En matemáticas , especialmente en la teoría del orden , la relación de cobertura de un conjunto parcialmente ordenado es la relación binaria que se cumple entre elementos comparables que son vecinos inmediatos. La relación de cobertura se usa comúnmente para expresar gráficamente el orden parcial mediante el diagrama de Hasse .
Definición
Dejar ser un conjunto con un pedido parcial . Como de costumbre, deja ser la relación en tal que si y solo si y .
Dejar y ser elementos de .
Luego cubre , escrito , Si y no hay elemento tal que . Equivalentemente, cubre si el intervalo es el conjunto de dos elementos .
Cuándo , se dice que es una portada de . Algunos autores también usan el término cobertura para denotar tales pares en la relación de cobertura.
Ejemplos de
- En un conjunto finito linealmente ordenado {1, 2, ..., n }, i + 1 cubre i para todo i entre 1 y n - 1 (y no hay otras relaciones de cobertura).
- En el álgebra de Boole del conjunto potencia de un conjunto S , un subconjunto B de S cubre un subconjunto A de S si y sólo si B se obtiene de A mediante la adición de un elemento no en A .
- En la red de Young , formada por las particiones de todos los enteros no negativos, una partición λ cubre una partición μ si y solo si el diagrama de Young de λ se obtiene del diagrama de Young de μ agregando una celda adicional.
- El diagrama de Hasse que representa la relación de cobertura de una celosía Tamari es el esqueleto de un asociaedro .
- La relación de cobertura de cualquier retícula distributiva finita forma un gráfico mediano .
- En los números reales con el orden total habitual ≤, el conjunto de portadas está vacío: ningún número cubre a otro.
Propiedades
- Si un conjunto parcialmente ordenado es finito, su relación de cobertura es la reducción transitiva de la relación de orden parcial. Por lo tanto, estos conjuntos parcialmente ordenados están completamente descritos por sus diagramas de Hasse. Por otro lado, en un orden denso , como los números racionales con el orden estándar, ningún elemento cubre a otro.
Referencias
- Knuth, Donald E. (2006), El arte de la programación informática , Volumen 4, Fascículo 4 , Addison-Wesley, ISBN 0-321-33570-8.
- Stanley, Richard P. (1997), Combinatoria enumerativa , 1 (2a ed.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-55309-1.
- Brian A. Davey; Hilary Ann Priestley (2002), Introducción a las celosías y el orden (2a ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-78451-4, LCCN 2001043910.