Función de ventana

En procesamiento de señales y estadísticas , una función de ventana (también conocida como función de apodización o función de disminución [1] ) es una función matemática que tiene valor cero fuera de algún intervalo elegido, normalmente simétrico alrededor de la mitad del intervalo, generalmente cerca de un máximo en el medio y generalmente disminuyendo desde el medio. Matemáticamente, cuando otra función o forma de onda/secuencia de datos se "multiplica" por una función de ventana, el producto también tiene valor cero fuera del intervalo: todo lo que queda es la parte donde se superponen, la "vista a través de la ventana". De manera equivalente, y en la práctica real, el segmento de datos dentro de la ventana se aísla primero y luego solo esos datos se multiplican por los valores de la función de ventana. Por lo tanto, la reducción , no la segmentación, es el objetivo principal de las funciones de ventana.

Las razones para examinar segmentos de una función más larga incluyen la detección de eventos transitorios y el promedio de tiempo de los espectros de frecuencia. La duración de los segmentos está determinada en cada aplicación por requisitos como resolución de tiempo y frecuencia. Pero ese método también cambia el contenido de frecuencia de la señal por un efecto llamado fuga espectral . Las funciones de ventana nos permiten distribuir la fuga espectralmente de diferentes maneras, según las necesidades de la aplicación en particular. Hay muchas opciones detalladas en este artículo, pero muchas de las diferencias son tan sutiles que resultan insignificantes en la práctica.

En aplicaciones típicas, las funciones de ventana utilizadas son curvas "en forma de campana" suaves y no negativas. [2] También se pueden usar funciones de rectángulo, triángulo y otras. Una definición más general de las funciones de ventana no requiere que sean idénticamente cero fuera de un intervalo, siempre que el producto de la ventana multiplicado por su argumento sea integrable al cuadrado y, más específicamente, que la función vaya lo suficientemente rápido hacia cero. [3]

Las funciones de ventana se utilizan en el análisis /modificación/ resíntesis espectral , [4] el diseño de filtros de respuesta de impulso finitos , así como la formación de haces y el diseño de antenas .

La transformada de Fourier de la función cos( ωt ) es cero, excepto en la frecuencia ± ω . Sin embargo, muchas otras funciones y formas de onda no tienen transformadas de forma cerrada convenientes. Alternativamente, uno podría estar interesado en su contenido espectral solo durante un cierto período de tiempo.

En cualquier caso, la transformada de Fourier (o una transformada similar) se puede aplicar en uno o más intervalos finitos de la forma de onda. En general, la transformada se aplica al producto de la forma de onda y una función de ventana. Cualquier ventana (incluida la rectangular) afecta la estimación espectral calculada por este método.

Una función de ventana popular, la ventana de Hann . Las funciones de ventana más populares son curvas similares en forma de campana.
Figura 2: la ventana de una sinusoide provoca una fuga espectral. La misma cantidad de fuga ocurre ya sea que haya un número entero (azul) o no entero (rojo) de ciclos dentro de la ventana (filas 1 y 2). Cuando se muestrea y aplica una ventana a la sinusoide, su transformada de Fourier de tiempo discreto también exhibe el mismo patrón de fuga (filas 3 y 4). Pero cuando la DTFT se muestrea escasamente, en un cierto intervalo, es posible (dependiendo de su punto de vista): (1) evitar la fuga, o (2) crear la ilusión de que no hay fuga. Para el caso de la DTFT azul, esas muestras son las salidas de la transformada discreta de Fourier (DFT). La DTFT roja tiene el mismo intervalo de cruces por cero, pero las muestras de DFT se encuentran entre ellas y se revela la fuga.
Figura 3: Esta figura compara las pérdidas de procesamiento de tres funciones de ventana para entradas sinusoidales, con pérdida de vieira mínima y máxima.
Figura 4: dos formas diferentes de generar una secuencia de ventana gaussiana de 8 puntos ( σ  = 0,4) para aplicaciones de análisis espectral. MATLAB los llama "simétricos" y "periódicos". Este último también se llama históricamente DFT-even .
Figura 5: Características de fuga espectral de las funciones de la Figura 4
ventana rectangular
Ventana triangular (con L  =  N  + 1)
Ventana Parzen
ventana de gallego
ventana de seno
ventana de hann
ventana de Hamming, un 0  = 0,53836 y un 1  = 0,46164. La ventana original de Hamming tendría un 0  = 0,54 y un 1  = 0,46.
Ventana Blackman; α  = 0,16
Ventana Nuttall, primera derivada continua
Ventana Blackman-Nuttall
Ventana Blackman-Harris
ventana plana
Ventana gaussiana, σ  = 0,4
Ventana gaussiana confinada, σ t  = 0,1
Ventana gaussiana confinada aproximada, σ t  = 0,1
Ventana Tukey, α  = 0.5
Ventana de cono de Planck, ε  = 0.1
Ventana DPSS, α  = 2
Ventana DPSS, α  = 3
Ventana Kaiser, α  = 2
Ventana Kaiser, α  = 3
Ventana Dolph-Chebyshev, α  = 5
El parámetro µ de la ventana ultraesférica determina si las amplitudes de los lóbulos laterales de la transformada de Fourier disminuyen, se nivelan o (como se muestra aquí) aumentan con la frecuencia.
Ventana exponencial, τ  =  N /2
Ventana exponencial, τ  = ( N /2)/(60/8.69)
Ventana de Bartlett-Hann
Ventana de Planck-Bessel, ε  = 0,1, α  = 4,45
Ventana de Hann-Poisson, α  = 2
Ventana GAP (ventana Nuttall optimizada para GAP)
Ventana Sinc o Lanczos
Funciones de ventana en el dominio de la frecuencia ("fuga espectral")