,}$

Identidades básicas

Muchas identidades se interrelacionan con las funciones trigonométricas. Esta sección contiene los más básicos; para obtener más identidades, consulte Lista de identidades trigonométricas . Estas identidades pueden probarse geométricamente a partir de las definiciones de círculo unitario o las definiciones de triángulo rectángulo (aunque, para las últimas definiciones, se debe tener cuidado con los ángulos que no están en el intervalo [0, π / 2] , ver Demostraciones de identidades trigonométricas ). Para pruebas no geométricas que utilizan solo herramientas de cálculo , se pueden usar directamente las ecuaciones diferenciales, de una manera similar a la de la prueba anterior.de la identidad de Euler. También se puede usar la identidad de Euler para expresar todas las funciones trigonométricas en términos de exponenciales complejos y usar propiedades de la función exponencial.

Paridad

El coseno y la secante son funciones pares ; las otras funciones trigonométricas son funciones impares . Es decir:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-x)&=-\sin x\\\cos(-x)&=\cos x\\\tan(-x)&=-\tan x\\\cot(-x)&=-\cot x\\\csc(-x)&=-\csc x\\\sec(-x)&=\sec x.\end{aligned}}}$

Periodos

Todas las funciones trigonométricas son funciones periódicas del período 2 π . Este es el período más pequeño, a excepción de la tangente y la cotangente, que tienen π como período más pequeño. Esto significa que, por cada entero k , uno tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x+2k\pi )&=\sin x\\\cos(x+2k\pi )&=\cos x\\\tan(x+k\pi )&=\tan x\\\cot(x+k\pi )&=\cot x\\\csc(x+2k\pi )&=\csc x\\\sec(x+2k\pi )&=\sec x.\end{aligned}}}$

Identidad pitagórica

La identidad pitagórica , es la expresión del teorema de Pitágoras en términos de funciones trigonométricas. Es

${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1.}$

Fórmulas de suma y diferencia

Las fórmulas de suma y diferencia permiten expandir el seno, el coseno y la tangente de una suma o una diferencia de dos ángulos en términos de senos y cosenos y tangentes de los propios ángulos. Estos pueden derivarse geométricamente, utilizando argumentos que datan de Ptolomeo . También se pueden producir algebraicamente usando la fórmula de Euler .

Suma

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x+y\right)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\\\cos \left(x+y\right)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\\\tan(x+y)&={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$

Diferencia

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x-y\right)&=\sin x\cos y-\cos x\sin y,\\\cos \left(x-y\right)&=\cos x\cos y+\sin x\sin y,\\\tan(x-y)&={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$

Cuando los dos ángulos son iguales, las fórmulas de suma se reducen a ecuaciones más simples conocidas como fórmulas de doble ángulo .

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2x&=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}},\\\cos 2x&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}},\\\tan 2x&={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}.\end{aligned}}}$

Estas identidades se pueden utilizar para derivar las identidades de producto a suma .

Al establecer y esto permite expresar todas las funciones trigonométricas de como una fracción racional de :${\displaystyle \theta =2x}$${\displaystyle t=\tan x,}$${\displaystyle \theta }$${\textstyle t=\tan {\frac {\theta }{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\\cos \theta &={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\\tan \theta &={\frac {2t}{1-t^{2}}}.\end{aligned}}}$

Juntos con

${\displaystyle d\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt,}$

esta es la sustitución tangente de medio ángulo , que permite reducir el cálculo de integrales y antiderivadas de funciones trigonométricas al de fracciones racionales.

Derivadas y antiderivadas

Las derivadas de las funciones trigonométricas resultan de las del seno y el coseno aplicando la regla del cociente . Los valores dados para las antiderivadas en la siguiente tabla se pueden verificar diferenciándolos. El número  C es una constante de integración .

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline f(x)&f'(x)&\int f(x)\,dx\\\hline \sin x&\cos x&-\cos x+C\\\cos x&-\sin x&\sin x+C\\\tan x&\sec ^{2}x=1+\tan ^{2}x&-\ln |\cos x|+C\\\csc x&-\csc x\cot x&-\ln |\csc x+\cot x|+C\\\sec x&\sec x\tan x&\ln |\sec x+\tan x|+C\\\cot x&-\csc ^{2}x=-1-\cot ^{2}x&\ln |\sin x|+C\\\hline \end{array}}}$

Alternativamente, las derivadas de las 'co-funciones' se pueden obtener usando identidades trigonométricas y la regla de la cadena:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\cos x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sin(\pi /2-x)=-\cos(\pi /2-x)=-\sin x\,,\\{\frac {d\csc x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sec(\pi /2-x)=-\sec(\pi /2-x)\tan(\pi /2-x)=-\csc x\cot x\,,\\{\frac {d\cot x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\tan(\pi /2-x)=-\sec ^{2}(\pi /2-x)=-\csc ^{2}x\,.\end{aligned}}}$

Funciones inversas

Artículo principal: Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas son periódicas y, por lo tanto, no inyectivas , por lo que estrictamente hablando, no tienen una función inversa . Sin embargo, en cada intervalo en el que una función trigonométrica es monótona , se puede definir una función inversa, y esto define las funciones trigonométricas inversas como funciones multivaluadas . Para definir una verdadera función inversa, uno debe restringir el dominio a un intervalo donde la función es monótona y, por lo tanto, es biyectiva desde este intervalo a su imagen por la función. La elección común para este intervalo, llamado conjunto de valores principales, se da en la siguiente tabla. Como es habitual, las funciones trigonométricas inversas se indican con el prefijo "arco" antes del nombre o la abreviatura de la función.

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline {\text{Function}}&{\text{Definition}}&{\text{Domain}}&{\text{Set of principal values}}\\\hline y=\arcsin x&\sin y=x&-1\leq x\leq 1&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}\\y=\arccos x&\cos y=x&-1\leq x\leq 1&0\leq y\leq \pi \\y=\arctan x&\tan y=x&-\infty <x<\infty &-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}\\y=\operatorname {arccot} x&\cot y=x&-\infty <x<\infty &0<y<\pi \\y=\operatorname {arcsec} x&\sec y=x&x<-1{\text{ or }}x>1&0\leq y\leq \pi ,\;y\neq {\frac {\pi }{2}}\\y=\operatorname {arccsc} x&\csc y=x&x<-1{\text{ or }}x>1&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},\;y\neq 0\\\hline \end{array}}}$

Las notaciones sen ^−1, cos ^−1, etc. se usan a menudo para arcsin y arccos, etc. Cuando se usa esta notación, las funciones inversas se pueden confundir con las inversas multiplicativas. La notación con el prefijo "arc" evita tal confusión, aunque "arcsec" para arcsecant se puede confundir con " arcsecond ".

Al igual que el seno y el coseno, las funciones trigonométricas inversas también se pueden expresar en términos de series infinitas. También se pueden expresar en términos de logaritmos complejos . Consulte Funciones trigonométricas inversas para obtener más detalles.

Aplicaciones

Artículo principal: Usos de la trigonometría

Ángulos y lados de un triángulo

En estas secciones , A , B , C denotan los tres ángulos (interiores) de un triángulo, y a , b , c denotan las longitudes de los respectivos bordes opuestos. Están relacionados por varias fórmulas, que son nombradas por las funciones trigonométricas que involucran.

Ley de los senos

La ley de los senos estados que para un triángulo arbitrario con lados un , b , y c y los ángulos opuestos a los lados A , B y C :

${\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}={\frac {2\Delta }{abc}},}$

donde Δ es el área del triángulo o, de manera equivalente,

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,}$

donde R es el circunradio del triángulo .

Se puede probar dividiendo el triángulo en dos rectángulos y usando la definición anterior de seno. La ley de los senos es útil para calcular las longitudes de los lados desconocidos en un triángulo si se conocen dos ángulos y un lado. Esta es una situación común que ocurre en la triangulación , una técnica para determinar distancias desconocidas midiendo dos ángulos y una distancia cerrada accesible.

Ley de los cosenos

La ley de los cosenos (también conocida como fórmula del coseno o regla del coseno) es una extensión del teorema de Pitágoras :

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,\,}$

o equivalente,

${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}$

En esta fórmula, el ángulo en C es opuesto al lado  c . Este teorema se puede demostrar dividiendo el triángulo en dos rectos y usando el teorema de Pitágoras .

La ley de los cosenos se puede utilizar para determinar un lado de un triángulo si se conocen dos lados y el ángulo entre ellos. También se puede utilizar para encontrar los cosenos de un ángulo (y, en consecuencia, los ángulos en sí) si se conocen las longitudes de todos los lados.

Ley de las tangentes

Artículo principal: Ley de las tangentes

Todos los siguientes forman la ley de las tangentes ^[20]

${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {A-B}{2}}}{\tan {\frac {A+B}{2}}}}={\frac {a-b}{a+b}}\,;\qquad {\frac {\tan {\frac {A-C}{2}}}{\tan {\frac {A+C}{2}}}}={\frac {a-c}{a+c}}\,;\qquad {\frac {\tan {\frac {B-C}{2}}}{\tan {\frac {B+C}{2}}}}={\frac {b-c}{b+c}}.}$

La explicación de las fórmulas en palabras sería engorrosa, pero los patrones de sumas y diferencias, para las longitudes y los ángulos opuestos correspondientes, son evidentes en el teorema.

Ley de los cotangentes

Artículo principal: Ley de los cotangentes.

Si

${\displaystyle \zeta ={\sqrt {{\frac {1}{s}}(s-a)(s-b)(s-c)}}~}$ (el radio del círculo inscrito para el triángulo)

y

${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}~}$ (el semiperímetro del triángulo),

entonces todos los siguientes forman la ley de los cotangentes ^[20]

${\displaystyle \cot {\frac {A}{2}}={\frac {s-a}{\zeta }}~;\qquad \cot {\frac {B}{2}}={\frac {s-b}{\zeta }}~;\qquad \cot {\frac {C}{2}}={\frac {s-c}{\zeta }}~.}$

Resulta que

${\displaystyle {\frac {\cot {\dfrac {A}{2}}}{s-a}}={\frac {\cot {\dfrac {B}{2}}}{s-b}}={\frac {\cot {\dfrac {C}{2}}}{s-c}}={\frac {1}{\zeta }}~.}$

En palabras, el teorema es: la cotangente de un medio ángulo es igual a la razón del semiperímetro menos el lado opuesto a dicho ángulo, al inradio del triángulo.

Una curva de Lissajous , una figura formada con una función basada en trigonometría.

Funciones periódicas

Una animación de la síntesis aditiva de una onda cuadrada con un número creciente de armónicos.

Las funciones de base sinusoidal (abajo) pueden formar una onda de diente de sierra (arriba) cuando se agregan. Todas las funciones básicas tienen nodos en los nodos del diente de sierra, y todas menos las fundamentales ( k = 1 ) tienen nodos adicionales. La oscilación que se observa alrededor del diente de sierra cuando k es grande se llama fenómeno de Gibbs.

Las funciones trigonométricas también son importantes en física. Las funciones seno y coseno, por ejemplo, se utilizan para describir el movimiento armónico simple , que modela muchos fenómenos naturales, como el movimiento de una masa unida a un resorte y, para ángulos pequeños, el movimiento pendular de una masa que cuelga de un resorte. cuerda. Las funciones seno y coseno son proyecciones unidimensionales de movimiento circular uniforme .

Las funciones trigonométricas también resultan útiles en el estudio de funciones periódicas generales . Los patrones de onda característicos de las funciones periódicas son útiles para modelar fenómenos recurrentes como ondas sonoras o luminosas . ^[21]

En condiciones bastante generales, una función periódica f ( x ) se puede expresar como una suma de ondas sinusoidales u ondas coseno en una serie de Fourier . ^[22] Denotando las funciones de base seno o coseno por φ _k , la expansión de la función periódica f ( t ) toma la forma:

${\displaystyle f(t)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\varphi _{k}(t).}$

Por ejemplo, la onda cuadrada se puede escribir como la serie de Fourier

${\displaystyle f_{\text{square}}(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\sin {\big (}(2k-1)t{\big )} \over 2k-1}.}$

En la animación de una onda cuadrada en la parte superior derecha se puede ver que solo unos pocos términos ya producen una aproximación bastante buena. A continuación se muestra la superposición de varios términos en la expansión de una onda de diente de sierra .

Historia

Artículo principal: Historia de las funciones trigonométricas.

Si bien el primer estudio de la trigonometría se remonta a la antigüedad, las funciones trigonométricas que se utilizan hoy en día se desarrollaron en el período medieval. La función de la cuerda fue descubierta por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.) y Ptolomeo del Egipto romano (90-165 d. C.). Las funciones de seno y verseno (1 - coseno) se remontan a las funciones jyā y koti-jyā utilizadas en la astronomía india del período Gupta ( Aryabhatiya , Surya Siddhanta ), mediante traducción del sánscrito al árabe y luego del árabe al latín. ^[23] (VerTabla de seno de Aryabhata .)

Las seis funciones trigonométricas en uso actual se conocían en las matemáticas islámicas en el siglo IX, al igual que la ley de los senos , utilizada para resolver triángulos . ^[24] Con la excepción del seno (que fue adoptado de las matemáticas indias), las otras cinco funciones trigonométricas modernas fueron descubiertas por matemáticos persas y árabes, incluyendo el coseno, la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante. ^[24] Al-Khwārizmī (c. 780–850) produjo tablas de senos, cosenos y tangentes. Hacia 830, Habash al-Hasib al-Marwazi descubrió la cotangente y produjo tablas de tangentes y cotangentes. ^{[25] [26]} Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī(853–929) descubrió las funciones recíprocas de secante y cosecante, y produjo la primera tabla de cosecantes para cada grado de 1 ° a 90 °. ^[26] Las funciones trigonométricas fueron posteriormente estudiadas por matemáticos como Omar Khayyám , Bhāskara II , Nasir al-Din al-Tusi , Jamshīd al-Kāshī (siglo XIV), Ulugh Beg (siglo XIV), Regiomontanus (1464), Rheticus y Valentinus Otho, estudiante de Rheticus .

Madhava de Sangamagrama (c. 1400) dio los primeros pasos en el análisis de funciones trigonométricas en términos de series infinitas . ^[27] (Ver la serie Madhava y la tabla de senos de Madhava ).

Los términos tangente y secante fueron introducidos por primera vez por el matemático danés Thomas Fincke en su libro Geometria rotundi (1583). ^[28]

El matemático francés del siglo XVII Albert Girard hizo el primer uso publicado de las abreviaturas sin , cos y tan en su libro Trigonométrie . ^[29]

En un artículo publicado en 1682, Leibniz demostró que sen x no es una función algebraica de x . ^[30] Aunque se introdujeron como proporciones de lados de un triángulo rectángulo y, por lo tanto, parecían ser funciones racionales , el resultado de Leibnitz estableció que en realidad son funciones trascendentales de su argumento. La tarea de asimilar funciones circulares en expresiones algebraicas fue realizada por Euler en su Introducción al análisis del infinito (1748). Su método fue mostrar que las funciones seno y coseno son series alternasformado a partir de los términos pares e impares, respectivamente, de la serie exponencial . Presentó " la fórmula de Euler ", así como abreviaturas casi moderna ( pecado. , Cos. , Tang. , Cuna. , Seg. , Y cosec. ). ^[23]

Algunas funciones eran comunes históricamente, pero ahora se utilizan raramente, como el acorde , el versine (que apareció en las tablas más antiguas ^[23] ), el coverine , el haversine , ^[31] el exsecant y el excosecant . La lista de identidades trigonométricas muestra más relaciones entre estas funciones.

• crd ( θ ) = 2 pecado (θ/2)
• versin ( θ ) = 1 - cos ( θ ) = 2 sin ² (θ/2)
• cubreen ( θ ) = 1 - sin ( θ ) = versin (π/2- θ )
• haversin ( θ ) =1/2versin ( θ ) = sin ² (θ/2)
• exsec ( θ ) = seg ( θ ) - 1
• excsc ( θ ) = exsec (π/2- θ ) = csc ( θ ) - 1

Etimología

La palabra sine deriva ^[32] del latín sinus , que significa "doblar; bahía", y más específicamente "el pliegue colgante de la parte superior de una toga ", "el pecho de una prenda", que fue elegida como la traducción de lo que fue interpretado como la palabra árabe jaib , que significa "bolsillo" o "pliegue" en las traducciones del siglo XII de obras de Al-Battani y al-Khwārizmī al latín medieval . ^[33] La elección se basó en una mala interpretación de la forma escrita árabe jyb ( جيب ),que a su vez se originó como una transliteración del sánscritojīvā , que junto con su sinónimo jyā (el término sánscrito estándar para el seno) se traduce como "cuerda de arco", siendo a su vez adoptado del griego antiguo χορδή "cuerda". ^[34]

La palabra tangente proviene del latín tangens que significa "tocar", ya que la línea toca el círculo de la unidad de radio, mientras que secante proviene del latín secans - "cortar" - ya que la línea corta el círculo. ^[35]

El prefijo " co- " (en "coseno", "cotangente", "cosecante") se encuentra en el Canon triangulorum (1620) de Edmund Gunter , que define el cosino como una abreviatura del seno complementario (seno del ángulo complementario ) y procede a definir los cotangenos de manera similar. ^{[36] [37]}

Ver también

• Todos los estudiantes toman cálculo : un mnemónico para recordar los signos de funciones trigonométricas en un cuadrante particular de un plano cartesiano.
• Fórmula de aproximación del seno de Bhaskara I
• Diferenciación de funciones trigonométricas.
• Trigonometría generalizada
• Generando tablas trigonométricas
• Función hiperbólica
• Lista de integrales de funciones trigonométricas
• Lista de funciones periódicas
• Lista de identidades trigonométricas
• Seno polar : una generalización de los ángulos de los vértices
• Pruebas de identidades trigonométricas
• Versine : para varias funciones trigonométricas menos utilizadas

Notas

1. Klein, Christian Felix (1924) [1902]. Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus: Arithmetik, Álgebra, Análisis (en alemán). 1 (3ª ed.). Berlín: J. Springer .
2. Klein, Christian Felix (2004) [1932]. Matemática elemental desde un punto de vista avanzado: aritmética, álgebra, análisis . Traducido por Hedrick, ER; Noble, CA (Traducción de la 3ª edición alemana). Publicaciones de Dover, Inc. / The Macmillan Company . ISBN 978-0-48643480-3. Archivado desde el original el 15 de febrero de 2018 . Consultado el 13 de agosto de 2017 .
3. "Lista completa de símbolos de álgebra" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-25 . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
4. Protter y Morrey (1970 , págs. APP-2, APP-3)
5. "Seno, coseno, tangente" . www.mathsisfun.com . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
6. Protter y Morrey (1970 , p. APP-7)
7. Rudin, Walter, 1921-2010. Principios del análisis matemático (Tercera ed.). Nueva York. ISBN 0-07-054235-X. OCLC  1502474 .
8. Diamante, Harvey (2014). "Definición de funciones exponenciales y trigonométricas mediante ecuaciones diferenciales" . Revista de Matemáticas . 87 (1): 37–42. doi : 10.4169 / math.mag.87.1.37 . ISSN 0025-570X . S2CID 126217060 .  
9. Spivak, Michael (1967). "15". Cálculo . Addison-Wesley. págs. 256-257. LCCN 67-20770 . 
10. Heng, Cheng y Talbert, "Additional Mathematics" Archivado el 20 de marzo de 2015 en la Wayback Machine , página 228
11. Bityutskov, VI (7 de febrero de 2011). "Funciones trigonométricas" . Enciclopedia de Matemáticas . Archivado desde el original el 29 de diciembre de 2017 . Consultado el 29 de diciembre de 2017 .
12. Larson, Ron (2013). Trigonometría (9ª ed.). Aprendizaje Cengage. pag. 153. ISBN 978-1-285-60718-4. Archivado desde el original el 15 de febrero de 2018. Extracto de la página 153 Archivado el 15 de febrero de 2018 en la Wayback Machine.
13. Abramowitz, Milton e Irene A. Stegun, p. 74
14. Véase Ahlfors, págs. 43–44.
15. Stanley, Combinatoria enumerativa, Vol I., p. 149
16. Abramowitz; Weisstein.
17. Aigner, Martin ; Ziegler, Günter M. (2000). Pruebas de EL LIBRO (Segunda ed.). Springer-Verlag . pag. 149. ISBN 978-3-642-00855-9. Archivado desde el original el 8 de marzo de 2014.
18. Remmert, Reinhold (1991). Teoría de funciones complejas . Saltador. pag. 327. ISBN 978-0-387-97195-7. Archivado desde el original el 20 de marzo de 2015. Extracto de la página 327 Archivado el 20 de marzo de 2015 en la Wayback Machine.
19. Kannappan, Palaniappan (2009). Ecuaciones funcionales y desigualdades con aplicaciones . Saltador. ISBN 978-0387894911.
20. La Enciclopedia Universal de Matemáticas, Pan Reference Books, 1976, págs. 529–530. Versión inglesa George Allen y Unwin, 1964. Traducido de la versión alemana Meyers Rechenduden, 1960.
21. Farlow, Stanley J. (1993). Ecuaciones diferenciales parciales para científicos e ingenieros (Reimpresión de Wiley 1982 ed.). Publicaciones de Courier Dover. pag. 82. ISBN 978-0-486-67620-3. Archivado desde el original el 20 de marzo de 2015.
22. Véase, por ejemplo, Folland, Gerald B. (2009). "Convergencia e integridad" . Análisis de Fourier y sus aplicaciones (Reimpresión de Wadsworth y Brooks / Cole 1992 ed.). Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 77 y siguientes. ISBN 978-0-8218-4790-9. Archivado desde el original el 19 de marzo de 2015.
23. Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (Segunda ed.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7 , pág. 210. 
24. Gingerich, Owen (1986). "Astronomía islámica" . Scientific American . Vol. 254. p. 74. Archivado desde el original el 19 de octubre de 2013 . Consultado el 13 de julio de 2010 .
25. Jacques Sesiano, "Matemáticas islámicas", p. 157, en Selin, Helaine ; D'Ambrosio, Ubiratan , eds. (2000). Matemáticas a través de culturas: la historia de las matemáticas no occidentales . Springer Science + Business Media . ISBN 978-1-4020-0260-1.
26. "trigonometría" . Enciclopedia Británica.
27. O'Connor, JJ; Robertson, EF "Madhava de Sangamagrama" . Escuela de Matemáticas y Estadística de la Universidad de St Andrews, Escocia. Archivado desde el original el 14 de mayo de 2006 . Consultado el 8 de septiembre de 2007 .
28. "Biografía de Fincke" . Archivado desde el original el 7 de enero de 2017 . Consultado el 15 de marzo de 2017 .
29. O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Funciones trigonométricas" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews.
30. Bourbaki, Nicolás (1994). Elementos de la Historia de las Matemáticas . Saltador.
31. Nielsen (1966 , págs. Xxiii – xxiv)
32. La forma inglesa se registró por primera vez en 1593 en el Thomas Fale 's Horologiographia, el arte de la marcación .
33. Varias fuentes atribuyen el primer uso de los senos nasales a
    • La traducción 1116 de Platón Tiburtinus de la Astronomía de Al-Battani
    • Traducción de Gerardo de Cremona del Álgebra de al-Khwārizmī
    • Robert de Chester , traducción de 1145 de las tablas de al-Khwārizmī
    Véase Merlet, A Note on the History of the Trigonomometric Functions in Ceccarelli (ed.), Simposio Internacional sobre Historia de Máquinas y Mecanismos , Springer, 2004
    Véase Maor (1998), capítulo 3, para una etimología anterior que acredita a Gerard.
    Véase Katx, Victor (julio de 2008). Una historia de las matemáticas (3ª ed.). Boston: Pearson . pag. 210 (barra lateral). ISBN 978-0321387004.
34. Véase Plofker, Matemáticas en India , Princeton University Press, 2009, p. 257
    Véase "Universidad de Clark" . Archivado desde el original el 15 de junio de 2008.
    Ver Maor (1998), capítulo 3, sobre la etimología.
35. Diccionario de inglés de Oxford
36. Gunter, Edmund (1620). Canon triangulorum .
37. Roegel, Denis, ed. (6 de diciembre de 2010). "Una reconstrucción del Canon triangulorum de Gunter (1620)" (Informe de investigación). HAL. inria-00543938. Archivado desde el original el 28 de julio de 2017 . Consultado el 28 de julio de 2017 .

Referencias

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Señor  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Lars Ahlfors , Análisis complejo: una introducción a la teoría de funciones analíticas de una variable compleja , segunda edición, McGraw-Hill Book Company , Nueva York, 1966.
• Boyer, Carl B. , A History of Mathematics , John Wiley & Sons, Inc., 2da edición. (1991). ISBN 0-471-54397-7 . 
• Gal, Shmuel y Bachelis, Boris. Una biblioteca matemática elemental precisa para el estándar de coma flotante IEEE, ACM Transactions on Mathematical Software (1991).
• Joseph, George G., The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics , 2da ed. Penguin Books , Londres. (2000). ISBN 0-691-00659-8 . 
• Kantabutra, Vitit, "Sobre hardware para calcular funciones exponenciales y trigonométricas", IEEE Trans. Computers 45 (3), 328–339 (1996).
• Maor, Eli, Delicias trigonométricas , Universidad de Princeton. Prensa. (1998). Edición de reimpresión (2002): ISBN 0-691-09541-8 . 
• Needham, Tristan, "Prefacio" "a Visual Complex Analysis . Oxford University Press, (1999). ISBN 0-19-853446-9 . 
• Nielsen, Kaj L. (1966), Tablas logarítmicas y trigonométricas a cinco lugares (2a ed.), Nueva York: Barnes & Noble , LCCN  61-9103
• O'Connor, JJ y EF Robertson, "Funciones trigonométricas" , archivo MacTutor History of Mathematics . (1996).
• O'Connor, JJ y EF Robertson, "Madhava of Sangamagramma" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas . (2000).
• Pearce, Ian G., "Madhava of Sangamagramma" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas . (2002).
• Protter, Murray H .; Morrey, Charles B., Jr. (1970), Cálculo universitario con geometría analítica (2a ed.), Lectura: Addison-Wesley , LCCN  76087042
• Weisstein, Eric W., "Tangent" de MathWorld , consultado el 21 de enero de 2006.

Enlaces externos

Wikilibros tiene un libro sobre el tema de: Trigonometría

• "Funciones trigonométricas" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Módulo Visionlearning sobre Wave Mathematics
• GonioLab Visualización del círculo unitario, funciones trigonométricas e hiperbólicas
• q-Sine Artículo sobre el q-análogo de sin en MathWorld
• q-Cosine Artículo sobre el q-análogo de cos en MathWorld